例1 已知多项式 $5x^{4}y^{2}+xy - 2x^{2}y^{6}-y^{7}-x^{6}$.
(1)把它按 $x$ 的降幂排列；
(2)把它按 $y$ 的升幂排列.
【思路导析】降幂——指数从大到小,升幂——指数从小到大.

(1)按$x$的降幂排列：$-x^{6}+5x^{4}y^{2}-2x^{2}y^{6}+xy - y^{7}$
(2)按$y$的升幂排列：$-x^{6}+xy +5x^{4}y^{2}-2x^{2}y^{6}-y^{7}$

例2 当 $x = - 1$ 时,求多项式 $3x^{2}+3-x - 4x^{2}+3x + 5$ 的值.
【思路导析】先合并同类项,再代入字母求值.

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解：
1. 合并同类项：
$3x^{2} + 3 - x - 4x^{2} + 3x + 5$
$=(3x^{2} - 4x^{2}) + (-x + 3x) + (3 + 5)$
$=-x^{2} + 2x + 8$
2. 代入 $x = -1$：
$-(-1)^{2} + 2(-1) + 8$
$=-1 - 2 + 8$
$=5$

例3 有这样的一道题：“当 $x= \frac{1}{4},y = 2025$ 时,求多项式 $7x^{3}-6x^{3}y + 3x^{2}y + 3x^{3}+6x^{3}y - 3x^{2}y - 10x^{3}+3$ 的值.”小聪同学说题目中给出的条件 $x= \frac{1}{4},y = 2025$ 是多余的,他的说法有道理吗？为什么？

【思路导析】化简多项式,如果结果不含 $x$,$y$ 的项,就说明所给的条件是多余的.
【规范解答】小聪的说法有道理. 理由如下：
因为 $7x^{3}-6x^{3}y + 3x^{2}y + 3x^{3}+6x^{3}y - 3x^{2}y - 10x^{3}+3= (7 + 3 - 10)x^{3}+(6 - 6)x^{3}y+(3 - 3)x^{2}y + 3 = 3$,所以无论 $x$,$y$ 取何值,此多项式的值总等于3.
即此多项式的值与 $x$,$y$ 的取值无关,故小聪的说法有道理.

1. 先化简,再求值：$\frac{3}{2}a^{2}-2a-\frac{5}{2}a^{2}+6a - 5$,其中 $a = 2$.

$-1$

化简过程：
$\begin{aligned}&\frac{3}{2}a^{2}-2a-\frac{5}{2}a^{2}+6a - 5\\=&\left(\frac{3}{2}a^{2}-\frac{5}{2}a^{2}\right)+(-2a+6a)-5\\=&\left(\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\right)a^{2}+( -2 + 6)a - 5\\=&-a^{2}+4a - 5\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = 2$ 时，
$\begin{aligned}&-a^{2}+4a - 5\\=&-(2)^{2}+4×2 - 5\\=&-4 + 8 - 5\\=&-1\end{aligned}$

2. 已知式子 $3x^{2}-4x + 6$ 的值为0,则 $x^{2}-3x + 4 + 2x^{2}-x + 8$ 的值是多少？

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解：$x^{2}-3x + 4 + 2x^{2}-x + 8$
$=(x^{2}+2x^{2})+(-3x - x)+(4 + 8)$
$=3x^{2}-4x + 12$
因为$3x^{2}-4x + 6 = 0$，所以$3x^{2}-4x=-6$
将$3x^{2}-4x=-6$代入$3x^{2}-4x + 12$，得$-6 + 12 = 6$