12. 如图：在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 45^{\circ}$,$AD$,$BE分别为边BC$,$AC$上的高,$AD$,$BE相交于点F$。有下列结论：①$\angle FCD= 45^{\circ}$；②$AE= EC$；③$S_{\triangle ABF}:S_{\triangle AFC}= AD:FD$；④若$BF= 2EC$,则$BC= AB$。其中正确的序号是( )

A.①③④
B.①②④
C.②③④
D.①②

A

13. 如图,线段$AB$,$BC的垂直平分线l_1$,$l_2相交于点O$,若$\angle 1= 39^{\circ}$,则$\angle AOC= $______。

78°

14. 如图,$AC= AB= BD$,$\angle ABD= 90^{\circ}$,$BC= 6$,求$\triangle BCD$的面积。

解：过点​A​作​AE⊥BC​于​E，​过点​D​作​DF⊥CB，​垂足为​F​
则​∠AEB=∠F=90°，​∴​∠DBF+∠BDF=90°​
∵​∠ABD=90°​
∴​∠ABE+∠DBF=90°​
∴​∠ABE=∠BDF​
∵​AB=AC，​​AE⊥BC​
∴$​BE=\frac 12BC=\frac 12×6=3​$
∵​∠AEB=∠F，​​∠ABE=∠BDF，​​AB=BD​
∴$​△AEB≌△ BF D(\mathrm {AAS})​$
∴​DF=BE=3​
∴​△BCD​的面积$​=\frac 12BC·DF=\frac 12×6×3=9​$

15. 如图,$\angle AOB= 30^{\circ}$,点$M$,$N在边OA$上,点$N在点M$的上方,$MN= 2$,点$M从O开始沿着射线OA$移动,移动距离为$x$,点$P是边OB$上的点。
(1)利用直尺和圆规在图中确定点$P$,使得$PM= PN$。
(2)在整个移动过程中,使$P$,$M$,$N构成等腰三角形的点P$最少有______个,最多有______个；当$x= 2$时,这样的点$P$有______个。
(3)若使$P$,$M$,$N构成等腰三角形的点P恰好有3$个,写出$x$满足的条件。

1
4
1
解：​(1)​如图所示
​(3)​当​OM=x=0，​即​M，​​O​重合时，如图，

此时满足​△PMN​为等腰三角形的点​P {有3}​个
当​0＜x＜2​时，由​(2)​可得，此时满足​△PMN​
为等腰三角形的点​P {有4}​个
当​x=2​时，由​(2)​可得，此时满足​△PMN​
为等腰三角形的点​P {有1}​个
如图，当​OM=x=4​时，过​M​作$​MP_{1}⊥OB​$于$​P_{1}​$

则$​MP_{1}=\frac 12OM=2​$
此时满足​△PMN​为等腰三角形的点​P {有2}​个
结合​(2)​可得，当​2＜x＜4​时，满足​△PMN​
为等腰三角形的点​P {有3}​个
当​x＞4​时，满足​△PMN​为等腰三角形的点​P {有1}​个
综上，当​x=0​或​2＜x＜4​时，满足​△PMN​
为等腰三角形的点​P {有3}​个