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1. 若方程$(x - 3)^2 = 17的两根为a和b$,且$a ＞ b$,则下列结论中正确的是( )
A.$a与b$相等
B.$a与b$互为相反数
C.$a - 3是17$的算术平方根
D.$b - 3是17$的算术平方根
A.$a与b$相等
B.$a与b$互为相反数
C.$a - 3是17$的算术平方根
D.$b - 3是17$的算术平方根
答案
C
解析
方程$(x - 3)^2 = 17$，两边开平方得$x - 3 = \pm\sqrt{17}$，则$x = 3 \pm\sqrt{17}$。
因为方程的两根为$a$和$b$，且$a ＞ b$，所以$a = 3 + \sqrt{17}$，$b = 3 - \sqrt{17}$。
A. $a \neq b$，A错误；
B. $a + b = (3 + \sqrt{17}) + (3 - \sqrt{17}) = 6 \neq 0$，不互为相反数，B错误；
C. $a - 3 = (3 + \sqrt{17}) - 3 = \sqrt{17}$，$\sqrt{17}$是17的算术平方根，C正确；
D. $b - 3 = (3 - \sqrt{17}) - 3 = -\sqrt{17}$，不是17的算术平方根，D错误。
C
因为方程的两根为$a$和$b$，且$a ＞ b$，所以$a = 3 + \sqrt{17}$，$b = 3 - \sqrt{17}$。
A. $a \neq b$，A错误；
B. $a + b = (3 + \sqrt{17}) + (3 - \sqrt{17}) = 6 \neq 0$，不互为相反数，B错误；
C. $a - 3 = (3 + \sqrt{17}) - 3 = \sqrt{17}$，$\sqrt{17}$是17的算术平方根，C正确；
D. $b - 3 = (3 - \sqrt{17}) - 3 = -\sqrt{17}$，不是17的算术平方根，D错误。
C
2. 已知$x = - 2是一元二次方程x^2 + 2mx - 4 = 0$的一个根,则$m$的值是( )
A.$1$
B.$2$
C.$- 2$
D.$0$
A.$1$
B.$2$
C.$- 2$
D.$0$
答案
D
解析
将$x = -2$代入方程$x^2 + 2mx - 4 = 0$，得$(-2)^2 + 2m×(-2) - 4 = 0$，即$4 - 4m - 4 = 0$，化简得$-4m = 0$，解得$m = 0$。
D
D
3. 方程$(x + 1)^2 = 3(x + 1)$的根为( )
A.$2$
B.$x_1 = 2$,$x_2 = - 1$
C.$x_1 = \sqrt{3}$,$x_2 = - 1$
D.$x = - 1$
A.$2$
B.$x_1 = 2$,$x_2 = - 1$
C.$x_1 = \sqrt{3}$,$x_2 = - 1$
D.$x = - 1$
答案
B
解析
解：$(x + 1)^2 = 3(x + 1)$
移项得：$(x + 1)^2 - 3(x + 1) = 0$
因式分解得：$(x + 1)(x + 1 - 3) = 0$
即$(x + 1)(x - 2) = 0$
则$x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 2$
结论：B
移项得：$(x + 1)^2 - 3(x + 1) = 0$
因式分解得：$(x + 1)(x + 1 - 3) = 0$
即$(x + 1)(x - 2) = 0$
则$x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 2$
结论：B
4. 若$x_1$,$x_2是方程x^2 - 3x - 4 = 0$的两个根,则$x_1 + x_2$的值是( )
A.$3$
B.$- 3$
C.$4$
D.$- 4$
A.$3$
B.$- 3$
C.$4$
D.$- 4$
答案
A
解析
解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
方程$x^2 - 3x - 4 = 0$中，$a = 1$，$b = -3$，
则$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$。
A
方程$x^2 - 3x - 4 = 0$中，$a = 1$，$b = -3$，
则$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$。
A
5. 若关于$x的一元二次方程(m - 1)x^2 + 5x + m^2 - 3m + 2 = 0的一根是0$,则$m = $( )
A.$1$
B.$2$
C.$1或2$
D.$0$
A.$1$
B.$2$
C.$1或2$
D.$0$
答案
B
解析
因为方程$(m - 1)x^2 + 5x + m^2 - 3m + 2 = 0$的一根是$0$，将$x = 0$代入方程得：$m^2 - 3m + 2 = 0$，即$(m - 1)(m - 2)=0$，解得$m = 1$或$m = 2$。又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$，故$m = 2$。
B
B
6. 下列对一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$的根的情况判断中正确的是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定
答案
B
解析
对于一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a = 2$，$b = -3$，$c = -1$。
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-1) = 9 + 8 = 17$。
