登录
1. 学科特色教材变式 甲、乙、丙三人用牌面上分别标有“A，2，3”的三张扑克牌做游戏（牌的背面完全相同），将三张牌打乱顺序正面朝下放置，然后由甲、乙、丙三人依次从中抽出一张（不放回），且规定抽到“A”者获胜，下面关于甲、乙、丙三人获胜概率的说法正确的是（
A.甲先抽，甲获胜的概率最大
B.乙获胜的概率比甲大，比丙小
C.丙最后抽，丙获胜的概率最小
D.三人获胜的概率相同，与抽牌的顺序无关
D
）A.甲先抽，甲获胜的概率最大
B.乙获胜的概率比甲大，比丙小
C.丙最后抽，丙获胜的概率最小
D.三人获胜的概率相同，与抽牌的顺序无关
答案
1. 易知甲、乙、丙获胜的概率与抽牌的顺序无关，均为$\frac{1}{3}$.故选D.
解析
【分析】
要判断三人获胜概率的大小，我们可以分别计算三人抽到“A”的概率再比较。有两种常见解题思路：一是分步计算每个人获胜的概率，注意后抽的人获胜的前提是前面的人都没抽到“A”；二是列举出所有抽牌的等可能结果，分别统计三人抽到“A”的结果数，再用概率公式计算。
【解析】
我们通过分步计算的方法求解：
1. 计算甲获胜的概率：共有3张牌，其中“A”只有1张，甲先抽，所有等可能的抽牌结果有3种，抽到“A”的结果有1种，因此$P(甲获胜)=\frac{1}{3}$。
2. 计算乙获胜的概率：乙要抽到“A”，需要甲先没有抽到“A”。甲没抽到“A”的概率为$\frac{2}{3}$，此时剩余2张牌中有1张“A”，乙抽到“A”的概率为$\frac{1}{2}$，因此$P(乙获胜)=\frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。
3. 计算丙获胜的概率：丙要抽到“A”，需要甲、乙都没有抽到“A”。甲没抽到“A”的概率为$\frac{2}{3}$，乙在甲没抽到的前提下也没抽到“A”的概率为$\frac{1}{2}$，此时剩余的1张牌就是“A”，因此$P(丙获胜)=\frac{2}{3} × \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{3}$。
综上，三人获胜的概率均为$\frac{1}{3}$，和抽牌的先后顺序无关。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算；不放回抽样概率；抽签公平性
【点评】
本题结合抽牌游戏考查概率的实际应用，解题的核心是正确计算不放回抽取时各事件的概率，通过本题可以理解抽签类活动的公平性，抽取顺序不影响每个人的中奖概率。
【难度系数】
0.8
要判断三人获胜概率的大小，我们可以分别计算三人抽到“A”的概率再比较。有两种常见解题思路：一是分步计算每个人获胜的概率，注意后抽的人获胜的前提是前面的人都没抽到“A”；二是列举出所有抽牌的等可能结果，分别统计三人抽到“A”的结果数，再用概率公式计算。
【解析】
我们通过分步计算的方法求解：
1. 计算甲获胜的概率：共有3张牌，其中“A”只有1张，甲先抽，所有等可能的抽牌结果有3种，抽到“A”的结果有1种，因此$P(甲获胜)=\frac{1}{3}$。
2. 计算乙获胜的概率：乙要抽到“A”，需要甲先没有抽到“A”。甲没抽到“A”的概率为$\frac{2}{3}$，此时剩余2张牌中有1张“A”，乙抽到“A”的概率为$\frac{1}{2}$，因此$P(乙获胜)=\frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。
3. 计算丙获胜的概率：丙要抽到“A”，需要甲、乙都没有抽到“A”。甲没抽到“A”的概率为$\frac{2}{3}$，乙在甲没抽到的前提下也没抽到“A”的概率为$\frac{1}{2}$，此时剩余的1张牌就是“A”，因此$P(丙获胜)=\frac{2}{3} × \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{3}$。
综上，三人获胜的概率均为$\frac{1}{3}$，和抽牌的先后顺序无关。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算；不放回抽样概率；抽签公平性
【点评】
本题结合抽牌游戏考查概率的实际应用，解题的核心是正确计算不放回抽取时各事件的概率，通过本题可以理解抽签类活动的公平性，抽取顺序不影响每个人的中奖概率。
【难度系数】
0.8
2.「2026江苏南通海门模拟」小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，那么我赢。”则该游戏
不公平
（填“公平”或“不公平”）。答案
2.答案 不公平
解析 列表如下：
| | 正 | 反 |
| --- | --- | --- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
由列表可知,共有4种等可能的结果,其中两次都是正面的结果有1种,两次是一正一反的结果有2种,
∴ 小红赢的概率是$\frac{1}{4}$,小明赢的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∵$\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$,
∴ 该游戏不公平.
