12. 若关于$x的一元二次方程x^2 - 2x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则一次函数$y = kx + b$的大致图象可能是( )

A.
B.
C.
D.

B

解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + kb + 1 = 0$，判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(kb + 1)=4 - 4kb - 4=-4kb$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$-4kb＞0$，得$kb＜0$。
A选项：$k＞0$，$b＞0$，则$kb＞0$，不符合。
B选项：$k＞0$，$b＜0$，则$kb＜0$，符合。
C选项：$k＜0$，$b＜0$，则$kb＞0$，不符合。
D选项：$k＜0$，$b=0$，则$kb=0$，不符合。
结论：B

13. 方程$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$的根的判别式的值是______。

4

解：对于方程$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$，其中$a = 2$，$b=-2\sqrt{3}$，$c = 1$。
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2\sqrt{3})^2 - 4×2×1\\&=4×3 - 8\\&=12 - 8\\&=4\end{aligned}$
4

14. 若$x^2 - mx + 9$是完全平方式,则$m = $______。

±6

因为$x^2 - mx + 9$是完全平方式，所以$x^2 - mx + 9=(x\pm3)^2$。
$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$，则$-m = 6$，$m=-6$；
$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$，则$-m = -6$，$m=6$。
综上，$m = \pm6$。

15. 若$|m + 1| + \sqrt{n - 2} = 0$,则方程$x^2 + 3mx - mn = 0$的根是______。

$x_{1}=1,x_{2}=2$

因为$|m + 1| + \sqrt{n - 2} = 0$，且$|m + 1| \geq 0$，$\sqrt{n - 2} \geq 0$，所以$m + 1 = 0$，$n - 2 = 0$，解得$m = -1$，$n = 2$。
将$m = -1$，$n = 2$代入方程$x^2 + 3mx - mn = 0$，得$x^2 + 3×(-1)x - (-1)×2 = 0$，即$x^2 - 3x + 2 = 0$。
因式分解得$(x - 1)(x - 2) = 0$，所以$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
$x_{1}=1,x_{2}=2$

16. 在实数范围内定义运算“☆”,其规则为：$a☆b = a^2 - b^2$,则方程$(4☆3)☆x = 13的根为x = $______。

±6

先计算$4☆3$：$4☆3 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$。
则原方程变为$7☆x = 13$，即$7^2 - x^2 = 13$。
$49 - x^2 = 13$
$x^2 = 49 - 13 = 36$
解得$x = \pm 6$。
±6

17. 已知关于$x的一元二次方程mx^2 + (2m - 1)x + m = 0有两个实数根x_1$,$x_2$。
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$x_1 - x_2 = \sqrt{5}$,求$m$的值。

(1)$m\leqslant \frac{1}{4}$且$m\neq 0$;
(2)$m=\frac{1}{5}$或$-1$

18. 材料 1：关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)的两个实数根x_1$,$x_2和系数a$,$b$,$c$有如下关系：$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$,$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
材料 2：已知一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0的两个实数根分别为m$,$n$,求$m^2n + mn^2$的值。
解：$\because m$,$n是一元二次方程x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根,
$\therefore m + n = 1$,$mn = - 1$。
则$m^2n + mn^2 = mn(m + n) = - 1×1 = - 1$。
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0的两个实数根为x_1$,$x_2$,则$x_1 + x_2 = $______,$x_1x_2 = $______；
(2)类比：已知一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0的两个实数根为m$,$n$,求$m^2 + n^2$的值；
(3)提升：已知实数$s$,$t满足2s^2 + 3s - 1 = 0$,$2t^2 + 3t - 1 = 0$,且$s \neq t$,求$\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$的值。

(1)$-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$;
(2)$\frac{13}{4}$;
(3)$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值为$\sqrt{17}$或$-\sqrt{17}$