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8. 如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，AE//CD，AE交BC于点E，AE平分∠BAC，AO=CO，AD=DC=2。下面结论：①AC=2AB；②AB=$\sqrt{3}$；③$S_{△ ADC}=2S_{△ ABE}$；④BO⊥AE。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先根据两组对边平行判定四边形AECD是平行四边形，结合AD=DC推出它是菱形，得到边相等、角相等的关系；再结合AE平分∠BAC、AD//BC、∠ABC=90°的条件，推导出∠BAE=∠CAE=∠DAC=30°，得到Rt△ABC中30°角的边角关系，再依次验证四个结论是否成立即可。
【解析】
1. 判定四边形AECD的形状并推导角度关系：
∵AD//BC，AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
又
∵AD=DC=2，
∴平行四边形AECD是菱形，
∴AD=DC=CE=AE=2，且∠DAC=∠DCA，
∵AE//CD，
∴∠DCA=∠CAE，
∴∠DAC=∠CAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CAE=∠DAC，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-90°=90°，
∴∠BAE+∠CAE+∠DAC=90°，即3∠BAE=90°，得∠BAE=∠CAE=∠DAC=30°，
∴∠BAC=60°，Rt△ABC中∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC，即AC=2AB，结论①正确。
2. 计算AB的长度：
在△ADC中，AD=DC=2，∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ADC=120°，
连接DE交AC于点F，菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°，DF=$\frac{1}{2}$AD=1，
由勾股定理得AF=$\sqrt{AD^2-DF^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AF=2$\sqrt{3}$，
由①得AC=2AB，
∴AB=AC÷2=$\sqrt{3}$，结论②正确。
3. 验证面积关系：
Rt△ABE中，AE=2（菱形边长），AB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得BE=$\sqrt{AE^2-AB^2}$=$\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}$=1，
∴$S_{△ABE}$=$\frac{1}{2}$×AB×BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{△ADC}$=$\frac{1}{2}$×AC×DF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴$S_{△ADC}=2S_{△ABE}$，结论③正确。
4. 验证BO⊥AE：
Rt△ABC中，O是AC中点，
∴BO=AO=CO（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∵∠BAC=60°，AO=AB=$\sqrt{3}$，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∵∠BAE=30°，
∴∠ABO+∠BAE=90°，
∴BO与AE的夹角为90°，即BO⊥AE，结论④正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题综合考察了特殊四边形、直角三角形、等腰三角形的相关性质，需要逐步推导角与边的关系，逐一验证结论，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据两组对边平行判定四边形AECD是平行四边形，结合AD=DC推出它是菱形，得到边相等、角相等的关系；再结合AE平分∠BAC、AD//BC、∠ABC=90°的条件，推导出∠BAE=∠CAE=∠DAC=30°，得到Rt△ABC中30°角的边角关系，再依次验证四个结论是否成立即可。
【解析】
1. 判定四边形AECD的形状并推导角度关系：
∵AD//BC，AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
又
∵AD=DC=2，
∴平行四边形AECD是菱形，
∴AD=DC=CE=AE=2，且∠DAC=∠DCA，
∵AE//CD，
∴∠DCA=∠CAE，
∴∠DAC=∠CAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CAE=∠DAC，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-90°=90°，
∴∠BAE+∠CAE+∠DAC=90°，即3∠BAE=90°，得∠BAE=∠CAE=∠DAC=30°，
∴∠BAC=60°，Rt△ABC中∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC，即AC=2AB，结论①正确。
2. 计算AB的长度：
在△ADC中，AD=DC=2，∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ADC=120°，
连接DE交AC于点F，菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°，DF=$\frac{1}{2}$AD=1，
由勾股定理得AF=$\sqrt{AD^2-DF^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AF=2$\sqrt{3}$，
由①得AC=2AB，
∴AB=AC÷2=$\sqrt{3}$，结论②正确。
3. 验证面积关系：
Rt△ABE中，AE=2（菱形边长），AB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得BE=$\sqrt{AE^2-AB^2}$=$\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}$=1，
∴$S_{△ABE}$=$\frac{1}{2}$×AB×BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{△ADC}$=$\frac{1}{2}$×AC×DF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴$S_{△ADC}=2S_{△ABE}$，结论③正确。
4. 验证BO⊥AE：
Rt△ABC中，O是AC中点，
∴BO=AO=CO（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∵∠BAC=60°，AO=AB=$\sqrt{3}$，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∵∠BAE=30°，
