1. 下列方程中，属于一元二次方程的是 （）

A.$2x + y = 3$
B.$x^2 + 3x = 0$
C.$\frac{1}{x^2} + x^2$
D.$2x + 1 = 0$

1.B

【分析】
要判断是否为一元二次方程，首先需明确一元二次方程的三个必备判定条件：①是整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2。解题时只需将各选项逐一对照上述三个条件，全部满足的即为正确答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一分析选项：
选项A：方程中含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不满足“只含1个未知数”的条件，不符合要求；
选项B：仅含有未知数x，x的最高次数为2，且等号两边都是整式，完全满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求；
选项C：该式没有等号，本身不属于方程，且分母含未知数，属于分式，不符合要求；
选项D：未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不满足“最高次数为2”的条件，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元二次方程定义的理解与应用，解题时需先判断式子是否为方程、是否为整式方程，再核对未知数个数和最高次数，可快速排除干扰项。
【难度系数】
0.85

2. 一元二次方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 （）

A.$1,3,-4$
B.$1,3,4$
C.$0,-3,4$
D.$1,-3,-4$

2.D

【分析】
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，注意确定各系数时要包含项前面的正负号。我们只需将题干给出的方程与一般形式逐一对应，就能得到三个系数的取值，再对照选项选出正确答案即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将方程$x^2 - 3x - 4 = 0$与一般形式对比：
二次项为$x^2$，对应的二次项系数为$1$；
一次项为$-3x$，对应的一次项系数为$-3$；
常数项为不含未知数的项，即$-4$。
因此二次项系数、一次项系数、常数项分别是$1,-3,-4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对一元二次方程基本构成的掌握，解题的易错点是容易忽略项前面的负号，误把一次项系数当成3、常数项当成4，做题时只要注意连带符号判断就可以轻松得分。
【难度系数】
0.9

3.已知关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2+3x+k^2-1=0$有一根为0，则$k=$（）

A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$

3.C

【分析】
解题时要抓住两个核心要点：①方程的根能使方程左右两边相等，所以可将已知根x=0代入原方程，得到关于k的方程，求出k的候选值；②题目明确说明这是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0的隐含条件，据此排除不符合要求的k值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$(k-1)x^2+3x+k^2-1=0$的根，
∴将x=0代入方程得：
$k^2 - 1 = 0$，
解得$k=1$或$k=-1$。
又
∵该方程是一元二次方程，
∴二次项系数$k-1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$，
∴舍去$k=1$，得$k=-1$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 方程的根的概念
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据根的性质选$k=\pm1$，因此做此类含参数的一元二次方程题目时，要先关注二次项系数不为0的限制条件，再进行计算。
【难度系数】
0.6

1.(2025·达州)已知关于x的方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根是1，则m的值为。

4.2

5.已知方程$(2 - m)x^{|m|} - x + 3 = 0$，当$m=$时，此方程是关于$x$的一元二次方程

5.-2

【分析】
要判断方程是关于x的一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义思考：核心要满足两个条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个限制条件分别列关系式，联立求解就能得到m的取值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个要求：
1. 未知数的最高次数为2，即$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$2-m≠0$，解得$m≠2$。
同时满足两个条件，最终可得$m=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的性质、不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的常规考查题，容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误填m=2，解题时需注意完整匹配定义的所有要求，避免因疏忽丢分。
【难度系数】
0.7

6.某矩形纸片的长比宽多2 cm，面积为120 cm².若设该矩形纸片的宽为x cm，则可列方程为.

6.$x(x+2)=120$

【分析】
解题时先明确题目中的已知量和未知量，题目已设矩形的宽为x cm，首先根据“长比宽多2 cm”的条件表示出长的长度，再结合矩形面积计算公式（面积=长×宽），找到“长×宽=120 cm²”的等量关系，代入对应表达式就能列出方程。
【解析】
已知设矩形纸片的宽为x cm，因为长比宽多2 cm，所以矩形的长为$(x+2)$ cm。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，已知面积为$120\ \mathrm{cm}^2$，将长和宽的表达式代入公式，可得方程：$x(x+2)=120$。
【答案】
$x(x+2)=120$
【知识点】
矩形面积计算；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确表示出矩形的长，再结合常见几何图形的面积公式找到等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.9

7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$x^2 +1=2x$；
(2)$x(x-1)=x$.

7.解:(1)化成一般形式为$x^2 - 2x + 1=0$,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为1.
(2)化成一般形式为$x^2 - 2x=0$,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为0.