解析 列表如下：
| | 正 | 反 |
| --- | --- | --- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
由列表可知,共有4种等可能的结果,其中两次都是正面的结果有1种,两次是一正一反的结果有2种,
∴ 小红赢的概率是$\frac{1}{4}$,小明赢的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∵$\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$,
∴ 该游戏不公平.
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是比较游戏双方获胜的概率是否相等。解题时首先用列表法列举出连续抛两次硬币的所有等可能结果，再分别统计对应小红赢、小明赢的结果数量，根据概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
用列表法列举所有可能的结果：
| 第一次\第二次 | 正 | 反 |
| --- | --- | --- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
由表可知，共有4种等可能的结果。
其中两次都是正面的结果有1种，因此小红赢的概率$P(\mathrm{小红赢})=\frac{1}{4}$；
两次是一正一反的结果有2种，因此小明赢的概率$P(\mathrm{小明赢})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，两人获胜的概率不相等，所以该游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
列表法求概率；概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率应用的基础题，解题时需注意“一正一反”包含“先正后反”和“先反后正”两种情况，不要漏算导致概率计算错误，准确计算双方获胜概率是判断游戏公平性的核心。
【难度系数】
0.8
判断游戏是否公平的核心是比较游戏双方获胜的概率是否相等。解题时首先用列表法列举出连续抛两次硬币的所有等可能结果，再分别统计对应小红赢、小明赢的结果数量，根据概率公式计算两人的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
用列表法列举所有可能的结果：
| 第一次\第二次 | 正 | 反 |
| --- | --- | --- |
| 正 | (正,正) | (正,反) |
| 反 | (反,正) | (反,反) |
由表可知，共有4种等可能的结果。
其中两次都是正面的结果有1种，因此小红赢的概率$P(\mathrm{小红赢})=\frac{1}{4}$；
两次是一正一反的结果有2种，因此小明赢的概率$P(\mathrm{小明赢})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，两人获胜的概率不相等，所以该游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
列表法求概率；概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率应用的基础题，解题时需注意“一正一反”包含“先正后反”和“先反后正”两种情况，不要漏算导致概率计算错误，准确计算双方获胜概率是判断游戏公平性的核心。
【难度系数】
0.8
3.一个布袋中装有2个黄球、4个红球和n个蓝球（n为正整数），每个球除颜色外都相同。甲、乙、丙三人利用该布袋和球进行摸球游戏，约定由甲从中摸出一个球，摸到黄球甲胜，摸到红球乙胜，摸到蓝球丙胜，已知此游戏对乙最有利，对甲最不利，那么n的值是
3
。答案
3.答案 3
解析 摸到黄球(甲胜)的概率为$\frac{2}{2+4+n}$,摸到红球(乙胜)的概率为$\frac{4}{2+4+n}$,摸到蓝球(丙胜)的概率为$\frac{n}{2+4+n}$,
∵ 此游戏对乙最有利,对甲最不利,
∴$\frac{2}{2+4+n}＜\frac{n}{2+4+n}＜\frac{4}{2+4+n}$,
∴$2＜n＜4$,
∵$n$为正整数,
∴$n$的值是3.
