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1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 （
A.$AB=AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ACB=∠ ACD$
C
）A.$AB=AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ACB=∠ ACD$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查矩形的性质应用，解题思路如下：首先明确矩形的基本性质，再逐一对应每个选项的结论，判断该结论是否是所有矩形都一定满足的：①先看边的性质：矩形对边相等、邻边不一定相等，可判断选项A；②再看对角线的性质：矩形对角线相等且互相平分，不一定垂直，可判断选项B、C；③最后看角的相关结论，对角线平分内角是菱形的性质，矩形不一定满足，可判断选项D，最终排除错误选项得到答案。
【解析】
解：逐一分析各选项：
A. 矩形的对边相等，邻边AB和AD不一定相等，只有当矩形是正方形时该结论才成立，不是一定正确，故A错误；
B. 矩形的对角线互相平分但不一定互相垂直，垂直是菱形的对角线性质，故B错误；
C. 对角线相等是矩形的固有性质，任意矩形的两条对角线都相等，即AC=BD一定成立，故C正确；
D. 若∠ACB=∠ACD，说明AC平分∠BCD，只有当矩形是正方形（同时是菱形）时该结论才成立，不是一定正确，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是区分矩形与菱形、正方形等特殊平行四边形的性质差异，只要熟练掌握各类特殊四边形的基本性质，就能快速排除错误选项得到正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查矩形的性质应用，解题思路如下：首先明确矩形的基本性质，再逐一对应每个选项的结论，判断该结论是否是所有矩形都一定满足的：①先看边的性质：矩形对边相等、邻边不一定相等，可判断选项A；②再看对角线的性质：矩形对角线相等且互相平分，不一定垂直，可判断选项B、C；③最后看角的相关结论，对角线平分内角是菱形的性质，矩形不一定满足，可判断选项D，最终排除错误选项得到答案。
【解析】
解：逐一分析各选项：
A. 矩形的对边相等，邻边AB和AD不一定相等，只有当矩形是正方形时该结论才成立，不是一定正确，故A错误；
B. 矩形的对角线互相平分但不一定互相垂直，垂直是菱形的对角线性质，故B错误；
C. 对角线相等是矩形的固有性质，任意矩形的两条对角线都相等，即AC=BD一定成立，故C正确；
D. 若∠ACB=∠ACD，说明AC平分∠BCD，只有当矩形是正方形（同时是菱形）时该结论才成立，不是一定正确，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是区分矩形与菱形、正方形等特殊平行四边形的性质差异，只要熟练掌握各类特殊四边形的基本性质，就能快速排除错误选项得到正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为$27°$时，$∠ AED$的大小为（
A.$27°$
B.$53°$
C.$57°$
D.$63°$
D
）A.$27°$
B.$53°$
C.$57°$
D.$63°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先挖掘题目的隐含条件：水面AE和水平面FB平行，矩形ABCD的内角∠C为90°。我们可以通过延长CD交水平面FB于点G，先在Rt△BCG中利用三角形内角和求出∠CGB的度数，再利用平行线的同位角相等的性质，即可推出∠AED的度数。
【解析】
∵ 水面为水平面，
∴ $ AE // FB $
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ ∠ BCD = 90° $
延长CD交直线FB于点G，在$ △ BCG $中：
$ ∠ BCG = ∠ BCD = 90° $，$ ∠ CBG = 27° $
根据三角形内角和为$ 180° $，可得：
$ ∠ CGB = 180° - 90° - 27° = 63° $
又
∵ $ AE // FB $，CD为两条平行线的截线
∴ $ ∠ AED = ∠ CGB = 63° $（两直线平行，同位角相等）
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，平行线的性质，三角形内角和
【点评】
本题结合生活场景考查基础几何性质的应用，解题关键是抓住水面与水平面平行的隐含条件，结合矩形、平行线的基础性质即可求解，侧重考查知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先挖掘题目的隐含条件：水面AE和水平面FB平行，矩形ABCD的内角∠C为90°。我们可以通过延长CD交水平面FB于点G，先在Rt△BCG中利用三角形内角和求出∠CGB的度数，再利用平行线的同位角相等的性质，即可推出∠AED的度数。
【解析】
∵ 水面为水平面，
∴ $ AE // FB $
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ ∠ BCD = 90° $
延长CD交直线FB于点G，在$ △ BCG $中：
$ ∠ BCG = ∠ BCD = 90° $，$ ∠ CBG = 27° $
根据三角形内角和为$ 180° $，可得：
$ ∠ CGB = 180° - 90° - 27° = 63° $
又
∵ $ AE // FB $，CD为两条平行线的截线
∴ $ ∠ AED = ∠ CGB = 63° $（两直线平行，同位角相等）
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，平行线的性质，三角形内角和
【点评】
本题结合生活场景考查基础几何性质的应用，解题关键是抓住水面与水平面平行的隐含条件，结合矩形、平行线的基础性质即可求解，侧重考查知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中有一个矩形$ABCO$,点$B$的坐标是$(1,3)$,则$AC$的长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$\sqrt{10}$
D
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$\sqrt{10}$
答案
3.D
解析
【分析】
首先回忆矩形的性质：矩形的两条对角线长度相等，观察图形可知AC和OB是矩形ABCO的两条对角线，因此AC=OB，可将求AC的长度转化为求OB的长度。已知点O是坐标原点，点B的坐标为(1,3)，在平面直角坐标系中，求原点到点B的线段长度可以用勾股定理计算，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 四边形ABCO是矩形，
∴ 矩形的对角线相等，即$AC=OB$。
∵ 点O为坐标原点$(0,0)$，点B的坐标为$(1,3)$，
根据勾股定理，$OB=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，
