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8. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C=90°,AC=6,BC=8,N$是BC边上的一点,M为AB边上的动点,D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 （
A.2
B.$\frac{12}{5}$
C.3
D.$\frac{24}{5}$
B
）A.2
B.$\frac{12}{5}$
C.3
D.$\frac{24}{5}$
答案
8.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步，先明确DE和其他线段的关系，已知D、E分别是CN、MN的中点，根据三角形中位线定理，可得DE是△CMN的中位线，因此$ DE=\frac{1}{2}CM $，所以求DE的最小值就转化为求CM的最小值；第二步，求CM的最小值，M是AB上的动点，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当CM⊥AB时，CM的长度最小，此时用勾股定理和面积法算出最短的CM长度，再除以2就能得到DE的最小值。
【解析】
1. 连接CM：
∵D是CN的中点，E是MN的中点，
∴DE是△CMN的中位线，根据三角形中位线定理可得：$ DE=\frac{1}{2}CM $，因此要使DE最小，只需使CM最小。
2. 计算AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10 $。
3. 求CM的最小值：
根据“垂线段最短”，当CM⊥AB时，CM的长度最小。
此时利用△ABC的面积两种计算方法列等式：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CM $
代入数值：$ \frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CM $
解得：$ CM=\frac{48}{10}=\frac{24}{5} $
4. 计算DE的最小值：
$ DE_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5} $
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是几何最值类常见题型，解题核心是利用中位线的性质将所求线段的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，再结合勾股定理和面积法求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步，先明确DE和其他线段的关系，已知D、E分别是CN、MN的中点，根据三角形中位线定理，可得DE是△CMN的中位线，因此$ DE=\frac{1}{2}CM $，所以求DE的最小值就转化为求CM的最小值；第二步，求CM的最小值，M是AB上的动点，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当CM⊥AB时，CM的长度最小，此时用勾股定理和面积法算出最短的CM长度，再除以2就能得到DE的最小值。
【解析】
1. 连接CM：
∵D是CN的中点，E是MN的中点，
∴DE是△CMN的中位线，根据三角形中位线定理可得：$ DE=\frac{1}{2}CM $，因此要使DE最小，只需使CM最小。
2. 计算AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10 $。
3. 求CM的最小值：
根据“垂线段最短”，当CM⊥AB时，CM的长度最小。
此时利用△ABC的面积两种计算方法列等式：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CM $
代入数值：$ \frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CM $
解得：$ CM=\frac{48}{10}=\frac{24}{5} $
4. 计算DE的最小值：
$ DE_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5} $
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是几何最值类常见题型，解题核心是利用中位线的性质将所求线段的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，再结合勾股定理和面积法求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
9.如图，$△ ABC$的周长为20，点$D$，$E$在边$BC$上，$∠ ABC$的平分线垂直于$AE$，垂足为$N$.$∠ ACB$的平分线垂直于$AD$，垂足为$M$.若$BC=8$，则$MN$的长为
2
.答案
9.2
解析
【分析】
遇到角平分线与边上的高重合的条件，首先可利用“三线合一”判定等腰三角形，先证明△ABE、△ACD均为等腰三角形，得到N是AE中点、M是AD中点，确定MN为△ADE的中位线；再通过线段和差关系求出DE的长，最后利用中位线定理即可求出MN的长度。
【解析】
1. 证明△ABE为等腰三角形：
∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN，
又BN⊥AE，
∴∠ANB=∠ENB=90°，
在△ABN和△EBN中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABN=∠ EBN\\ BN=BN\\ ∠ ANB=∠ ENB\end{array} $
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AB=BE，AN=NE，即N为AE的中点。
2. 证明△ACD为等腰三角形：
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠DCM，
又CM⊥AD，
∴∠AMC=∠DMC=90°，
在△ACM和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACM=∠ DCM\\ CM=CM\\ ∠ AMC=∠ DMC\end{array} $
∴△ACM≌△DCM（ASA），
∴AC=CD，AM=MD，即M为AD的中点。
3. 计算DE的长度：
已知△ABC周长为20，BC=8，
∴AB+AC=20-BC=12，
由上述结论得BE+CD=AB+AC=12，
又
∵BE+CD = (BD+DE)+(DE+EC) = BC+DE，
代入BC=8得：12=8+DE，解得DE=4。
4. 利用中位线求MN：
∵M是AD中点，N是AE中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定
【点评】
本题是三角形板块的典型综合题，解题的关键是掌握“角平分线+垂线→等腰三角形”的基础模型，再结合中位线性质和线段和差关系求解，能有效考查学生的逻辑推理能力和知识整合能力。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与边上的高重合的条件，首先可利用“三线合一”判定等腰三角形，先证明△ABE、△ACD均为等腰三角形，得到N是AE中点、M是AD中点，确定MN为△ADE的中位线；再通过线段和差关系求出DE的长，最后利用中位线定理即可求出MN的长度。
【解析】
1. 证明△ABE为等腰三角形：
∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN，
又BN⊥AE，
∴∠ANB=∠ENB=90°，
在△ABN和△EBN中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABN=∠ EBN\\ BN=BN\\ ∠ ANB=∠ ENB\end{array} $
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AB=BE，AN=NE，即N为AE的中点。
2. 证明△ACD为等腰三角形：
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠DCM，
又CM⊥AD，
∴∠AMC=∠DMC=90°，
在△ACM和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠ ACM=∠ DCM\\ CM=CM\\ ∠ AMC=∠ DMC\end{array} $
∴△ACM≌△DCM（ASA），
∴AC=CD，AM=MD，即M为AD的中点。
3. 计算DE的长度：
已知△ABC周长为20，BC=8，
∴AB+AC=20-BC=12，
由上述结论得BE+CD=AB+AC=12，
又
∵BE+CD = (BD+DE)+(DE+EC) = BC+DE，
代入BC=8得：12=8+DE，解得DE=4。
4. 利用中位线求MN：
∵M是AD中点，N是AE中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定
【点评】
本题是三角形板块的典型综合题，解题的关键是掌握“角平分线+垂线→等腰三角形”的基础模型，再结合中位线性质和线段和差关系求解，能有效考查学生的逻辑推理能力和知识整合能力。
【难度系数】
0.6
10.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=6,CD=2√5.求证:BD⊥CD. 
