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20. 如图$24.2 - 6$,$\triangle ABC是⊙O$的内接三角形,且$AB是⊙O$的直径,点$P为⊙O$上的动点,且$\angle BPC = 60^{\circ}$,$⊙O的半径为6$,则点$P到AC$距离的最大值是
6+3√3
。答案
6+3√3
解析
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，⊙O半径为6，
∴AB=12。
∵∠BPC=60°，且∠BPC=∠BAC（同弧BC所对圆周角），
∴∠BAC=60°。
在Rt△ABC中，AC=AB·cos60°=12×1/2=6，BC=AB·sin60°=6√3。
圆心O是AB中点，半径为6，O到AC距离d=3√3（由坐标计算得圆心纵坐标）。
点P在劣弧BC上（∠BPC=60°），到AC最大距离为圆心O到AC距离d加上半径r，即3√3+6。
21. 如图$24.2 - 7$,在矩形$ABCD$中,已知$AB = 3$,$BC = 4$,$P是BC$边上一动点($P不与B$,$C$重合),连接$AP$,作点$B关于直线AP的对称点M$,则线段$MC$的最小值为【
A.$2$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{10}$
A
】A.$2$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{10}$
答案
A
解析
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=5。
∵点B关于直线AP的对称点为M，
∴AM=AB=3（对称性质），故M在以A为圆心，3为半径的圆上。
要使MC最小，根据圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心距离减去半径，得MC最小值=AC - AM=5 - 3=2。
∵点B关于直线AP的对称点为M，
∴AM=AB=3（对称性质），故M在以A为圆心，3为半径的圆上。
要使MC最小，根据圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心距离减去半径，得MC最小值=AC - AM=5 - 3=2。
1. (★)经过半径的
外端
并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.答案
外端，垂直
解析
根据圆的切线的判定定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2. (★)圆的切线
垂直
于过切点的半径.答案
垂直
解析
根据圆的切线性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径。
3. (★)如图24.2-8,已知在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 6cm,AC= 8cm,CM是斜边AB的中线,CD⊥AB,以点C为圆心、5cm长为半径作圆,则点A,B,D,M与⊙C的位置关系是什么?
答案
1. 计算各点到圆心C的距离：
点A：AC=8cm，8＞5，故点A在⊙C外；
点B：BC=6cm，6＞5，故点B在⊙C外；
点M：在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10cm，CM为斜边AB中线，CM=AB/2=5cm，5=5，故点M在⊙C上；
点D：由面积法，AC·BC=AB·CD，得CD=(AC·BC)/AB=(8×6)/10=4.8cm，4.8＜5，故点D在⊙C内。
结论：点A、B在⊙C外，点M在⊙C上，点D在⊙C内。
点A：AC=8cm，8＞5，故点A在⊙C外；
点B：BC=6cm，6＞5，故点B在⊙C外；
点M：在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10cm，CM为斜边AB中线，CM=AB/2=5cm，5=5，故点M在⊙C上；
点D：由面积法，AC·BC=AB·CD，得CD=(AC·BC)/AB=(8×6)/10=4.8cm，4.8＜5，故点D在⊙C内。
结论：点A、B在⊙C外，点M在⊙C上，点D在⊙C内。
