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8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$P$,$Q$,$R分别在AB$,$BC$,$AC$上,且$PB= QC$,$QB= RC$。求证：点$Q在PR$的垂直平分线上。
答案
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C
在∆P BQ 和∆Q CR {中}
$\begin {cases}{P B=Q C}\\{∠B=∠C}\\{Q B=R C}\end {cases}$
∴∆P BQ≌∆Q CR(S AS)
∴QP=QR
∴点Q 在PR 的垂直平分线上
在∆P BQ 和∆Q CR {中}
$\begin {cases}{P B=Q C}\\{∠B=∠C}\\{Q B=R C}\end {cases}$
∴∆P BQ≌∆Q CR(S AS)
∴QP=QR
∴点Q 在PR 的垂直平分线上
9. 如图,$E是等边三角形ABC$内一点,且$EA= EB$,$\triangle ABC外一点D满足BD= AC$,$BE平分\angle DBC$。求$\angle D$的度数。
答案
解：连接CE
∵∆ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=60°
∵EA=EB，EC=EC
∴$∆EAC≌∆EBC(\mathrm {SSS})$
∴∠ECB=30°
∵BD=AC=BC，BE平分∠DBC
∴∠DBE=∠CBE
又BE=BE
∴∆DBE≌∆CBE(S AS)
∴∠D=∠ECB=30°
∵∆ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=60°
∵EA=EB，EC=EC
∴$∆EAC≌∆EBC(\mathrm {SSS})$
∴∠ECB=30°
∵BD=AC=BC，BE平分∠DBC
∴∠DBE=∠CBE
又BE=BE
∴∆DBE≌∆CBE(S AS)
∴∠D=∠ECB=30°
10. 如图,$CD是\triangle ABC$的角平分线,$AE\perp CD$,垂足为$E$,$F是AC$的中点,求证：$EF// BC$。
答案
证明：∵AE⊥CD
∴∆AEC为直角三角形
∵F 是AC中点，∴EF=F C
∴∠FEC=∠F CE
∵CD平分∠ACB
∴$∠F_{C}E=∠BCE$
∴∠FEC=∠BCE
∴EF//BC
∴∆AEC为直角三角形
∵F 是AC中点，∴EF=F C
∴∠FEC=∠F CE
∵CD平分∠ACB
∴$∠F_{C}E=∠BCE$
∴∠FEC=∠BCE
∴EF//BC
11. 如图,下面四个盒子中,每个盒子里都有两根小棒,把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段,这两段小棒再与另一根小棒首尾相接,能够围成一个三角形的是( )
答案
B
