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一、选择题
1. 已知 $ x_1 $，$ x_2 $ 是方程 $ 3x^2 = 6 - 2x $ 的两根，则 $ x_1 - x_1x_2 + x_2 $ 的值为(
A.$-\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$-\dfrac{8}{3}$
D.$\dfrac{4}{3}$
1. 已知 $ x_1 $，$ x_2 $ 是方程 $ 3x^2 = 6 - 2x $ 的两根，则 $ x_1 - x_1x_2 + x_2 $ 的值为(
D
).A.$-\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$-\dfrac{8}{3}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
1. D
解析
解：方程化为一般式：$3x^2 + 2x - 6 = 0$
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{3}$，$x_1x_2 = -2$
$x_1 - x_1x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) - x_1x_2 = -\dfrac{2}{3} - (-2) = -\dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{4}{3}$
D
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{3}$，$x_1x_2 = -2$
$x_1 - x_1x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) - x_1x_2 = -\dfrac{2}{3} - (-2) = -\dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{4}{3}$
D
2. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ ($ a ≠ 0 $) 的两根互为倒数，那么(
A.$ a = b $
B.$ b = c $
C.$ a = c $
D.$ a = b = c $
C
).A.$ a = b $
B.$ b = c $
C.$ a = c $
D.$ a = b = c $
答案
2. C
解析
设方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）的两根为$x_1$，$x_2$。
由韦达定理得：$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
因为两根互为倒数，所以$x_1x_2 = 1$，即$\frac{c}{a} = 1$，故$a = c$。
答案：C
由韦达定理得：$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
因为两根互为倒数，所以$x_1x_2 = 1$，即$\frac{c}{a} = 1$，故$a = c$。
答案：C
3. 关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根同为负数，则(
A.$ p ＞ 0 $ 且 $ q ＞ 0 $
B.$ p ＞ 0 $ 且 $ q ＜ 0 $
C.$ p ＜ 0 $ 且 $ q ＞ 0 $
D.$ p ＜ 0 $ 且 $ q ＜ 0 $
A
).A.$ p ＞ 0 $ 且 $ q ＞ 0 $
B.$ p ＞ 0 $ 且 $ q ＜ 0 $
C.$ p ＜ 0 $ 且 $ q ＞ 0 $
D.$ p ＜ 0 $ 且 $ q ＜ 0 $
答案
3. A
解析
设方程$x^2 + px + q = 0$的两根为$x_1$，$x_2$。
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$。
因为两根同为负数，所以$x_1 + x_2 ＜ 0$，$x_1x_2 ＞ 0$。
即$-p ＜ 0$，得$p ＞ 0$；$q ＞ 0$。
A
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$。
因为两根同为负数，所以$x_1 + x_2 ＜ 0$，$x_1x_2 ＞ 0$。
即$-p ＜ 0$，得$p ＞ 0$；$q ＞ 0$。
A
二、填空题
4. 若 $ x_1 $，$ x_2 $ 是方程 $ x^2 - 2x + m = 0 $ 的两根，且 $ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 2 $，则 $ m $ 的值为
4. 若 $ x_1 $，$ x_2 $ 是方程 $ x^2 - 2x + m = 0 $ 的两根，且 $ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 2 $，则 $ m $ 的值为
1
.答案
4. 1
解析
由韦达定理得，$x_1 + x_2 = 2$，$x_1 x_2 = m$。
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{2}{m} = 2$，解得$m = 1$。
1
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{2}{m} = 2$，解得$m = 1$。
1
5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (m - 3)x + (n + 5) = 0 $ 的两根分别是 $-2$，$-3$，则 $ m + n $ 的值为
9
.答案
5. 9
解析
解：由根与系数的关系得：
$-2 + (-3) = -(m - 3)$，解得$m = 8$；
$-2 × (-3) = n + 5$，解得$n = 1$。
$m + n = 8 + 1 = 9$。
9
$-2 + (-3) = -(m - 3)$，解得$m = 8$；
$-2 × (-3) = n + 5$，解得$n = 1$。
$m + n = 8 + 1 = 9$。
9
6. 若 $ 2 + \sqrt{3} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 4x + k = 0 $ 的一个根，则另一根是
$ 2 - \sqrt { 3 } $
，$ k $ 的值为1
.答案
6. $ 2 - \sqrt { 3 } $ 1
解析
设方程的另一根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 - 4x + k = 0$，根据韦达定理，两根之和为$4$。
已知一个根为$2 + \sqrt{3}$，则$x_1 + (2 + \sqrt{3}) = 4$，解得$x_1 = 4 - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$。
两根之积为$k$，所以$k = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。
$2 - \sqrt{3}$；$1$
对于一元二次方程$x^2 - 4x + k = 0$，根据韦达定理，两根之和为$4$。
已知一个根为$2 + \sqrt{3}$，则$x_1 + (2 + \sqrt{3}) = 4$，解得$x_1 = 4 - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$。
两根之积为$k$，所以$k = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。
$2 - \sqrt{3}$；$1$
三、解答题
7. 若一元二次方程 $ 2x^2 - 6x + 3 = 0 $ 的两根为 $ x_1 $，$ x_2 $，求下列各式的值：
(1) $ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} $；
(2) $ x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 $；
(3) $ (x_1 - x_2)^2 $.
7. 若一元二次方程 $ 2x^2 - 6x + 3 = 0 $ 的两根为 $ x_1 $，$ x_2 $，求下列各式的值：
(1) $ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} $；
(2) $ x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 $；
(3) $ (x_1 - x_2)^2 $.
答案
7. (1) 2 (2) $ \frac { 15 } { 2 } $ (3) 3
解析
由韦达定理得，$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = \dfrac{3}{2}$。
(1) $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{3}{\dfrac{3}{2}} = 2$
(2) $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 = 3^2 - \dfrac{3}{2} = 9 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}$
(3) $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 3^2 - 4×\dfrac{3}{2} = 9 - 6 = 3$
(1) $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{3}{\dfrac{3}{2}} = 2$
(2) $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 = 3^2 - \dfrac{3}{2} = 9 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}$
(3) $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 3^2 - 4×\dfrac{3}{2} = 9 - 6 = 3$
