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8. 如图,P 是$∠ AOB$的边 OB 上一点。
(1)过点 P 画 OB 的垂线,交 OA 于点 C,过点 P 画 OA 的垂线,垂足为 H;
(2)线段 PH 的长度是点 P 到
(1)过点 P 画 OB 的垂线,交 OA 于点 C,过点 P 画 OA 的垂线,垂足为 H;
(2)线段 PH 的长度是点 P 到
OA
的距离,线段CP的长度
是点 C 到直线 OB 的距离。线段 PC,PH,OC 这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC
(用"＜"连接)。答案
8.解:(1)如图:
(2)OA,线段CP的长度,PH＜PC＜OC。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，需利用三角板完成垂线作图：过点P画OB的垂线时，将三角板一条直角边与OB重合，另一条直角边过点P，沿该直角边画直线交OA于C；过点P画OA的垂线时，将三角板一条直角边与OA重合，另一条直角边过点P，沿该直角边画直线，垂足为H。
2. 对于第(2)问，根据点到直线的距离定义，可确定PH的意义和点C到OB的距离对应的线段；再依据“垂线段最短”的性质，PH是点P到OA的垂线段，故PH＜PC，PC是点C到OB的垂线段，故PC＜OC，从而得到三条线段的大小关系。
【解析】
(1) 按照垂线的规范画法，用三角板作图，结果如图所示：
(2) 根据点到直线的距离的定义：
线段PH的长度是点P到OA的距离；
线段CP的长度是点C到直线OB的距离；
根据垂线段最短的性质，可得$PH＜PC＜OC$。
【答案】
(1)
(2) OA，线段CP的长度，$PH＜PC＜OC$
【知识点】
点到直线的距离，垂线段最短，垂线的画法
【点评】
本题属于基础几何题，考查了垂线的作图方法、点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质，需要熟练掌握基本作图技能和几何概念，理解垂线段最短在线段长度比较中的应用。
【难度系数】
0.7
1. 对于第(1)问，需利用三角板完成垂线作图：过点P画OB的垂线时，将三角板一条直角边与OB重合，另一条直角边过点P，沿该直角边画直线交OA于C；过点P画OA的垂线时，将三角板一条直角边与OA重合，另一条直角边过点P，沿该直角边画直线，垂足为H。
2. 对于第(2)问，根据点到直线的距离定义，可确定PH的意义和点C到OB的距离对应的线段；再依据“垂线段最短”的性质，PH是点P到OA的垂线段，故PH＜PC，PC是点C到OB的垂线段，故PC＜OC，从而得到三条线段的大小关系。
【解析】
(1) 按照垂线的规范画法，用三角板作图，结果如图所示：
(2) 根据点到直线的距离的定义：
线段PH的长度是点P到OA的距离；
线段CP的长度是点C到直线OB的距离；
根据垂线段最短的性质，可得$PH＜PC＜OC$。
【答案】
(1)
(2) OA，线段CP的长度，$PH＜PC＜OC$
【知识点】
点到直线的距离，垂线段最短，垂线的画法
【点评】
本题属于基础几何题，考查了垂线的作图方法、点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质，需要熟练掌握基本作图技能和几何概念，理解垂线段最短在线段长度比较中的应用。
【难度系数】
0.7
9. 已知 P 是直线 MN 外一点,A,B,C 是直线 MN 上三点,分别连接 PA,PB,PC。
(1)通过测量的方法,比较 PA,PB,PC的大小,直接用"＞"连接;
(2)在直线 MN 上能否找到一点 D,使PD 的长度最短? 如果有,请在图中画出线段 PD,并说明理论依据;如果没有,请说明理由。
(1)通过测量的方法,比较 PA,PB,PC的大小,直接用"＞"连接;
(2)在直线 MN 上能否找到一点 D,使PD 的长度最短? 如果有,请在图中画出线段 PD,并说明理论依据;如果没有,请说明理由。
答案
9.解:(1)通过测量可知,PA＞PB＞PC;
(2)能。过点P作PD⊥MN交MN于点D,则PD
最短(垂线段最短)。
解析
【分析】
(1) 题目要求用测量法比较PA、PB、PC的大小，我们可以直接测量三条线段的长度，根据测量数值的大小关系进行比较，从图形直观来看，点P到直线MN上的点距离越近，对应线段越短，因此PA最长，PC最短。
(2) 要找到使PD最短的点D，根据几何中的垂线段性质，直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以只需过点P作直线MN的垂线，垂足即为所求的点D。
【解析】
(1) 通过实际测量三条线段的长度，可得它们的大小关系为：$\boldsymbol{PA＞PB＞PC}$；
(2) 能找到这样的点D。具体做法：过点P作$PD⊥ MN$，垂足为D，线段PD即为所求。理论依据是：垂线段最短，即直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【答案】
(1) $\boldsymbol{PA＞PB＞PC}$；
(2) 能。过点P作PD⊥MN交MN于点D,则PD最短(垂线段最短)。
【知识点】
线段长短比较；垂线段最短
【点评】
本题属于基础几何题，考查了线段长度的测量比较方法和垂线段的核心性质，旨在强化学生对几何基本概念的理解与实际应用能力，通过直观操作与几何性质结合的方式，帮助学生巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
(1) 题目要求用测量法比较PA、PB、PC的大小，我们可以直接测量三条线段的长度，根据测量数值的大小关系进行比较，从图形直观来看，点P到直线MN上的点距离越近，对应线段越短，因此PA最长，PC最短。