∴∠ABO+∠BAE=90°，
∴BO与AE的夹角为90°，即BO⊥AE，结论④正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题综合考察了特殊四边形、直角三角形、等腰三角形的相关性质，需要逐步推导角与边的关系，逐一验证结论，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9.如图5所示,平行四边形ABCD的周长是18 cm,对角线AC,BD相交于点O.如果△AOD与△AOB的周长差是5 cm,那么较短的边AB的长是
2
cm.答案
9. 2
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手：首先平行四边形对边相等，因此周长的一半就是一组邻边AB与AD的长度和；其次平行四边形对角线互相平分，可得△AOD和△AOB中，公共边AO相等，OD=OB，因此两个三角形的周长差实际就是AD与AB的长度差。最后结合已知的周长差和邻边和，通过列方程即可求出较短边AB的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵平行四边形ABCD的周长是18 cm
∴2(AB + AD) = 18，即AB + AD = 9 ①
∵△AOD的周长 = AO + OD + AD，△AOB的周长 = AO + OB + AB，且OB=OD、AO为公共边
∴△AOD与△AOB的周长差 = AD - AB = 5 cm ②
联立①②，将①-②得：2AB = 4，解得AB=2 cm，AD=7 cm
因此较短边AB的长为2 cm。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；二元一次方程组的应用；周长计算
【点评】
本题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将三角形的周长差转化为平行四边形邻边的长度差，大大简化计算过程，是平行四边形性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手：首先平行四边形对边相等，因此周长的一半就是一组邻边AB与AD的长度和；其次平行四边形对角线互相平分，可得△AOD和△AOB中，公共边AO相等，OD=OB，因此两个三角形的周长差实际就是AD与AB的长度差。最后结合已知的周长差和邻边和，通过列方程即可求出较短边AB的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵平行四边形ABCD的周长是18 cm
∴2(AB + AD) = 18，即AB + AD = 9 ①
∵△AOD的周长 = AO + OD + AD，△AOB的周长 = AO + OB + AB，且OB=OD、AO为公共边
∴△AOD与△AOB的周长差 = AD - AB = 5 cm ②
联立①②，将①-②得：2AB = 4，解得AB=2 cm，AD=7 cm
因此较短边AB的长为2 cm。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质；二元一次方程组的应用；周长计算
【点评】
本题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将三角形的周长差转化为平行四边形邻边的长度差，大大简化计算过程，是平行四边形性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
10.现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的长度的最大值为
$10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
。答案
10. $10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题需要结合直角三角形的性质求解第三边的最大值，解题思路如下：首先明确已知两边可作为直角边，也可其中较长边作为斜边，因此需分两种情况讨论：①50cm长的木棒为斜边，第三边为直角边；②第三边为斜边，40cm和50cm的木棒均为直角边。再分别用勾股定理计算两种情况的第三边长度，比较大小后即可得到最大值。
【解析】
解：分两种情况计算第三根木棒的长度：
1. 当50cm的木棒为直角三角形的斜边时，设第三根木棒长为$x\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$x = \sqrt{50^2 - 40^2} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = 30\ \mathrm{cm}$
2. 当第三根木棒为直角三角形的斜边时，40cm和50cm的木棒均为直角边，根据勾股定理：
$x = \sqrt{40^2 + 50^2} = \sqrt{1600 + 2500} = \sqrt{4100} = 10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
比较得$10\sqrt{41} ＞ 30$，因此所需木棒长度的最大值为$10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是漏考虑第三边为斜边的情况，解题时要结合直角三角形斜边最长的特点，分情况讨论斜边的归属，再通过勾股定理计算后比较结果得到答案。
【难度系数】
0.7
本题需要结合直角三角形的性质求解第三边的最大值，解题思路如下：首先明确已知两边可作为直角边，也可其中较长边作为斜边，因此需分两种情况讨论：①50cm长的木棒为斜边，第三边为直角边；②第三边为斜边，40cm和50cm的木棒均为直角边。再分别用勾股定理计算两种情况的第三边长度，比较大小后即可得到最大值。
【解析】
解：分两种情况计算第三根木棒的长度：
1. 当50cm的木棒为直角三角形的斜边时，设第三根木棒长为$x\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$x = \sqrt{50^2 - 40^2} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = 30\ \mathrm{cm}$
2. 当第三根木棒为直角三角形的斜边时，40cm和50cm的木棒均为直角边，根据勾股定理：
$x = \sqrt{40^2 + 50^2} = \sqrt{1600 + 2500} = \sqrt{4100} = 10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
比较得$10\sqrt{41} ＞ 30$，因此所需木棒长度的最大值为$10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是漏考虑第三边为斜边的情况，解题时要结合直角三角形斜边最长的特点，分情况讨论斜边的归属，再通过勾股定理计算后比较结果得到答案。
【难度系数】
0.7
11.有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图6所示.AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B=90°,AB=BC=15千米，CD=3√2千米，AD=12√3千米.
