6. 如图,$BF = CE$,$AE\perp BC$,$DF\perp BC$,要根据“HL”证明$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle DCF$,还需要添加的一个条件是()

A.$AE = DF$
B.$\angle A= \angle D$
C.$\angle B= \angle C$
D.$AB = DC$

D

∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，即△ABE和△DCF是直角三角形。∵BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF。要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，还需添加斜边相等，即AB=DC。

7. 如图,将一根笔直的竹竿斜靠在竖直的墙$AO$上,初始位置为$CD$,当一端$C下滑至C'$时,另一端$D向右滑至D'$,则下列说法正确的是()

A.下滑过程中,始终有$CC' = DD'$
B.下滑过程中,始终有$CC'\neq DD'$
C.若$OC\lt OD$,则下滑过程中,一定存在某个位置使得$CC' = DD'$
D.若$OC\gt OD$,则下滑过程中,一定存在某个位置使得$CC' = DD'$

D

设OC=a，OD=b，CC'=x，DD'=y，竹竿长度为L。则OC'=a-x，OD'=b+y，由勾股定理得：
初始时：$a^2 + b^2 = L^2$，
下滑后：$(a - x)^2 + (b + y)^2 = L^2$，
故$a^2 + b^2 = (a - x)^2 + (b + y)^2$，化简得$2ax - x^2 = 2by + y^2$。
若$CC' = DD'$，即$x = y$，则$2x(a - b) = 2x^2$，解得$x = a - b$（$x ＞ 0$）。
当$OC ＞ OD$（即$a ＞ b$）时，$x = a - b ＞ 0$，存在$CC' = DD'$。

8. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 4$,$AD = 6$。延长$BC到点E$,使$CE = 2$,连接$DE$。动点$P从点B$出发,以每秒$2个单位长度的速度沿BC - CD - DA向点A$运动,设点$P的运动时间为t$秒,当$\triangle ABP和\triangle DCE$全等时,$t$的值为()

A.$1$
B.$1或3$
C.$1或7$
D.$3或7$

C

在长方形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=6$，则$BC=AD=6$，$CD=AB=4$，$\angle ABC=\angle BCD=\angle DAB=90^\circ$。延长$BC$到$E$，$CE=2$，则$\triangle DCE$为直角三角形，$\angle DCE=90^\circ$，$CD=4$，$CE=2$。
情况1：点$P$在$BC$上（$0\leq t\leq3$）
此时$\triangle ABP$为直角三角形，$\angle ABP=90^\circ$，直角边$AB=4$，$BP=2t$。
若$\triangle ABP\cong\triangle DCE$，则需$AB=CD=4$（对应直角边），$BP=CE=2$（对应直角边）。
即$2t=2$，解得$t=1$（符合$0\leq t\leq3$）。
情况2：点$P$在$CD$上（$3＜ t＜5$）
此时$\triangle ABP$的三边均大于$2$（$BP＞6$，$AP＞6$），无法与$\triangle DCE$（直角边$2$，$4$）全等，无解。
情况3：点$P$在$DA$上（$5\leq t\leq8$）
此时$\triangle ABP$为直角三角形，$\angle BAP=90^\circ$，直角边$AB=4$，$AP=AD - 2(t - 5)=6 - 2(t - 5)=16 - 2t$。
若$\triangle ABP\cong\triangle DCE$，则需$AB=CD=4$（对应直角边），$AP=CE=2$（对应直角边）。
即$16 - 2t=2$，解得$t=7$（符合$5\leq t\leq8$）。
综上，$t=1$或$7$。

9. 如图,$AD$,$BC相交于点O$,$AD = BC$,$\angle C= \angle D = 90^{\circ}$。
(1)求证：$\triangle ACB\cong\triangle BDA$；
(2)若$\angle ABC = 35^{\circ}$,则$\angle CAO$为多少？

(2)20°

(1)证明：∵∠C=∠D=90°，∴△ACB和△BDA都是直角三角形。在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB=BA，AD=BC，∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)。
(2)∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠BAD=∠ABC=35°。在Rt△ACB中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-35°=55°。∴∠CAO=∠BAC - ∠BAD=55°-35°=20°。

10. 如图,点$D$,$E分别在AC$,$AB$上,连接$BD$,$CE$,过点$A作AG\perp BD于点G$,$AF\perp CE于点F$,且$AB = AC$,$AG = AF$,求证：$BD = CE$。

证明：
∵AG⊥BD，AF⊥CE，
∴∠AGB=∠AFC=90°。
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
$\begin{cases} AB=AC \\ AG=AF \end{cases}$
∴Rt△AGB≌Rt△AFC（HL）。
∴∠ABG=∠ACF。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} ∠BAD=∠CAE \\ AB=AC \\ ∠ABD=∠ACE \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（ASA）。
∴BD=CE。

证明：
∵ $AG \perp BD$，$AF \perp CE$，
∴ $\triangle ABG$ 和 $\triangle ACF$ 均为直角三角形。
在 $Rt\triangle ABG$ 和 $Rt\triangle ACF$ 中，
$\begin{cases} AB = AC \\ AG = AF \end{cases}$
∴ $Rt\triangle ABG \cong Rt\triangle ACF$（HL），
∴ $\angle ABG = \angle ACF$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACE$ 中，
$\begin{cases} \angle BAD = \angle CAE \\ AB = AC \\ \angle ABD = \angle ACE \end{cases}$
∴ $\triangle ABD \cong \triangle ACE$（ASA），
∴ $BD = CE$。