登录
如图14.2-17,$BE\perp AC$,$CD\perp AB$,垂足分别为$E$,$D$,$BE与CD相交于点O$,且$BE = CD$。求证：$\angle 1= \angle 2$。
答案
解：
因为$BE\perp AC$，$CD\perp AB$，所以$\angle BDC = \angle CEB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDC$和$Rt\triangle CEB$中，
$\begin{cases}BC = CB\\BE = CD\end{cases}$（已知$BE = CD$，$BC$为公共边）
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle BDC\cong Rt\triangle CEB$。
所以$BD = CE$（全等三角形对应边相等）。
在$\triangle BDO$和$\triangle CEO$中，
$\begin{cases}\angle BDO=\angle CEO = 90^{\circ}\\\angle BOD=\angle COE\\BD = CE\end{cases}$
根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理，可得$\triangle BDO\cong\triangle CEO$。
所以$OB = OC$（全等三角形对应边相等）。
在$\triangle OBC$中，因为$OB = OC$，根据等腰三角形性质：等腰三角形两底角相等，所以$\angle 1=\angle 2$。
因为$BE\perp AC$，$CD\perp AB$，所以$\angle BDC = \angle CEB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDC$和$Rt\triangle CEB$中，
$\begin{cases}BC = CB\\BE = CD\end{cases}$（已知$BE = CD$，$BC$为公共边）
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle BDC\cong Rt\triangle CEB$。
所以$BD = CE$（全等三角形对应边相等）。
在$\triangle BDO$和$\triangle CEO$中，
$\begin{cases}\angle BDO=\angle CEO = 90^{\circ}\\\angle BOD=\angle COE\\BD = CE\end{cases}$
根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理，可得$\triangle BDO\cong\triangle CEO$。
所以$OB = OC$（全等三角形对应边相等）。
在$\triangle OBC$中，因为$OB = OC$，根据等腰三角形性质：等腰三角形两底角相等，所以$\angle 1=\angle 2$。
1. 如图,若$PB\perp AB于点B$,$PC\perp AC于点C$,且$PB = PC$,则$AB= $
AC
,理由是Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）
(填全等三角形及三角形全等的理由)。答案
AC；Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）
解析
∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP=∠ACP=90°。在Rt△ABP和Rt△ACP中，AP=AP，PB=PC，∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴AB=AC。
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$DE\perp AB于点E$,$BE = BC$,如果$AC = 6$,那么$AD + DE= $
6
。答案
6
解析
本题可通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质来求解$AD + DE$的值。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，即$BC\perp AC$，又因为$DE\perp AB$，所以$\angle C=\angle BED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCD$和$Rt\triangle BED$中，$\begin{cases}BD = BD\\BC = BE\end{cases}$，根据“斜边直角边”定理（$HL$），可得$Rt\triangle BCD\cong Rt\triangle BED$。
由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，所以$DE = DC$。
则$AD + DE = AD + DC = AC$，已知$AC = 6$，所以$AD + DE = 6$。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，即$BC\perp AC$，又因为$DE\perp AB$，所以$\angle C=\angle BED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCD$和$Rt\triangle BED$中，$\begin{cases}BD = BD\\BC = BE\end{cases}$，根据“斜边直角边”定理（$HL$），可得$Rt\triangle BCD\cong Rt\triangle BED$。
由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，所以$DE = DC$。
则$AD + DE = AD + DC = AC$，已知$AC = 6$，所以$AD + DE = 6$。
3. 如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上。已知左边滑梯的高度$AC与右边滑梯水平方向的长度DF$相等,则这两个滑梯与地面的夹角$\angle ABC与\angle DFE$的度数和是
90°
。答案
90°
解析
∵AC是左边滑梯高度，∴∠CAB=90°；DF是右边滑梯水平长度，∴∠EDF=90°，即△ABC和△DEF均为直角三角形。
∵滑梯长度相同，∴BC=EF（斜边相等）；又AC=DF（已知直角边相等），
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则∠ACB=∠DFE。
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°。
∵滑梯长度相同，∴BC=EF（斜边相等）；又AC=DF（已知直角边相等），
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则∠ACB=∠DFE。
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°。
4. 如图,$MN// PQ$,$AB\perp PQ$,点$A$,$D$,$B$,$C分别在直线MN与PQ$上,点$E在AB$上,$AD + BC = 7$,$AD = EB$,$DE = EC$,则$AB= $
7
。答案
7
解析
由于$MN// PQ$，$AB\perp PQ$，
所以$AB\perp MN$，
可得$\angle DAE=\angle EBC=90^\circ$。
又因为$AD=EB$，$DE=EC$，
根据三角形全等（HL）判定定理，在$Rt\triangle ADE$与$Rt\triangle BEC$中，
$\left\{\begin{matrix}AD=EB,\\DE=EC.\end{matrix}\right.$
所以$\triangle ADE\cong\triangle BEC$，
可得$AE=BC$。
又因为$AD+BC=7$，
所以$AD+AE=7$，
即$AB=AE+BE=7$。
所以，本题得答案为7。
所以$AB\perp MN$，
可得$\angle DAE=\angle EBC=90^\circ$。
又因为$AD=EB$，$DE=EC$，
根据三角形全等（HL）判定定理，在$Rt\triangle ADE$与$Rt\triangle BEC$中，
$\left\{\begin{matrix}AD=EB,\\DE=EC.\end{matrix}\right.$
所以$\triangle ADE\cong\triangle BEC$，
可得$AE=BC$。
又因为$AD+BC=7$，
所以$AD+AE=7$，
即$AB=AE+BE=7$。
所以，本题得答案为7。
5. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有
①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等。
①③⑤
。(填序号)①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等。
答案
①③⑤
解析
①两条直角边对应相等，符合SAS，可判定全等；②两个锐角对应相等，仅能判定相似，不可判定全等；③斜边和一条直角边对应相等，符合HL，可判定全等；④一条直角边和一个锐角相等，未明确“对应”，边可能不对应，不可判定全等；⑤斜边和一个锐角对应相等，符合AAS，可判定全等；⑥两条边相等，未明确边的类型（直角边或斜边），不可判定全等。正确的有①③⑤。