解析 摸到黄球(甲胜)的概率为$\frac{2}{2+4+n}$,摸到红球(乙胜)的概率为$\frac{4}{2+4+n}$,摸到蓝球(丙胜)的概率为$\frac{n}{2+4+n}$,
∵ 此游戏对乙最有利,对甲最不利,
∴$\frac{2}{2+4+n}＜\frac{n}{2+4+n}＜\frac{4}{2+4+n}$,
∴$2＜n＜4$,
∵$n$为正整数,
∴$n$的值是3.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确游戏对哪方有利的判断依据：哪方获胜的概率越大，游戏对该方就越有利。首先我们可以分别算出甲、乙、丙三人获胜的概率，观察发现三个概率的分母都是总球数，数值相同，因此只需比较分子的大小就能判断概率的大小关系。再结合题目给出的“对乙最有利，对甲最不利”的条件，列出关于n的不等式，求解正整数n即可。
【解析】
解：布袋中球的总个数为 $ 2+4+n = 6+n $ 个，
甲获胜（摸到黄球）的概率：$ P_{\mathrm{甲}} = \frac{2}{6+n} $，
乙获胜（摸到红球）的概率：$ P_{\mathrm{乙}} = \frac{4}{6+n} $，
丙获胜（摸到蓝球）的概率：$ P_{\mathrm{丙}} = \frac{n}{6+n} $，
∵ 游戏对乙最有利，对甲最不利，
∴ 三人获胜概率满足：$ P_{\mathrm{甲}} ＜ P_{\mathrm{丙}} ＜ P_{\mathrm{乙}} $，
代入得：$ \frac{2}{6+n} ＜ \frac{n}{6+n} ＜ \frac{4}{6+n} $，
∵ 总球数 $ 6+n ＞ 0 $，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，
∴ 可得 $ 2 ＜ n ＜ 4 $，
又
∵ $ n $ 为正整数，
∴ $ n = 3 $。
【答案】
3
【知识点】
概率计算，概率应用，不等式求解
【点评】
本题结合游戏公平性场景考查概率的实际应用，解题的核心是理解“对谁有利”对应概率的大小关系，利用同分母分数比较大小的性质可直接简化为对分子的大小比较，再结合正整数的限定即可得到答案，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确游戏对哪方有利的判断依据：哪方获胜的概率越大，游戏对该方就越有利。首先我们可以分别算出甲、乙、丙三人获胜的概率，观察发现三个概率的分母都是总球数，数值相同，因此只需比较分子的大小就能判断概率的大小关系。再结合题目给出的“对乙最有利，对甲最不利”的条件，列出关于n的不等式，求解正整数n即可。
【解析】
解：布袋中球的总个数为 $ 2+4+n = 6+n $ 个，
甲获胜（摸到黄球）的概率：$ P_{\mathrm{甲}} = \frac{2}{6+n} $，
乙获胜（摸到红球）的概率：$ P_{\mathrm{乙}} = \frac{4}{6+n} $，
丙获胜（摸到蓝球）的概率：$ P_{\mathrm{丙}} = \frac{n}{6+n} $，
∵ 游戏对乙最有利，对甲最不利，
∴ 三人获胜概率满足：$ P_{\mathrm{甲}} ＜ P_{\mathrm{丙}} ＜ P_{\mathrm{乙}} $，
代入得：$ \frac{2}{6+n} ＜ \frac{n}{6+n} ＜ \frac{4}{6+n} $，
∵ 总球数 $ 6+n ＞ 0 $，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，
∴ 可得 $ 2 ＜ n ＜ 4 $，
又
∵ $ n $ 为正整数，
∴ $ n = 3 $。
【答案】
3
【知识点】
概率计算，概率应用，不等式求解
【点评】
本题结合游戏公平性场景考查概率的实际应用，解题的核心是理解“对谁有利”对应概率的大小关系，利用同分母分数比较大小的性质可直接简化为对分子的大小比较，再结合正整数的限定即可得到答案，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
4.「2026江苏无锡梁溪期中，★☆」某校2025年学校运动会中，九年级共有25名同学参加志愿者的工作，其中男生20人，女生5人.
(1)若从这25名同学中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为
(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人中选择一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1,2,3的牌洗匀后(每张牌除牌面数字不同外，其余均相同)，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录牌面数字后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，问这个游戏公平吗？请用画树状图法或列表法说明理由.
(1)若从这25名同学中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为
$\frac{1}{5}$
.(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人中选择一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1,2,3的牌洗匀后(每张牌除牌面数字不同外，其余均相同)，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录牌面数字后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，问这个游戏公平吗？请用画树状图法或列表法说明理由.
答案
4.解析 (1)$\frac{1}{5}$.
(2)游戏不公平.理由：
画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中牌面数字之和为偶数的结果有5种,
∴ 甲参加的概率为$\frac{5}{9}$,乙参加的概率为$\frac{4}{9}$,
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$,
∴ 游戏不公平.
