1. 如图,在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D.
(1)求证:$AC=BD$;
(2)若大圆的半径$R=10$,小圆的半径$r=8$,且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6,求 AC 的长.

1.(1)证明:如答图,过点 O 作$OE ⊥ AB$于点 E,则$CE=DE,AE=BE$,
$\therefore AE-CE=BE-DE$,即$AC=BD$.
(2)解:由(1)可知,$OE ⊥ AB$且$OE ⊥ CD$,连接 OC,OA,如答图,$\therefore OE=6$,
$\therefore CE = \sqrt{OC^2-OE^2} = \sqrt{8^2-6^2} = 2\sqrt{7}$, $AE = \sqrt{OA^2-OE^2} = \sqrt{10^2-6^2}=8$,
$\therefore AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}$.

2.(2025·宜兴期末)如图,在$\odot O$中,AB是$\odot O$的直径,弦CD与AB交于点E,且D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接AC,BC,AD,BD.若$OE=2,DE=4$,求CD的长.

2.解:如答图,过点 O 作$OM ⊥ CD$于点 M,连接 OD,
$\therefore CD=2DM$.

$\because$ AB 是$\odot O$的直径,D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
$\therefore ∠ ADB=∠ AOD=∠ BOD=90°$.
$\because OE=2,DE=4$,
$\therefore OD=\sqrt{DE^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
由等面积法可知$S_{△ ODE}=\frac{1}{2} DE · OM=\frac{1}{2} OD · OE$,
即$4OM=2\sqrt{3} × 2$,解得$OM=\sqrt{3}$,
$\therefore DM=\sqrt{OD^2-OM^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$,
$\therefore CD=6$.

3.(2025·邗江区三模)如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$∠ BAC$的平分线与$\odot O$相交于点$D$,过点$D$作直线$DE // BC$,连接$OB,OC,BD,CD$.
(1)判断直线$DE$与$\odot O$的位置关系,并说明理由；
(2)若$BD=2\sqrt{5},BC=8$,求四边形$OBDC$的面积.

3.解:(1)直线 DE 与$\odot O$相切.
理由:如答图,连接 OD,设 OD 与 BC 相交于点 H,
$\because$ AD 平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore ∠ BOD=∠ COD$.
$\because OB=OC$,$\therefore OD ⊥ BC$,$\therefore ∠ OHC=90°$.
又$\because DE // BC$,$\therefore ∠ ODE=∠ OHC=90°$,$\therefore OD ⊥ DE$.
$\because OD$是$\odot O$的半径,
$\therefore$ 直线 DE 与$\odot O$相切.

(2)由(1)知$OD ⊥ BC$,
$\because OB=OC$,$\therefore OD$垂直平分 BC,$\therefore BH=\frac{1}{2} BC=4$,
$\therefore DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$,
$\therefore OH=OD-DH=OB-2$.
在$\mathrm{Rt}△ OBH$中,$OB^2=BH^2+OH^2$,
即$OB^2=4^2+(OB-2)^2$,解得$OB=5$,$\therefore OD=OB=5$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}OBDC} = S_{△ OBC} + S_{△ DBC} = \frac{1}{2} BC · OH + \frac{1}{2} BC · DH = \frac{1}{2} BC(OH+DH)=\frac{1}{2} BC · OD=\frac{1}{2} × 8 × 5=20$,
即四边形 OBDC 的面积为 20.