4. (★)在第3题的条件下,求:
(1)当⊙C的半径为何值时,⊙C与直线AB相离?
(2)当⊙C的半径为何值时,⊙C与直线AB相切?
(3)当⊙C的半径为何值时,⊙C与直线AB相交?

设点C到直线AB的距离为$d$，
在第3题中，已经求出$d = 4.8$，
(1)要使$\odot C$与直线AB相离，需要满足：
$r ＜ d$，
即$r ＜ 4.8$，
但由于半径$r$必须为正数，
所以$0＜r ＜ 4.8$。
(2)要使$\odot C$与直线AB相切，需要满足：
$r = d$，
即$r = 4.8$，
(3)要使$\odot C$与直线AB相交，需要满足：
$r ＞ d$，
即$r ＞ 4.8$。

5. (★)在平面直角坐标系xOy中,以点(3,4)为圆心,4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是【】
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定

C

圆心(3,4)到y轴的距离d=3，圆的半径r=4。因为d=3 ＜ r=4，所以圆与y轴相交。

6. (★)如图24.2-9,PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B,如果∠P= 60°,那么∠AOB的度数为.

$120°$

连接 $ OA $ 和 $ OB $。
由于 $ PA $ 和 $ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线，且切点分别为 $ A $ 和 $ B $，根据切线的性质，切线与半径垂直，所以：
$ \angle OAP = 90° $，
$ \angle OBP = 90° $。
已知 $ \angle P = 60° $，在四边形 $ OAPB $ 中，内角和为 $ 360° $，所以：
$ \angle AOB = 360° - \angle OAP - \angle OBP - \angle P $
$ = 360° - 90° - 90° - 60° $
$ = 120° $

7. (★★)如图24.2-10,AB是⊙O的一条直径,延长AB至C,使得AC= 3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD= √{3},则线段BC的长度等于.

1

连接$OD$，因为$CD$是$\odot O$的切线，
所以$OD\perp CD$。
设$BC = x$，由$AC = 3BC$可得$BC=x$，$AC = 3x$，$AB=AC - BC=3x - x = 2x$，则$OB = OD=x$。
因为$OD\perp CD$，$CD=\sqrt{3}$，在$Rt\triangle OCD$中，根据勾股定理$OC^{2}=OD^{2}+CD^{2}$，$OC=OB + BC=x + x = 2x$，则$(2x)^{2}=x^{2}+(\sqrt{3})^{2}$，
即$4x^{2}=x^{2}+3$，
$3x^{2}=3$，
$x^{2}=1$，
解得$x = 1$（$x=-1$舍去），所以$BC = 1$。

8. (★★)(2023·重庆)如图24.2-11,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,连接AC,若∠ACD= 50°,则∠BAC的度数为【】

A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

B

连接OC。
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，∠OCD=90°。
∵∠ACD=50°，
∴∠ACO=∠OCD-∠ACD=40°。
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO=40°。

9. (★★)如图24.2-12,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线$y= 1/2x^2 - 1$上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为.

$(\sqrt{6}, 2)$或$(-\sqrt{6}, 2)$

设圆心$P$的坐标为$(x, y)$。
由于$\odot P$与$x$轴相切，所以圆心到$x$轴的距离等于圆的半径，即$|y| = 2$。
分两种情况考虑：
当$y = 2$时，代入抛物线方程$y = \frac{1}{2}x^2 - 1$，得到：
$2 = \frac{1}{2}x^2 - 1$，
$x^2 = 6$，
解得$x = \pm \sqrt{6}$。
当$y = -2$时，代入抛物线方程$y = \frac{1}{2}x^2 - 1$，得到：
$-2 = \frac{1}{2}x^2 - 1$，
$x^2 = -2$，
此方程无实数解，因为$x^2$不能为负数。
综合以上两种情况，当$\odot P$与$x$轴相切时，圆心$P$的坐标为$(\sqrt{6}, 2)$或$(-\sqrt{6}, 2)$，

10. (★★)如图24.2-13,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线,与OD的延长线交于点P,PC与AB的延长线交于点F.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC= 60°,AB= 10,求线段CF的长.

(1) 见解析；(2) 5√3。

(1) 连接OC。
∵OD⊥AC，OA=OC，∴OD垂直平分AC，∴PA=PC。
∵PA是⊙O切线，∴OA⊥PA，∠OAP=90°。
∵OA=OC，OP=OP，PA=PC，∴△OAP≌△OCP(SSS)。
∴∠OCP=∠OAP=90°，即OC⊥PC。
∵OC是半径，∴PC是⊙O切线。
(2) ∵AB是直径，∴∠ACB=90°。
∵∠ABC=60°，AB=10，∴BC=AB·cos60°=5，AC=AB·sin60°=5√3。
∵OA=OC=5，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形，OC=BC=5，∠OCB=60°。
∵PC是切线，∴∠OCP=90°，∴∠BCF=∠OCP-∠OCB=30°。
在△BCF中，∠FBC=180°-∠ABC=120°，∠BCF=30°，∴∠F=30°。
∴BF=BC=5，OF=OB+BF=5+5=10。
在Rt△OCF中，CF=√(OF²-OC²)=√(10²-5²)=5√3。