∴ $AC=OB=\sqrt{10}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是利用矩形对角线相等的性质，将未知线段AC转化为易计算的线段OB，再结合勾股定理求解，思路较为直接，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先回忆矩形的性质：矩形的两条对角线长度相等，观察图形可知AC和OB是矩形ABCO的两条对角线，因此AC=OB，可将求AC的长度转化为求OB的长度。已知点O是坐标原点，点B的坐标为(1,3)，在平面直角坐标系中，求原点到点B的线段长度可以用勾股定理计算，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 四边形ABCO是矩形，
∴ 矩形的对角线相等，即$AC=OB$。
∵ 点O为坐标原点$(0,0)$，点B的坐标为$(1,3)$，
根据勾股定理，$OB=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，
∴ $AC=OB=\sqrt{10}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是利用矩形对角线相等的性质，将未知线段AC转化为易计算的线段OB，再结合勾股定理求解，思路较为直接，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=20°$，$CD$为$AB$边上的中线，$DE ⊥ AC$，则图中与$∠ A$互余的角共有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
4.C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确互余的定义：和为90°的两个角互余。接下来结合已知条件逐步推导：①先利用直角三角形两锐角互余，得到∠A的第一个互余角∠B；②由DE⊥AC得到Rt△ADE，推出∠A与∠ADE互余；③根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得CD=AD，故∠ACD=∠A，结合DE⊥AC的直角，可得∠A与∠CDE互余；④最后由∠ACB=90°，∠ACD=∠A，推出∠A与∠BCD互余，数出符合条件的角的总个数即可。
【解析】
1. 由∠ACB=90°，在Rt△ABC中，两锐角互余，因此∠A + ∠B = 90°，即∠B与∠A互余。
2. 已知DE⊥AC，故∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠A + ∠ADE = 90°，即∠ADE与∠A互余。
3. 根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此CD = AD = BD，可得∠ACD = ∠A = 20°。
又
∵DE⊥AC，∠DEC=90°，在Rt△CDE中，∠ACD + ∠CDE = 90°，代入∠ACD=∠A，得∠A + ∠CDE = 90°，即∠CDE与∠A互余。
4. 由∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 90°，且∠ACD=∠A，因此∠A + ∠BCD = 90°，即∠BCD与∠A互余。
综上，与∠A互余的角共有∠B、∠ADE、∠CDE、∠BCD，合计4个。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；直角三角形的性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题重点考查角互余的判定，需要结合直角三角形的相关性质梳理图中角的数量关系，解题时要注意全面排查，避免漏算符合条件的角。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确互余的定义：和为90°的两个角互余。接下来结合已知条件逐步推导：①先利用直角三角形两锐角互余，得到∠A的第一个互余角∠B；②由DE⊥AC得到Rt△ADE，推出∠A与∠ADE互余；③根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得CD=AD，故∠ACD=∠A，结合DE⊥AC的直角，可得∠A与∠CDE互余；④最后由∠ACB=90°，∠ACD=∠A，推出∠A与∠BCD互余，数出符合条件的角的总个数即可。
【解析】
1. 由∠ACB=90°，在Rt△ABC中，两锐角互余，因此∠A + ∠B = 90°，即∠B与∠A互余。
2. 已知DE⊥AC，故∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠A + ∠ADE = 90°，即∠ADE与∠A互余。
3. 根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此CD = AD = BD，可得∠ACD = ∠A = 20°。
又
∵DE⊥AC，∠DEC=90°，在Rt△CDE中，∠ACD + ∠CDE = 90°，代入∠ACD=∠A，得∠A + ∠CDE = 90°，即∠CDE与∠A互余。
4. 由∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 90°，且∠ACD=∠A，因此∠A + ∠BCD = 90°，即∠BCD与∠A互余。
综上，与∠A互余的角共有∠B、∠ADE、∠CDE、∠BCD，合计4个。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；直角三角形的性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题重点考查角互余的判定，需要结合直角三角形的相关性质梳理图中角的数量关系，解题时要注意全面排查，避免漏算符合条件的角。
【难度系数】
0.7
5.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为2.8 km,则M,C两点间的距离为 （
A.1.5 km
B.2.8 km
C.1.4 km
D.1.9 km
C
）A.1.5 km
B.2.8 km
C.1.4 km
D.1.9 km
答案
5.C
解析
【分析】
首先根据公路AC、BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形，∠C为直角；已知M是斜边AB的中点，结合直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得出MC与AB的数量关系，代入AB的长度即可求出MC的距离。
【解析】
解：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
∵ M是AB的中点，
∴ CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$ CM = \frac{1}{2}AB $
已知AB=2.8km，代入得：
$ CM = \frac{1}{2}×2.8 = 1.4(km) $
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何应用题，解题关键是先判断三角形的类型，再结合斜边中线的性质快速计算，不需要复杂的推理，牢记相关性质即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
首先根据公路AC、BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形，∠C为直角；已知M是斜边AB的中点，结合直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得出MC与AB的数量关系，代入AB的长度即可求出MC的距离。
【解析】
解：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
