登录
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{8x}$
B.$\sqrt{x^2 - 3}$
C.$\sqrt{\dfrac{x - y}{x}}$
D.$\sqrt{3a^2b}$
B
）A.$\sqrt{8x}$
B.$\sqrt{x^2 - 3}$
C.$\sqrt{\dfrac{x - y}{x}}$
D.$\sqrt{3a^2b}$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数中不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需对照这两个条件，逐个分析每个选项是否符合，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. $\sqrt{8x}=\sqrt{4×2x}=2\sqrt{2x}$，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{x^2 - 3}$，被开方数$x^2-3$无法分解出能开得尽方的因式，也不含分母，满足最简二次根式的全部条件，是最简二次根式；
C. $\sqrt{\dfrac{x - y}{x}}$，被开方数含有分母$x$，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{3a^2b}=\vert a\vert\sqrt{3b}$，被开方数中含有能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式部分的基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要熟记判定标准即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数中不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需对照这两个条件，逐个分析每个选项是否符合，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. $\sqrt{8x}=\sqrt{4×2x}=2\sqrt{2x}$，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{x^2 - 3}$，被开方数$x^2-3$无法分解出能开得尽方的因式，也不含分母，满足最简二次根式的全部条件，是最简二次根式；
C. $\sqrt{\dfrac{x - y}{x}}$，被开方数含有分母$x$，不是最简二次根式；
D. $\sqrt{3a^2b}=\vert a\vert\sqrt{3b}$，被开方数中含有能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式部分的基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要熟记判定标准即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图1,在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 (
A.$∠1=∠2$
B.$∠BAD=∠BCD$
C.$AB=CD$
D.$AC⊥BD$
D
)A.$∠1=∠2$
B.$∠BAD=∠BCD$
C.$AB=CD$
D.$AC⊥BD$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的相关性质，再逐一验证每个选项是否符合性质：首先利用平行四边形对边平行的性质判断A选项，利用对角相等、对边相等的性质分别判断B、C选项，最后根据普通平行四边形仅满足对角线互相平分、不满足垂直的特点判断D选项，即可找到错误结论。
【解析】
解：逐一分析各选项：
A.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，BD是截线，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠2，该结论正确，不符合题意；
B. 平行四边形的两组对角分别相等，因此∠BAD=∠BCD，该结论正确，不符合题意；
C. 平行四边形的两组对边分别相等，因此AB=CD，该结论正确，不符合题意；
D. 平行四边形的对角线互相平分，只有菱形、正方形这类特殊的平行四边形对角线才互相垂直，本题是普通平行四边形，无法推出AC⊥BD，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平行四边形基本性质的掌握，解题时要注意区分普通平行四边形和特殊平行四边形的性质差异，避免将特殊图形的性质套用到普通图形上。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的相关性质，再逐一验证每个选项是否符合性质：首先利用平行四边形对边平行的性质判断A选项，利用对角相等、对边相等的性质分别判断B、C选项，最后根据普通平行四边形仅满足对角线互相平分、不满足垂直的特点判断D选项，即可找到错误结论。
【解析】
解：逐一分析各选项：
A.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，BD是截线，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠2，该结论正确，不符合题意；
B. 平行四边形的两组对角分别相等，因此∠BAD=∠BCD，该结论正确，不符合题意；
C. 平行四边形的两组对边分别相等，因此AB=CD，该结论正确，不符合题意；
D. 平行四边形的对角线互相平分，只有菱形、正方形这类特殊的平行四边形对角线才互相垂直，本题是普通平行四边形，无法推出AC⊥BD，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平行四边形基本性质的掌握，解题时要注意区分普通平行四边形和特殊平行四边形的性质差异，避免将特殊图形的性质套用到普通图形上。
【难度系数】
0.8
3.为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆.那么这15天该时段通过该路口汽车的平均辆数为
（
A.146
B.150
C.153
D.160
（
C
）A.146
B.150
C.153
D.160
答案
3.C
解析
【分析】
本题要求15天的平均车流量，属于加权平均数的计算问题。解题思路如下：首先明确平均辆数的计算规则：总车流量÷总天数=平均每天的车流量。由于不同车流量对应的天数不同，不能直接将四个车流量数值相加除以4，需要先分别计算每种车流量对应的总辆数，求和得到15天的总车流量，再除以总天数15即可得到结果。
【解析】
首先计算15天通过该路口的汽车总辆数：
总辆数 = 142×2 + 145×2 + 156×6 + 157×5
= 284 + 290 + 936 + 785