(1)求小溪流AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积.(结果保留根号)
(1)求小溪流AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积.(结果保留根号)
答案
11. (1)$15\sqrt{2}$千米 (2)$\frac{225+36\sqrt{6}}{2}$平方千米
解析
【分析】
(1) 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°且两条直角边AB、BC长度已知，直接用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
(2) 四边形ABCD是不规则四边形，可拆分为△ABC和△ACD两个三角形的面积之和。先计算直角△ABC的面积，再通过计算△ACD三边的平方，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，进而计算它的面积，两者相加就是四边形的总面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BC=15$千米，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{15^2+15^2}=\sqrt{450}=15\sqrt{2}\mathrm{（千米）}$
(2) 先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×15×15=\frac{225}{2}\mathrm{（平方千米）}$
再判断$△ ACD$的形状：
已知$AC=15\sqrt{2}$千米，$CD=3\sqrt{2}$千米，$AD=12\sqrt{3}$千米
$AD^2+CD^2=(12\sqrt{3})^2+(3\sqrt{2})^2=432+18=450$
$AC^2=(15\sqrt{2})^2=450$
因此$AD^2+CD^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形，且$∠ D=90°$
则$△ ACD$的面积：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×3\sqrt{2}=18\sqrt{6}=\frac{36\sqrt{6}}{2}\mathrm{（平方千米）}$
四边形ABCD的面积为：
$S_{ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{225}{2}+\frac{36\sqrt{6}}{2}=\frac{225+36\sqrt{6}}{2}\mathrm{（平方千米）}$
【答案】
(1)$15\sqrt{2}$千米 (2)$\frac{225+36\sqrt{6}}{2}$平方千米
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心思路是将不规则四边形拆分为两个三角形，结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状后分别求面积，是几何计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°且两条直角边AB、BC长度已知，直接用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
(2) 四边形ABCD是不规则四边形，可拆分为△ABC和△ACD两个三角形的面积之和。先计算直角△ABC的面积，再通过计算△ACD三边的平方，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，进而计算它的面积，两者相加就是四边形的总面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BC=15$千米，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{15^2+15^2}=\sqrt{450}=15\sqrt{2}\mathrm{（千米）}$
(2) 先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×15×15=\frac{225}{2}\mathrm{（平方千米）}$
再判断$△ ACD$的形状：
已知$AC=15\sqrt{2}$千米，$CD=3\sqrt{2}$千米，$AD=12\sqrt{3}$千米
$AD^2+CD^2=(12\sqrt{3})^2+(3\sqrt{2})^2=432+18=450$
$AC^2=(15\sqrt{2})^2=450$
因此$AD^2+CD^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形，且$∠ D=90°$
则$△ ACD$的面积：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×3\sqrt{2}=18\sqrt{6}=\frac{36\sqrt{6}}{2}\mathrm{（平方千米）}$
四边形ABCD的面积为：
$S_{ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{225}{2}+\frac{36\sqrt{6}}{2}=\frac{225+36\sqrt{6}}{2}\mathrm{（平方千米）}$
【答案】
(1)$15\sqrt{2}$千米 (2)$\frac{225+36\sqrt{6}}{2}$平方千米
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心思路是将不规则四边形拆分为两个三角形，结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状后分别求面积，是几何计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
12.某校举行了一次数学趣味竞赛，曹老师从八(1)班随机抽取的12名学生成绩(单位:分)如下:75,85,90,90,95,85,95,95,100,98,92,100.求这12名学生成绩的众数和四分位数.