因为$\Delta = 17 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
B
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-1) = 9 + 8 = 17$。
因为$\Delta = 17 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
B
7. 等腰三角形的两边长为方程$x^2 - 7x + 10 = 0$的两根,则它的周长为( )
A.$12$
B.$12或9$
C.$9$
D.$7$
A.$12$
B.$12或9$
C.$9$
D.$7$
答案
A
解析
解方程$x^2 - 7x + 10 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 5) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 5$。
情况一：腰长为$2$，底边长为$5$。此时$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为$5$，底边长为$2$。此时$5 + 2 ＞ 5$，$5 + 5 ＞ 2$，满足三角形三边关系。周长为$5 + 5 + 2 = 12$。
A
情况一：腰长为$2$，底边长为$5$。此时$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：腰长为$5$，底边长为$2$。此时$5 + 2 ＞ 5$，$5 + 5 ＞ 2$，满足三角形三边关系。周长为$5 + 5 + 2 = 12$。
A
8. 关于方程$x^2 - 4x - 5 = 0$,配方正确的是( )
A.$(x + 2)^2 = 1$
B.$(x - 2)^2 = 1$
C.$(x + 2)^2 = 9$
D.$(x - 2)^2 = 9$
A.$(x + 2)^2 = 1$
B.$(x - 2)^2 = 1$
C.$(x + 2)^2 = 9$
D.$(x - 2)^2 = 9$
答案
D
解析
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$x^2 - 4x = 5$
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$
$(x - 2)^2 = 9$
D
$x^2 - 4x = 5$
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$
$(x - 2)^2 = 9$
D
9. 一家超市的某品牌服装原价为$1280$元,连续两次降价$a\%后售价为520$元,下面所列方程中正确的是( )
A.$1280(1 - 2a\%) = 520$
B.$1280(1 - a\%) = 520$
C.$1280(1 - a\%)^2 = 520$
D.$1280(1 + a\%)^2 = 520$
A.$1280(1 - 2a\%) = 520$
B.$1280(1 - a\%) = 520$
C.$1280(1 - a\%)^2 = 520$
D.$1280(1 + a\%)^2 = 520$
答案
C
解析
原价为$1280$元，第一次降价$a\%$后价格为$1280(1 - a\%)$元，第二次在第一次降价后的价格基础上再降价$a\%$，则售价为$1280(1 - a\%)^2$元。已知连续两次降价后售价为$520$元，所以所列方程为$1280(1 - a\%)^2 = 520$。
C
C
10. 若关于$x的一元二次方程kx^2 - 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是( )
A.$k ＜ 4$
B.$k ＞ - 4$
C.$k ＜ 4且k \neq 0$
D.$k ＞ - 4且k \neq 0$
A.$k ＜ 4$
B.$k ＞ - 4$
C.$k ＜ 4且k \neq 0$
D.$k ＞ - 4且k \neq 0$
答案
C
解析
因为方程是一元二次方程，所以$k\neq0$。
方程$kx^2 - 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$。
$\Delta=(-4)^2 - 4× k×1=16 - 4k$，则$16 - 4k＞0$，解得$k＜4$。
综上，$k$的取值范围是$k＜4$且$k\neq0$。
C
方程$kx^2 - 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$。
$\Delta=(-4)^2 - 4× k×1=16 - 4k$，则$16 - 4k＞0$，解得$k＜4$。
综上，$k$的取值范围是$k＜4$且$k\neq0$。
C
11. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何？”题意是：如图,一根竹子原高$1$丈($1丈= 10$尺),中部有一处折断,竹梢触及地面处离竹根$3$尺,试问折断处离地面多高？若设折断处离地面$x$尺,则下面所列方程正确的是( )
A.$x^2 + 3^2 = (1 - x)^2$
B.$x^2 + (1 - x)^2 = 3^2$
C.$x^2 + (10 - x)^2 = 3^2$
D.$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
A.$x^2 + 3^2 = (1 - x)^2$
B.$x^2 + (1 - x)^2 = 3^2$
C.$x^2 + (10 - x)^2 = 3^2$
D.$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
答案
D
解析
设折断处离地面$x$尺，则折断部分长度为$(10 - x)$尺。根据勾股定理，得$x^2 + 3^2=(10 - x)^2$。
D
D