解析
【分析】
(1) 第一问为简单概率计算问题，解题思路为：随机事件的概率等于符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数，本题中选到女生的符合条件数为女生人数，总情况数为志愿者总人数，代入数值计算即可。
(2) 第二问为游戏公平性判断问题，判断游戏公平的核心是双方获胜的概率是否相等。解题时首先通过树状图列举出放回抽牌的所有等可能结果，再分别统计牌面数字之和为偶数、奇数的结果数，计算两人参加的概率后比较概率是否相等，即可判断游戏是否公平。
【解析】
(1) 已知共有25名志愿者，其中女生5人，从25人中随机选1人，共有25种等可能的结果，选到女生的结果有5种，因此选到女生的概率为$P=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$。
(2) 游戏不公平，理由如下：
根据题意画树状图：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中牌面数字之和为偶数的结果有5种，牌面数字之和为奇数的结果有4种。
∴甲参加的概率为$\frac{5}{9}$，乙参加的概率为$\frac{4}{9}$。
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，甲、乙参加的概率不相等，因此这个游戏不公平。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$
(2)游戏不公平，理由：
画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中牌面数字之和为偶数的结果有5种,
∴ 甲参加的概率为$\frac{5}{9}$,乙参加的概率为$\frac{4}{9}$,
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$,
∴ 游戏不公平。
【知识点】
简单概率计算，树状图法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用题型，第一问可直接利用概率公式求解，第二问需要掌握用树状图或列表法列举所有等可能事件，再通过计算概率判断游戏公平性，解题时需注意本题为放回抽取的情况，避免漏算或多算结果。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为简单概率计算问题，解题思路为：随机事件的概率等于符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数，本题中选到女生的符合条件数为女生人数，总情况数为志愿者总人数，代入数值计算即可。
(2) 第二问为游戏公平性判断问题，判断游戏公平的核心是双方获胜的概率是否相等。解题时首先通过树状图列举出放回抽牌的所有等可能结果，再分别统计牌面数字之和为偶数、奇数的结果数，计算两人参加的概率后比较概率是否相等，即可判断游戏是否公平。
【解析】
(1) 已知共有25名志愿者，其中女生5人，从25人中随机选1人，共有25种等可能的结果，选到女生的结果有5种，因此选到女生的概率为$P=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$。
(2) 游戏不公平，理由如下：
根据题意画树状图：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中牌面数字之和为偶数的结果有5种，牌面数字之和为奇数的结果有4种。
∴甲参加的概率为$\frac{5}{9}$，乙参加的概率为$\frac{4}{9}$。
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，甲、乙参加的概率不相等，因此这个游戏不公平。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$
(2)游戏不公平，理由：
画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中牌面数字之和为偶数的结果有5种,
∴ 甲参加的概率为$\frac{5}{9}$,乙参加的概率为$\frac{4}{9}$,
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$,
∴ 游戏不公平。
【知识点】
简单概率计算，树状图法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用题型，第一问可直接利用概率公式求解，第二问需要掌握用树状图或列表法列举所有等可能事件，再通过计算概率判断游戏公平性，解题时需注意本题为放回抽取的情况，避免漏算或多算结果。
【难度系数】
0.8
5.「★☆」在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球,记下数字为x,小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,设点Q的坐标为(x,y).
(1)画树状图或列表,写出点Q所有可能的坐标.
(2)计算由x,y确定的点Q(x,y)在函数$y=2x^2$图象上的概率.
(3)小明、小红约定做一个游戏,其规则:若x,y满足xy＞6,则小明胜;若x,y满足xy＜6,则小红胜.这个游戏公平吗?若公平,说明理由;若不公平,怎么修改规则才对双方公平?
(1)画树状图或列表,写出点Q所有可能的坐标.
(2)计算由x,y确定的点Q(x,y)在函数$y=2x^2$图象上的概率.
(3)小明、小红约定做一个游戏,其规则:若x,y满足xy＞6,则小明胜;若x,y满足xy＜6,则小红胜.这个游戏公平吗?若公平,说明理由;若不公平,怎么修改规则才对双方公平?
答案
5.解析 (1)列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
∴ 点Q所有可能的坐标分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
(2)由(1)可知由x,y确定的点Q(x,y)共有12种等可能的结果,通过计算可知只有点(1,2)在函数$y=2x^2$的图象上,
∴ 由x,y确定的点Q(x,y)在函数$y=2x^2$图象上的概率为$\frac{1}{12}$.
(3)这个游戏不公平.理由:由(1)可知共有12种等可能的结果,其中x,y满足xy＞6的结果有4种,x,y满足xy＜6的结果有6种,
∴ 小明胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,小红胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,
∵$\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$,
∴ 这个游戏不公平.
这个游戏规则可以改为若x,y满足xy≥6,则小明胜;若x,y满足xy＜6,则小红胜(修改规则不唯一).