答案
12. 众数是95分，下四分位数是87.5分，中位数是93.5分，上四分位数是96.5分.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 求众数：众数是一组数据中出现次数最多的数据，我们先将数据从小到大排序，既能方便统计各数据出现的次数，也为后续计算四分位数做准备。2. 求四分位数：首先明确四分位数的计算规则：对于n个按顺序排列的数据，第p百分位数的位置为i=n×p%，若i为整数，则该百分位数是第i个和第i+1个数据的平均数；若i不是整数，向上取整后对应位置的数据即为百分位数。本题n=12，我们分别计算25%（下四分位数）、50%（中位数）、75%（上四分位数）对应的位置，再按规则计算即可。
【解析】
首先将12名学生的成绩从小到大排序：
75，85，85，90，90，92，95，95，95，98，100，100
1. 求众数：
统计各成绩出现的次数：95分出现了3次，出现次数最多，因此众数为95分。
2. 求四分位数：
总数据个数n=12
①下四分位数（第25百分位数）的位置：$i=12×25\%=3$，为整数，因此下四分位数是第3个和第4个数据的平均数，即$\frac{85+90}{2}=87.5$分
②中位数（第50百分位数）的位置：$i=12×50\%=6$，为整数，因此中位数是第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{92+95}{2}=93.5$分
③上四分位数（第75百分位数）的位置：$i=12×75\%=9$，为整数，因此上四分位数是第9个和第10个数据的平均数，即$\frac{95+98}{2}=96.5$分
【答案】
众数是95分，下四分位数是87.5分，中位数是93.5分，上四分位数是96.5分。
【知识点】
众数的定义；中位数的计算；四分位数的计算
【点评】
本题考查统计中常见特征数的计算，核心是牢记众数、四分位数的概念和计算规则，计算前一定要先将数据按从小到大的顺序排列，再准确找到对应分位数的位置，避免因数据顺序出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 求众数：众数是一组数据中出现次数最多的数据，我们先将数据从小到大排序，既能方便统计各数据出现的次数，也为后续计算四分位数做准备。2. 求四分位数：首先明确四分位数的计算规则：对于n个按顺序排列的数据，第p百分位数的位置为i=n×p%，若i为整数，则该百分位数是第i个和第i+1个数据的平均数；若i不是整数，向上取整后对应位置的数据即为百分位数。本题n=12，我们分别计算25%（下四分位数）、50%（中位数）、75%（上四分位数）对应的位置，再按规则计算即可。
【解析】
首先将12名学生的成绩从小到大排序：
75，85，85，90，90，92，95，95，95，98，100，100
1. 求众数：
统计各成绩出现的次数：95分出现了3次，出现次数最多，因此众数为95分。
2. 求四分位数：
总数据个数n=12
①下四分位数（第25百分位数）的位置：$i=12×25\%=3$，为整数，因此下四分位数是第3个和第4个数据的平均数，即$\frac{85+90}{2}=87.5$分
②中位数（第50百分位数）的位置：$i=12×50\%=6$，为整数，因此中位数是第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{92+95}{2}=93.5$分
③上四分位数（第75百分位数）的位置：$i=12×75\%=9$，为整数，因此上四分位数是第9个和第10个数据的平均数，即$\frac{95+98}{2}=96.5$分
【答案】
众数是95分，下四分位数是87.5分，中位数是93.5分，上四分位数是96.5分。
【知识点】
众数的定义；中位数的计算；四分位数的计算
【点评】
本题考查统计中常见特征数的计算，核心是牢记众数、四分位数的概念和计算规则，计算前一定要先将数据按从小到大的顺序排列，再准确找到对应分位数的位置，避免因数据顺序出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
13.如图7,在四边形ABCD中,E,F分别为DC,AD的中点,AD//BC,AD:DC=1:$\sqrt{2}$,AB=10,BC=6,EF=4.