第10题图
第10题图答案
10. 证明:
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴BD=2EF.
∵EF=2,
∴BD=4.
又
∵BC=6,CD=2√5,
∴BD²+CD²=4²+(2√5)²=6²=BC²,
∴∠BDC=90°,
∴BD⊥CD.
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴BD=2EF.
∵EF=2,
∴BD=4.
又
∵BC=6,CD=2√5,
∴BD²+CD²=4²+(2√5)²=6²=BC²,
∴∠BDC=90°,
∴BD⊥CD.
解析
【分析】
要证明BD⊥CD，本质是证明∠BDC=90°。已知△BDC中BC、CD的长度，只要先求出BD的长度，就可以通过勾股定理的逆定理判断△BDC是否为直角三角形。观察条件可知E、F分别是AB、AD的中点，符合三角形中位线的特征，因此先利用三角形中位线定理求出BD的长度，再代入验证勾股逆定理的成立条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD=2EF，
∵EF=2，
∴BD=2×2=4，
又
∵BC=6，CD=2√5，
∴BD²+CD²=4²+(2√5)²=16+20=36，BC²=6²=36，
∴BD²+CD²=BC²，
根据勾股定理的逆定理可得△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴BD⊥CD。
【答案】
证明:
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴BD=2EF.
∵EF=2,
∴BD=4.
又
∵BC=6,CD=2√5,
∴BD²+CD²=4²+(2√5)²=6²=BC²,
∴∠BDC=90°,
∴BD⊥CD.
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题思路清晰，首先借助三角形中位线定理求出未知边BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判定直角即可得到垂直关系，对知识的直接应用要求较高。
【难度系数】
0.7
要证明BD⊥CD，本质是证明∠BDC=90°。已知△BDC中BC、CD的长度，只要先求出BD的长度，就可以通过勾股定理的逆定理判断△BDC是否为直角三角形。观察条件可知E、F分别是AB、AD的中点，符合三角形中位线的特征，因此先利用三角形中位线定理求出BD的长度，再代入验证勾股逆定理的成立条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD=2EF，
∵EF=2，
∴BD=2×2=4，
又
∵BC=6，CD=2√5，
∴BD²+CD²=4²+(2√5)²=16+20=36，BC²=6²=36，
∴BD²+CD²=BC²，
根据勾股定理的逆定理可得△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴BD⊥CD。
【答案】
证明:
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴BD=2EF.
∵EF=2,
∴BD=4.
又
∵BC=6,CD=2√5,
∴BD²+CD²=4²+(2√5)²=6²=BC²,
∴∠BDC=90°,
∴BD⊥CD.
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题思路清晰，首先借助三角形中位线定理求出未知边BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判定直角即可得到垂直关系，对知识的直接应用要求较高。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$，$AC$的中点，连接$DE$，$EF$，$AE$，$DF$. 求证：$AE$与$DF$互相平分.
第11题图
第11题图答案
11. 证明:
∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DE,EF是△ABC的中位线,
∴DE//AC,EF//AB,
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴AE与DF互相平分.
∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DE,EF是△ABC的中位线,
∴DE//AC,EF//AB,
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴AE与DF互相平分.
解析
【分析】
要证明两条线段互相平分，可结合平行四边形“对角线互相平分”的性质，将问题转化为证明AE、DF是一个平行四边形的两条对角线。已知D、E、F分别是△ABC三边的中点，可先利用三角形中位线定理得到线段的平行关系，进而判定对应四边形为平行四边形，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF是△ABC的中位线，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AE与DF互相平分。
【答案】
证明:
∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DE,EF是△ABC的中位线,
∴DE//AC,EF//AB,
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴AE与DF互相平分.