(2) 要找到使PD最短的点D，根据几何中的垂线段性质，直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以只需过点P作直线MN的垂线，垂足即为所求的点D。
【解析】
(1) 通过实际测量三条线段的长度，可得它们的大小关系为：$\boldsymbol{PA＞PB＞PC}$；
(2) 能找到这样的点D。具体做法：过点P作$PD⊥ MN$，垂足为D，线段PD即为所求。理论依据是：垂线段最短，即直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【答案】
(1) $\boldsymbol{PA＞PB＞PC}$；
(2) 能。过点P作PD⊥MN交MN于点D,则PD最短(垂线段最短)。
【知识点】
线段长短比较；垂线段最短
【点评】
本题属于基础几何题，考查了线段长度的测量比较方法和垂线段的核心性质，旨在强化学生对几何基本概念的理解与实际应用能力，通过直观操作与几何性质结合的方式，帮助学生巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
10. 如图,用三张卡片拼成如图①,图②所示的两个四边形,其周长分别为$C_{1}$,$C_{2}$。
(1)请你根据所学知识解释:在直角三角形卡片中,"$n＜m$"的理由是
(2)分别计算$C_{1}$,$C_{2}$(用含 m,n 的代数式表示),并比较$C_{1}$和$C_{2}$的大小。
自我反思
存在的问题：
改进的措施：
(1)请你根据所学知识解释:在直角三角形卡片中,"$n＜m$"的理由是
垂线段最短
;(2)分别计算$C_{1}$,$C_{2}$(用含 m,n 的代数式表示),并比较$C_{1}$和$C_{2}$的大小。
自我反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.解:(1)垂线段最短;
(2)如图所示,
C₁=2m+4n;C₂=4m+2n,
C₁-C₂=(2m+4n)-(4m+2n)=2n-2m=2(n-m)。
因为n＜m,所以n-m＜0,
所以2(n-m)＜0,
所以C₁＜C₂。
解析
【分析】
(1) 在直角三角形中，直角边$n$是从直角顶点到另一条直角边的垂线段，斜边$m$是连接直角顶点与对边顶点的线段，根据垂线段最短的性质，垂线段是点到直线的最短距离，因此$n＜m$。
(2) 计算两个四边形的周长时，需明确图形的组成边，排除重合部分的长度。图①的周长由2条斜边$m$和4条正方形的边$n$组成；图②的周长由4条斜边$m$和2条正方形的边$n$组成。之后通过作差法计算$C_1 - C_2$，结合$n＜m$的条件判断差值的正负，从而比较$C_1$与$C_2$的大小。
【解析】
(1) 根据垂线段最短的性质，直角三角形中作为垂线段的直角边$n$小于斜边$m$，故理由为：垂线段最短。
(2) 观察图形可得：
$C_{1}=2m + 4n$；
$C_{2}=4m + 2n$，
计算$C_1$与$C_2$的差：
$\begin{aligned}C_{1}-C_{2}&=(2m + 4n)-(4m + 2n)\\&=2m + 4n - 4m - 2n\\&=2n - 2m\\&=2(n - m)\end{aligned}$
因为$n＜m$，所以$n - m＜0$，
则$2(n - m)＜0$，
因此$C_{1}＜C_{2}$。
【答案】
10.解:(1)垂线段最短;
(2)如图所示,
C₁=2m+4n;C₂=4m+2n,
C₁-C₂=(2m+4n)-(4m+2n)=2n-2m=2(n-m)。
因为n＜m,所以n-m＜0,
所以2(n-m)＜0,
所以C₁＜C₂。
【知识点】
垂线段最短；整式的加减；作差法比较大小
【点评】
本题结合图形考查了垂线段的性质与整式的加减运算，解题关键是准确分析图形周长的组成部分，熟练运用作差法比较两个代数式的大小，培养了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 在直角三角形中，直角边$n$是从直角顶点到另一条直角边的垂线段，斜边$m$是连接直角顶点与对边顶点的线段，根据垂线段最短的性质，垂线段是点到直线的最短距离，因此$n＜m$。
(2) 计算两个四边形的周长时，需明确图形的组成边，排除重合部分的长度。图①的周长由2条斜边$m$和4条正方形的边$n$组成；图②的周长由4条斜边$m$和2条正方形的边$n$组成。之后通过作差法计算$C_1 - C_2$，结合$n＜m$的条件判断差值的正负，从而比较$C_1$与$C_2$的大小。
【解析】
(1) 根据垂线段最短的性质，直角三角形中作为垂线段的直角边$n$小于斜边$m$，故理由为：垂线段最短。
(2) 观察图形可得：
$C_{1}=2m + 4n$；
$C_{2}=4m + 2n$，
计算$C_1$与$C_2$的差：
$\begin{aligned}C_{1}-C_{2}&=(2m + 4n)-(4m + 2n)\\&=2m + 4n - 4m - 2n\\&=2n - 2m\\&=2(n - m)\end{aligned}$
因为$n＜m$，所以$n - m＜0$，
则$2(n - m)＜0$，
因此$C_{1}＜C_{2}$。
【答案】
10.解:(1)垂线段最短;
(2)如图所示,
C₁=2m+4n;C₂=4m+2n,
C₁-C₂=(2m+4n)-(4m+2n)=2n-2m=2(n-m)。
因为n＜m,所以n-m＜0,
所以2(n-m)＜0,
所以C₁＜C₂。
【知识点】
垂线段最短；整式的加减；作差法比较大小
【点评】
本题结合图形考查了垂线段的性质与整式的加减运算，解题关键是准确分析图形周长的组成部分，熟练运用作差法比较两个代数式的大小，培养了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