(1)求AD的长.
(2)△DEF是什么三角形?请你给出正确的判断,并加以说明.
(3)求四边形ABCD的面积.
(1)求AD的长.
(2)△DEF是什么三角形?请你给出正确的判断,并加以说明.
(3)求四边形ABCD的面积.
答案
13. (1)$AD=8$ (2)等腰直角三角形，说明略。(3)$S_{四边形ABCD}=56$
解析
【分析】
(1) 求AD长时，先连接AC，利用三角形中位线定理求出AC的长度；再通过AB、BC、AC的边长用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，结合AD//BC推出∠CAD为直角；最后设AD为未知数，根据AD与DC的比例关系表示DC，在Rt△ACD中用勾股定理列方程求解即可。
(2) 判断△DEF的形状时，先根据中点性质求出DF、DE的长度，结合已知EF的长度，用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，再验证边的相等关系即可得出结论。
(3) 求四边形ABCD的面积时，可将四边形拆分为△ABC和△ACD两个直角三角形，分别计算两个三角形的面积后相加即可。
【解析】
(1) 连接AC，
∵E、F分别为DC、AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴AC=2EF，
∵EF=4，
∴AC=8，
在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∵$BC^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB=90°，
设AD=x，
∵AD:DC=1:$\sqrt{2}$，
∴DC=$\sqrt{2}x$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2+AC^2=DC^2$，
即$x^2+8^2=(\sqrt{2}x)^2$，
解得$x=8$（边长为正，舍去负根），
∴AD=8。
(2) △DEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵F是AD中点，AD=8，
∴$DF=\frac{1}{2}AD=4$，
∵E是DC中点，$DC=\sqrt{2}AD=8\sqrt{2}$，
∴$DE=\frac{1}{2}DC=4\sqrt{2}$，
已知EF=4，
∴DF=EF=4，
又
∵$DF^2+EF^2=4^2+4^2=32$，$DE^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
∴$DF^2+EF^2=DE^2$，
∴∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形。
(3) 四边形ABCD的面积=$S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×8×8=32$，
∴$S_{四边形ABCD}=24+32=56$。
【答案】
(1) $AD=8$
(2) 等腰直角三角形
(3) $56$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理及逆定理，四边形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何基础知识点的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将不规则图形面积拆分求解，既考察基础概念的掌握，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求AD长时，先连接AC，利用三角形中位线定理求出AC的长度；再通过AB、BC、AC的边长用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，结合AD//BC推出∠CAD为直角；最后设AD为未知数，根据AD与DC的比例关系表示DC，在Rt△ACD中用勾股定理列方程求解即可。
(2) 判断△DEF的形状时，先根据中点性质求出DF、DE的长度，结合已知EF的长度，用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，再验证边的相等关系即可得出结论。
(3) 求四边形ABCD的面积时，可将四边形拆分为△ABC和△ACD两个直角三角形，分别计算两个三角形的面积后相加即可。
【解析】
(1) 连接AC，
∵E、F分别为DC、AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴AC=2EF，
∵EF=4，
∴AC=8，
在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∵$BC^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB=90°，
设AD=x，
∵AD:DC=1:$\sqrt{2}$，
∴DC=$\sqrt{2}x$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2+AC^2=DC^2$，
即$x^2+8^2=(\sqrt{2}x)^2$，
解得$x=8$（边长为正，舍去负根），
∴AD=8。
(2) △DEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵F是AD中点，AD=8，
∴$DF=\frac{1}{2}AD=4$，
∵E是DC中点，$DC=\sqrt{2}AD=8\sqrt{2}$，
∴$DE=\frac{1}{2}DC=4\sqrt{2}$，
已知EF=4，
∴DF=EF=4，
又
∵$DF^2+EF^2=4^2+4^2=32$，$DE^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
∴$DF^2+EF^2=DE^2$，
∴∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形。
(3) 四边形ABCD的面积=$S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×8×8=32$，
∴$S_{四边形ABCD}=24+32=56$。
【答案】
(1) $AD=8$
(2) 等腰直角三角形
(3) $56$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理及逆定理，四边形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何基础知识点的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将不规则图形面积拆分求解，既考察基础概念的掌握，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