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
∴ 点Q所有可能的坐标分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
(2)由(1)可知由x,y确定的点Q(x,y)共有12种等可能的结果,通过计算可知只有点(1,2)在函数$y=2x^2$的图象上,
∴ 由x,y确定的点Q(x,y)在函数$y=2x^2$图象上的概率为$\frac{1}{12}$.
(3)这个游戏不公平.理由:由(1)可知共有12种等可能的结果,其中x,y满足xy＞6的结果有4种,x,y满足xy＜6的结果有6种,
∴ 小明胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,小红胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,
∵$\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$,
∴ 这个游戏不公平.
这个游戏规则可以改为若x,y满足xy≥6,则小明胜;若x,y满足xy＜6,则小红胜(修改规则不唯一).
解析
【分析】
(1) 本次抽取是不放回抽取，因此x和y不能取相同值，可通过列表法，横向列出x的所有可能取值，纵向列出y的所有可能取值，排除x=y的情况，即可得到点Q的所有可能坐标。
(2) 先明确总共有12种等可能的结果，再将每个点代入函数$y=2x^2$验证，统计符合函数关系的点的个数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
(3) 判断游戏是否公平的核心是对比双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。修改规则时只要保证双方获胜的概率相等即可，规则不唯一。
【解析】
(1) 列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
∴ 点Q所有可能的坐标分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共12种等可能的结果。
(2) 将12个点代入$y=2x^2$验证：当x=1时，$y=2×1^2=2$，仅点(1,2)符合要求，其余点均不满足函数关系。
∴ 点Q在函数$y=2x^2$图象上的概率为$\frac{1}{12}$。
(3) 游戏不公平，理由如下：
统计12组xy的结果：2,3,4,2,6,8,3,6,12,4,8,12。其中满足$xy＞6$的结果有4种，满足$xy＜6$的结果有6种。
∴ $P(小明胜)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$P(小红胜)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
∵ $\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$，
∴ 游戏不公平。
修改规则示例：若x,y满足$xy≥6$，则小明胜；若x,y满足$xy＜6$，则小红胜（修改规则不唯一，保证双方获胜概率相等即可）。
【答案】
(1) 点Q所有可能坐标为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)；
(2) 概率为$\frac{1}{12}$；
(3) 游戏不公平，修改规则可改为：若x,y满足$xy≥6$，则小明胜，若x,y满足$xy＜6$，则小红胜（答案不唯一）。
【知识点】
列表法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，重点考查等可能事件概率的计算和游戏公平性的判断，解题的关键是不重不漏地列举所有等可能结果，修改规则的题型较为开放，符合概率相等的要求即可得分。
【难度系数】
0.75
(1) 本次抽取是不放回抽取，因此x和y不能取相同值，可通过列表法，横向列出x的所有可能取值，纵向列出y的所有可能取值，排除x=y的情况，即可得到点Q的所有可能坐标。
(2) 先明确总共有12种等可能的结果，再将每个点代入函数$y=2x^2$验证，统计符合函数关系的点的个数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
(3) 判断游戏是否公平的核心是对比双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。修改规则时只要保证双方获胜的概率相等即可，规则不唯一。
【解析】
(1) 列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
∴ 点Q所有可能的坐标分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共12种等可能的结果。
(2) 将12个点代入$y=2x^2$验证：当x=1时，$y=2×1^2=2$，仅点(1,2)符合要求，其余点均不满足函数关系。
∴ 点Q在函数$y=2x^2$图象上的概率为$\frac{1}{12}$。
(3) 游戏不公平，理由如下：
统计12组xy的结果：2,3,4,2,6,8,3,6,12,4,8,12。其中满足$xy＞6$的结果有4种，满足$xy＜6$的结果有6种。
∴ $P(小明胜)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$P(小红胜)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
∵ $\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$，
∴ 游戏不公平。
修改规则示例：若x,y满足$xy≥6$，则小明胜；若x,y满足$xy＜6$，则小红胜（修改规则不唯一，保证双方获胜概率相等即可）。
【答案】
(1) 点Q所有可能坐标为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)；
(2) 概率为$\frac{1}{12}$；
(3) 游戏不公平，修改规则可改为：若x,y满足$xy≥6$，则小明胜，若x,y满足$xy＜6$，则小红胜（答案不唯一）。
【知识点】
列表法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，重点考查等可能事件概率的计算和游戏公平性的判断，解题的关键是不重不漏地列举所有等可能结果，修改规则的题型较为开放，符合概率相等的要求即可得分。
【难度系数】
0.75