= 2295（辆）
总天数为15天，因此平均辆数为：
2295 ÷ 15 = 153（辆）
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 加权平均数计算
2. 平均数的实际应用
【点评】
本题是平均数在实际统计中的基础应用题，解题核心是正确区分加权平均数与算术平均数的适用场景，避免忽略各数据对应的权重（天数）直接求平均的错误。
【难度系数】
0.7
本题要求15天的平均车流量，属于加权平均数的计算问题。解题思路如下：首先明确平均辆数的计算规则：总车流量÷总天数=平均每天的车流量。由于不同车流量对应的天数不同，不能直接将四个车流量数值相加除以4，需要先分别计算每种车流量对应的总辆数，求和得到15天的总车流量，再除以总天数15即可得到结果。
【解析】
首先计算15天通过该路口的汽车总辆数：
总辆数 = 142×2 + 145×2 + 156×6 + 157×5
= 284 + 290 + 936 + 785
= 2295（辆）
总天数为15天，因此平均辆数为：
2295 ÷ 15 = 153（辆）
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 加权平均数计算
2. 平均数的实际应用
【点评】
本题是平均数在实际统计中的基础应用题，解题核心是正确区分加权平均数与算术平均数的适用场景，避免忽略各数据对应的权重（天数）直接求平均的错误。
【难度系数】
0.7
4.某企业员工的个人月工资情况如表所示：
该企业员工月工资的中位数是
该企业员工月工资的中位数是
3 000
。答案
4. 3 000
解析
【分析】
要计算该企业员工月工资的中位数，首先需明确中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据总个数为奇数，中位数是中间位置的数；若为偶数，中位数是中间两个数的平均数。解题步骤为：第一步先计算员工总人数，确定中位数所在的位次；第二步将月工资从小到大排序，结合各工资对应的人数累计计数，找到对应位次的月工资数值即可。
【解析】
首先计算员工总人数：$1+2+5+20+24+3=55$（人）
总人数55是奇数，因此中位数是将所有员工工资从小到大排序后第$\frac{55+1}{2}=28$个数据。
接下来按工资从低到高累计人数：
月工资2500元的共3人，对应排序后第1~3位；
月工资2800元的共24人，对应排序后第4~$3+24=27$位；
月工资3000元的共20人，对应排序后第28~$27+20=47$位。
可知第28个数据为3000元，因此该企业员工月工资的中位数是3000元。
【答案】
3000
【知识点】
中位数的计算；频数统计表应用
【点评】
本题考查中位数的求解，解题的关键是先确定总数据个数找到中位数的位次，再结合频数统计表累计计数找到对应数值，切忌直接取表格中排列在中间的工资数值，掌握中位数定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算该企业员工月工资的中位数，首先需明确中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据总个数为奇数，中位数是中间位置的数；若为偶数，中位数是中间两个数的平均数。解题步骤为：第一步先计算员工总人数，确定中位数所在的位次；第二步将月工资从小到大排序，结合各工资对应的人数累计计数，找到对应位次的月工资数值即可。
【解析】
首先计算员工总人数：$1+2+5+20+24+3=55$（人）
总人数55是奇数，因此中位数是将所有员工工资从小到大排序后第$\frac{55+1}{2}=28$个数据。
接下来按工资从低到高累计人数：
月工资2500元的共3人，对应排序后第1~3位；
月工资2800元的共24人，对应排序后第4~$3+24=27$位；
月工资3000元的共20人，对应排序后第28~$27+20=47$位。
可知第28个数据为3000元，因此该企业员工月工资的中位数是3000元。
【答案】
3000
【知识点】
中位数的计算；频数统计表应用
【点评】
本题考查中位数的求解，解题的关键是先确定总数据个数找到中位数的位次，再结合频数统计表累计计数找到对应数值，切忌直接取表格中排列在中间的工资数值，掌握中位数定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5.如果函数$y=(a-2)x+3$是一次函数，那么a的取值范围是
$a≠2$
.答案
5. $a≠2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数），其中核心限制条件是一次项系数$k≠0$，如果$k=0$，函数就会变成常数函数，不再是一次函数。本题中对应一次项系数是$a-2$，我们只需要让这个系数不等于0，解出不等式就能得到$a$的取值范围。
【解析】
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数。
已知函数$y=(a-2)x+3$是一次函数，因此一次项系数不能为0，即：
$a-2≠0$
解得：$a≠2$
【答案】
$a≠2$
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对一次函数定义的掌握，解题的关键是牢记一次函数中一次项系数不为0的隐含限制条件，避免遗漏这个要求导致出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数），其中核心限制条件是一次项系数$k≠0$，如果$k=0$，函数就会变成常数函数，不再是一次函数。本题中对应一次项系数是$a-2$，我们只需要让这个系数不等于0，解出不等式就能得到$a$的取值范围。
【解析】
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数。
已知函数$y=(a-2)x+3$是一次函数，因此一次项系数不能为0，即：
$a-2≠0$
解得：$a≠2$
【答案】
$a≠2$
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对一次函数定义的掌握，解题的关键是牢记一次函数中一次项系数不为0的隐含限制条件，避免遗漏这个要求导致出错。
【难度系数】
0.9
6.如图2,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$,$E$分别是边$AB$,$AC$的中点,延长$BC$至点$F$,使$CF=\frac{1}{2}BC$.若$AB=10$,则$EF$的长是
5
.答案
6. 5
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：题目给出直角三角形、边的中点，以及CF与BC的数量关系。首先想到利用三角形中位线定理得到DE和BC的位置、数量关系，结合CF=½BC推出DE与CF平行且相等，证明四边形DEFC是平行四边形，将EF转化为CD；再利用直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：连接CD。
