15. (12分)(1)阅读理解：如图①,在△ABC中,若AB= 10,AC= 6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE= AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D按逆时针方向旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______.
(2)问题解决：如图②,在△ABC中,D是边BC上的中点,DE⊥DF,垂足为D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证：BE+CF＞EF.
(3)问题拓展：如图③,在△ABC和△ADE中,AD= DE,AB= BC,∠EDA= ∠ABC= 90°,M为EC的中点,点E在线段CA的延长线上.请判断线段DM与线段BM的关系,说明理由.

2＜AD＜8


​(2)​证明：延长​F D​至点​G，​使​DG = DF，​连接​BG，​​EG​
∵点​D​是​BC​的中点，∴​DB = DC​
在​∆BDG ​和​∆CDF {中}​
$​ \begin {cases}{DB=DC}\\{∠BDG=∠CDF}\\{DG=DF}\end {cases}​$
∴​∆BDG≌∆CDF(S AS)​
∴​BG = CF​
∵​ED⊥F D，​∴​∠EDF=∠EDG=90°​
在​∆EDF ​和​∆EDG {中}​
$​ \begin {cases}{ED=ED}\\{∠EDF=∠EDG}\\{DF=DG}\end {cases}​$
∴​∆EDF≌∆EDG(S AS)​
∴​EF = EG​
∵在​∆BEG {中}，​​BE + BG＞EG​
∴​BE + CF＞EF​
​(3)​解：​DM⊥BM​且​DM = BM，​理由：
延长​DM​到点​N，​使​MN = DM，​连接​CN，​​BN​
根据​AD = DE，​​AB = BC，​​∠EDA=∠ABC=90°​
可证​∠E=∠BAC=45°，​​∠DAB=90°​
由​(1)​可证​∆DEM≌∆NCM(S AS)，​则​DE = NC，​​∠MCN=∠E=45°​
可证​AD = CN，​​∠BCN=90°，​可证​∆BCN≌∆BAD(S AS)​
则​BN = BD，​可得​∠DBN=90°​
根据​DM = NM，​可得​BM⊥DM，​​DM = BM​