【分析】
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题步骤如下：①对原方程进行去括号、移项（移项要变号），将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；②合并左侧的同类项，得到一般形式；③对照一般形式，找出对应各项的系数，注意系数要包含前面的正负号，无单独常数项时常数项为0。
【解析】
(1) 对方程$x^2 +1=2x$移项，将$2x$移到等号左侧，得：
$x^2 -2x +1=0$
其中二次项为$x^2$，系数为1；一次项为$-2x$，系数为$-2$；常数项为$1$。
(2) 对方程$x(x-1)=x$先去括号，得：
$x^2 -x =x$
再将右侧的$x$移到左侧，合并同类项，得：
$x^2 -2x =0$
其中二次项为$x^2$，系数为1；一次项为$-2x$，系数为$-2$；无单独常数项，故常数项为$0$。
【答案】
(1) 一般形式为$x^2 - 2x + 1=0$，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为1。
(2) 一般形式为$x^2 - 2x=0$，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为0。
【知识点】
一元二次方程一般形式、移项法则、整式乘法运算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的认知，解题时需注意移项要改变符号，提取各项系数时要连带前面的正负号，没有单独常数项时记得常数项为0，避免漏写。
【难度系数】
0.8

8.若关于$x$的一元二次方程$mx^2 + nx - 2024 = 0(m≠0)$的一个解是$x=1$，则$m+n+1$的值是（）

A.2025
B.2024
C.2023
D.2022

8.A

【分析】
本题可根据一元二次方程解的定义求解，解题思路如下：首先明确方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知x=1是方程的解，将其代入原方程可得到关于m、n的等式；再整理得出m+n的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$mx^2 + nx - 2024 = 0(m≠0)$的一个解，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$m × 1^2 + n × 1 - 2024 = 0$
整理得：$m + n = 2024$
∴$m + n + 1 = 2024 + 1 = 2025$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解的定义、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对一元二次方程解的概念的理解，解题关键是熟练掌握方程的解的定义，代入计算即可得出答案，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9

9.(1)已知$m$为方程$x^2 - 3x - 6 = 0$的一个根，则代数式$-m^2 + 3m - 6$的值是；
(2)若$a$是方程$x^2 + x - 1 = 0$的一个根，则代数式$5022 - a + \dfrac{1}{a}$的值是。

9.(1)-12 (2)5023

【分析】
这两道题均考查利用一元二次方程根的定义求值，解题核心是整体代换思想，无需计算根的具体数值：
(1) 已知m是方程的根，先将m代入方程得到关于m的等式，再将所求代数式变形为含该等式左边的形式，整体代入计算即可；
(2) 同理先将a代入方程得到等式，结合a≠0的隐含条件，对等式变形得到所求代数式中含有的“-a+1/a”的值，再整体代入计算。
【解析】
(1)
∵m是方程$x^2 - 3x - 6 = 0$的一个根
∴将x=m代入方程得：$m^2 - 3m - 6 = 0$，即$m^2 - 3m = 6$
对所求代数式变形：
$-m^2 + 3m -6 = -(m^2 - 3m) -6$
将$m^2 - 3m = 6$代入得：
原式$= -6 -6 = -12$
(2)
∵a是方程$x^2 + x - 1 = 0$的一个根
∴将x=a代入方程得：$a^2 + a - 1 = 0$
∵当a=0时，代入方程左边=-1≠0，
∴a≠0
将$a^2 + a -1 =0$两边同时除以a得：
$a + 1 - \frac{1}{a} = 0$，整理得$\frac{1}{a} - a = 1$
对所求代数式变形：
$5022 -a + \frac{1}{a} = 5022 + (\frac{1}{a} - a)$
将$\frac{1}{a} - a =1$代入得：
原式$=5022 +1 = 5023$
【答案】
(1)$-12$；(2)$5023$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
此类题是代数式求值的常见题型，解题关键是灵活运用方程根的定义得到对应关系式，再通过变形将所求代数式转化为可整体代入的形式，能有效避免求解方程根的复杂运算。
【难度系数】
0.8

10.(1)已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，若$a+b+c=0$，则该方程一定有一个根为；
(2)已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，若$a-b+c=0$，则该方程一定有一个根为。

10.(1)$x=1$ (2)$x=-1$

【分析】
要判断给定条件下方程的固定根，需从一元二次方程根的定义出发：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们只需找到x取何值时，代入$ax^2+bx+c$后能匹配题目给出的等式即可。对于$a+b+c=0$，观察可知x=1时代入$ax^2+bx+c$恰好化简为$a+b+c$；对于$a-b+c=0$，观察可知x=-1时代入$ax^2+bx+c$恰好化简为$a-b+c$，代入后满足左边等于0，即可确定对应的根。
【解析】
(1) 把$x=1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，
左边 = $a×1^2 + b×1 + c = a + b + c$，
已知$a+b+c=0$，因此左边=0=右边，
故$x=1$是该方程的一个根。
(2) 把$x=-1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，
左边 = $a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，
已知$a-b+c=0$，因此左边=0=右边，
故$x=-1$是该方程的一个根。
【答案】
(1)$x=1$ (2)$x=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查对根的定义的理解与应用，熟练掌握根的定义即可快速推导结论，这两个结论可作为一元二次方程相关题型的常用解题技巧，能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.9