∵ M是AB的中点，
∴ CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$ CM = \frac{1}{2}AB $
已知AB=2.8km，代入得：
$ CM = \frac{1}{2}×2.8 = 1.4(km) $
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何应用题，解题关键是先判断三角形的类型，再结合斜边中线的性质快速计算，不需要复杂的推理，牢记相关性质即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
6.已知在四边形ABCD中，$∠ ABC=90°$，再补充一个条件使四边形ABCD为矩形，这个条件可以是（
A.$AC=BD$
B.$AB=BC$
C.AC与BD互相平分
D.$AC⊥ BD$
C
）A.$AC=BD$
B.$AB=BC$
C.AC与BD互相平分
D.$AC⊥ BD$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。题目已经给出∠ABC=90°，因此只要能证明四边形ABCD是平行四边形，即可判定它是矩形。接下来逐一分析每个选项是否能推出四边形是平行四边形，进而判断是否符合要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$AC=BD$：如直角梯形也可能满足一个内角为90°且对角线相等，无法判定是矩形，排除；
B. 若$AB=BC$：仅能说明$△ ABC$是等腰直角三角形，无法得到四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，排除；
C. 若AC与BD互相平分：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形，又已知$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形，符合要求；
D. 若$AC⊥ BD$：对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，如菱形的对角线互相垂直，无法判定为矩形，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定、对角线的性质
【点评】
本题重点考查矩形与平行四边形判定定理的应用，解题时要注意结合已知条件，先判定四边形为平行四边形，再结合直角条件推导是否为矩形，易错点是误选对角线相等的A选项，忽略了对角线相等的前提是四边形为平行四边形才能判定为矩形。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆矩形的判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。题目已经给出∠ABC=90°，因此只要能证明四边形ABCD是平行四边形，即可判定它是矩形。接下来逐一分析每个选项是否能推出四边形是平行四边形，进而判断是否符合要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$AC=BD$：如直角梯形也可能满足一个内角为90°且对角线相等，无法判定是矩形，排除；
B. 若$AB=BC$：仅能说明$△ ABC$是等腰直角三角形，无法得到四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，排除；
C. 若AC与BD互相平分：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形，又已知$∠ ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定四边形ABCD是矩形，符合要求；
D. 若$AC⊥ BD$：对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，如菱形的对角线互相垂直，无法判定为矩形，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定、对角线的性质
【点评】
本题重点考查矩形与平行四边形判定定理的应用，解题时要注意结合已知条件，先判定四边形为平行四边形，再结合直角条件推导是否为矩形，易错点是误选对角线相等的A选项，忽略了对角线相等的前提是四边形为平行四边形才能判定为矩形。
【难度系数】
0.7
7.数学课上,老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合作小组的4位学生拟定的方案,其中正确的是 (
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量三个角是否都为直角
D
)A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量三个角是否都为直角
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的判定定理，以及平行四边形的判定定理，明确矩形和平行四边形判定的区别，再逐一分析每个选项对应的判定结论，排除不符合矩形判定的选项即可得到正确答案。首先明确矩形的常见判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对角线互相平分是平行四边形的判定定理，只能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故A错误；
B. 两组对边分别相等也是平行四边形的判定定理，只能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故B错误；
C. 一组对角为直角的四边形，无法保证其余两个角的度数，存在仅一组对角为直角的非矩形四边形，因此不能判定为矩形，故C错误；
D. 根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量三个角是否都为直角可以判定四边形是否为矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查特殊四边形的判定区分，解题的关键是准确记忆矩形和平行四边形的判定定理，避免不同判定定理的混淆，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的判定定理，以及平行四边形的判定定理，明确矩形和平行四边形判定的区别，再逐一分析每个选项对应的判定结论，排除不符合矩形判定的选项即可得到正确答案。首先明确矩形的常见判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对角线互相平分是平行四边形的判定定理，只能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故A错误；
B. 两组对边分别相等也是平行四边形的判定定理，只能说明该四边形是平行四边形，无法证明是矩形，故B错误；
C. 一组对角为直角的四边形，无法保证其余两个角的度数，存在仅一组对角为直角的非矩形四边形，因此不能判定为矩形，故C错误；
D. 根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量三个角是否都为直角可以判定四边形是否为矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查特殊四边形的判定区分，解题的关键是准确记忆矩形和平行四边形的判定定理，避免不同判定定理的混淆，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.8