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过中点条件关联中位线定理，得到对边平行的关系判定平行四边形，再利用平行四边形的性质完成证明，逻辑链条清晰，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段互相平分，可结合平行四边形“对角线互相平分”的性质，将问题转化为证明AE、DF是一个平行四边形的两条对角线。已知D、E、F分别是△ABC三边的中点，可先利用三角形中位线定理得到线段的平行关系，进而判定对应四边形为平行四边形，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF是△ABC的中位线，
∴DE//AC，EF//AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AE与DF互相平分。
【答案】
证明:
∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DE,EF是△ABC的中位线,
∴DE//AC,EF//AB,
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴AE与DF互相平分.
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过中点条件关联中位线定理，得到对边平行的关系判定平行四边形，再利用平行四边形的性质完成证明，逻辑链条清晰，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$△ ABC$中，$BD$，$CE$分别为边$AC$，$AB$上的中线，$BD$，$CE$相交于点$G$，$M$，$N$分别是$BG$，$CG$的中点，连接$EM$，$DN$. 求证：$EM=DN$.
答案
12. 证明:如答图,连接AG.
∵BD,CE分别为边AC,AB上的中线,M,N分别是BG,CG的中点,
∴AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,
∴EM是△ABG的中位线,DN是△ACG的中位线,
∴EM=$\frac{1}{2}$AG,DN=$\frac{1}{2}$AG,
∴EM=DN.
解析
【分析】
要证明$EM=DN$，观察已知条件可知图中存在多个中点：三角形中线对应边的中点，还有$M$、$N$是$BG$、$CG$的中点，由此可联想到三角形中位线定理。我们需要构造两个三角形，使$EM$、$DN$分别为这两个三角形的中位线，且两个三角形有公共的第三边，即可建立$EM$和$DN$的等量关系。因此作辅助线连接$AG$，此时$EM$是$△ ABG$的中位线，$DN$是$△ ACG$的中位线，二者都等于$AG$的一半，即可证明二者相等。
【解析】
证明：如答图，连接$AG$。
$\because BD$，$CE$分别为边$AC$，$AB$上的中线，$M$，$N$分别是$BG$，$CG$的中点，
$\therefore AE=BE$，$BM=GM$，$AD=CD$，$CN=GN$，
$\therefore EM$是$△ ABG$的中位线，$DN$是$△ ACG$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EM=\frac{1}{2}AG$，$DN=\frac{1}{2}AG$，
$\therefore EM=DN$。
【答案】
12. 证明:如答图,连接AG.
∵BD,CE分别为边AC,AB上的中线,M,N分别是BG,CG的中点,
∴AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,
∴EM是△ABG的中位线,DN是△ACG的中位线,
∴EM=$\frac{1}{2}$AG,DN=$\frac{1}{2}$AG,
∴EM=DN.
【知识点】
三角形中位线定理，三角形中线定义，等量代换
【点评】
本题是典型的利用三角形中位线证明线段相等的几何题，解题的突破口是根据已知的多个中点条件，合理作出辅助线构造中位线模型，将待证的两条线段转化为与同一公共线段相关的量，进而推导得出结论，有助于锻炼学生的辅助线构造思维和几何定理应用能力。
【难度系数】
0.75
要证明$EM=DN$，观察已知条件可知图中存在多个中点：三角形中线对应边的中点，还有$M$、$N$是$BG$、$CG$的中点，由此可联想到三角形中位线定理。我们需要构造两个三角形，使$EM$、$DN$分别为这两个三角形的中位线，且两个三角形有公共的第三边，即可建立$EM$和$DN$的等量关系。因此作辅助线连接$AG$，此时$EM$是$△ ABG$的中位线，$DN$是$△ ACG$的中位线，二者都等于$AG$的一半，即可证明二者相等。
【解析】
证明：如答图，连接$AG$。
$\because BD$，$CE$分别为边$AC$，$AB$上的中线，$M$，$N$分别是$BG$，$CG$的中点，
$\therefore AE=BE$，$BM=GM$，$AD=CD$，$CN=GN$，
$\therefore EM$是$△ ABG$的中位线，$DN$是$△ ACG$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EM=\frac{1}{2}AG$，$DN=\frac{1}{2}AG$，
$\therefore EM=DN$。
【答案】
12. 证明:如答图,连接AG.
∵BD,CE分别为边AC,AB上的中线,M,N分别是BG,CG的中点,
∴AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,
∴EM是△ABG的中位线,DN是△ACG的中位线,
∴EM=$\frac{1}{2}$AG,DN=$\frac{1}{2}$AG,
∴EM=DN.
【知识点】
三角形中位线定理，三角形中线定义，等量代换
【点评】
本题是典型的利用三角形中位线证明线段相等的几何题，解题的突破口是根据已知的多个中点条件，合理作出辅助线构造中位线模型，将待证的两条线段转化为与同一公共线段相关的量，进而推导得出结论，有助于锻炼学生的辅助线构造思维和几何定理应用能力。
【难度系数】
0.75