1. 因为D、E分别是AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
2. 已知$CF=\frac{1}{2}BC$，因此$DE=CF$，又因为$DE// BC$，F在BC的延长线上，所以$DE// CF$，由此可知四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，得$EF=CD$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。已知$AB=10$，代入得$CD=\frac{1}{2}×10=5$，因此$EF=CD=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形、平行四边形、直角三角形的相关性质，核心是通过转化思想将未知线段EF转化为和已知条件相关的斜边中线CD，解题的关键是熟练掌握中位线、平行四边形、直角三角形的性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：题目给出直角三角形、边的中点，以及CF与BC的数量关系。首先想到利用三角形中位线定理得到DE和BC的位置、数量关系，结合CF=½BC推出DE与CF平行且相等，证明四边形DEFC是平行四边形，将EF转化为CD；再利用直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：连接CD。
1. 因为D、E分别是AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
2. 已知$CF=\frac{1}{2}BC$，因此$DE=CF$，又因为$DE// BC$，F在BC的延长线上，所以$DE// CF$，由此可知四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，得$EF=CD$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。已知$AB=10$，代入得$CD=\frac{1}{2}×10=5$，因此$EF=CD=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形、平行四边形、直角三角形的相关性质，核心是通过转化思想将未知线段EF转化为和已知条件相关的斜边中线CD，解题的关键是熟练掌握中位线、平行四边形、直角三角形的性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
7.一个零件的形状如图3所示.按规定,这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量出了这个零件各边尺寸,那么这个零件符合要求吗?求出四边形ABCD的面积.
答案
7. 符合要求，$S_{四边形ABCD}=36$
解析
【分析】
要判断零件是否符合要求，需验证∠A和∠DBC是否为直角，可利用勾股定理的逆定理，分别判断△ABD、△BCD的三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”，若满足则对应角为直角，零件符合要求；再将四边形ABCD的面积拆分为两个直角三角形的面积和计算即可。
【解析】
1. 验证∠A是否为直角：
在△ABD中，AB=3，AD=4，BD=5
∵ $AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BD^2 = 5^2 = 25$
∴ $AB^2 + AD^2 = BD^2$
根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且∠A=90°
2. 验证∠DBC是否为直角：
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13
∵ $BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$CD^2 = 13^2 = 169$
∴ $BD^2 + BC^2 = CD^2$
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°
因此这个零件符合要求。
3. 计算四边形ABCD的面积：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$
∴ $S_{四边形ABCD} = 6 + 30 = 36$
【答案】
这个零件符合要求，$S_{四边形ABCD}=36$
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题将几何知识与实际应用结合，核心是利用勾股定理的逆定理判断直角，再通过拆分法求不规则四边形的面积，解题时要注意准确代入边长计算，掌握转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要判断零件是否符合要求，需验证∠A和∠DBC是否为直角，可利用勾股定理的逆定理，分别判断△ABD、△BCD的三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”，若满足则对应角为直角，零件符合要求；再将四边形ABCD的面积拆分为两个直角三角形的面积和计算即可。
【解析】
1. 验证∠A是否为直角：
在△ABD中，AB=3，AD=4，BD=5
∵ $AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BD^2 = 5^2 = 25$
∴ $AB^2 + AD^2 = BD^2$
根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且∠A=90°
2. 验证∠DBC是否为直角：
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13
∵ $BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$CD^2 = 13^2 = 169$
∴ $BD^2 + BC^2 = CD^2$
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°
因此这个零件符合要求。
3. 计算四边形ABCD的面积：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$
∴ $S_{四边形ABCD} = 6 + 30 = 36$
【答案】
这个零件符合要求，$S_{四边形ABCD}=36$
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题将几何知识与实际应用结合，核心是利用勾股定理的逆定理判断直角，再通过拆分法求不规则四边形的面积，解题时要注意准确代入边长计算，掌握转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
