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1. 关于$x$的一元二次方程$x^2 - x = m^2$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定$a、b、c$的取值，再代入计算判别式，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - m^2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m^2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-m^2) = 1 + 4m^2$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$
∴ $4m^2≥0$，则$\Delta=1+4m^2≥1＞0$
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是先将方程化为一般形式，准确计算判别式，再结合平方的非负性判断判别式的符号，是根的判别式相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定$a、b、c$的取值，再代入计算判别式，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - m^2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m^2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-m^2) = 1 + 4m^2$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$
∴ $4m^2≥0$，则$\Delta=1+4m^2≥1＞0$
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是先将方程化为一般形式，准确计算判别式，再结合平方的非负性判断判别式的符号，是根的判别式相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a,b,c$为常数，点$P(a,c)$在第四象限，则关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的情况为 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判定
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判定
答案
B
解析
【分析】
解题首先需要结合平面直角坐标系中第四象限的点的坐标特征，确定a和c的符号，再回忆一元二次方程根的情况由根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号决定，接下来计算判别式的取值范围，即可判断方程根的情况。
【解析】
解：$\because$点$P(a,c)$在第四象限，
$\therefore$横坐标$a＞0$，纵坐标$c＜0$，
$\therefore ac＜0$，则$-4ac＞0$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，
$\because b^2\ge0$，$-4ac＞0$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac＞0$，
根据根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础综合题，将坐标特征和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是先由点所在象限得到a、c的乘积为负，再结合平方的非负性判断判别式的符号，掌握基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先需要结合平面直角坐标系中第四象限的点的坐标特征，确定a和c的符号，再回忆一元二次方程根的情况由根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号决定，接下来计算判别式的取值范围，即可判断方程根的情况。
【解析】
解：$\because$点$P(a,c)$在第四象限，
$\therefore$横坐标$a＞0$，纵坐标$c＜0$，
$\therefore ac＜0$，则$-4ac＞0$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，
$\because b^2\ge0$，$-4ac＞0$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac＞0$，
根据根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础综合题，将坐标特征和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是先由点所在象限得到a、c的乘积为负，再结合平方的非负性判断判别式的符号，掌握基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中,点$ P $的坐标为$(m,n)$,称关于$ x $的方程$ x^2 + mx + n = 0 $为点$ P $的对应方程.若点$ A(1,1) $,$ B(-2,2) $,则线段$ AB $上任意点的对应方程的实数根有
0
个.答案
0
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先求出线段AB对应的函数解析式，得到线段上任意点的横坐标m和纵坐标n的关系，同时明确m的取值范围；第二步，根据点的对应方程的定义，写出一元二次方程的根的判别式，将n用含m的式子替换；第三步，通过配方法化简判别式，结合m的取值范围判断判别式的符号，即可确定实数根的个数。
【解析】
1. 求线段AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(1,1)$、$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=2\end{cases}$
两式相减消去b，得$3k=-1$，解得$k=-\frac{1}{3}$，代入$k+b=1$得$b=\frac{4}{3}$。
因此直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$，线段AB上任意点$P(m,n)$满足$n=-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}$，且$m$的取值范围是$-2≤ m≤1$。
2. 计算对应方程的判别式：
关于x的对应方程为$x^2+mx+n=0$，其判别式$\Delta = m^2 - 4n$。
将$n=-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}$代入得：
$\Delta = m^2 - 4×(-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}) = m^2 + \frac{4}{3}m - \frac{16}{3}$
3. 配方判断Δ的符号：
对Δ配方：
$\Delta = m^2 + \frac{4}{3}m + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 - \frac{16}{3} = (m+\frac{2}{3})^2 - \frac{52}{9}$
当$-2≤ m≤1$时，$(m+\frac{2}{3})^2$的最大值为$(1+\frac{2}{3})^2=\frac{25}{9}$，因此：
$\Delta ≤ \frac{25}{9} - \frac{52}{9} = -3 ＜ 0$
判别式恒小于0，说明对应方程没有实数根。
【答案】
0
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 配方法求最值
【点评】
本题将一次函数和一元二次方程的知识结合考查，解题的关键是建立线段上点的横纵坐标的关系，通过配方判断判别式的符号，能很好地锻炼知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先求出线段AB对应的函数解析式，得到线段上任意点的横坐标m和纵坐标n的关系，同时明确m的取值范围；第二步，根据点的对应方程的定义，写出一元二次方程的根的判别式，将n用含m的式子替换；第三步，通过配方法化简判别式，结合m的取值范围判断判别式的符号，即可确定实数根的个数。
【解析】
1. 求线段AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(1,1)$、$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=2\end{cases}$
两式相减消去b，得$3k=-1$，解得$k=-\frac{1}{3}$，代入$k+b=1$得$b=\frac{4}{3}$。
因此直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$，线段AB上任意点$P(m,n)$满足$n=-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}$，且$m$的取值范围是$-2≤ m≤1$。
2. 计算对应方程的判别式：
关于x的对应方程为$x^2+mx+n=0$，其判别式$\Delta = m^2 - 4n$。
将$n=-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}$代入得：
$\Delta = m^2 - 4×(-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}) = m^2 + \frac{4}{3}m - \frac{16}{3}$
3. 配方判断Δ的符号：
对Δ配方：
$\Delta = m^2 + \frac{4}{3}m + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 - \frac{16}{3} = (m+\frac{2}{3})^2 - \frac{52}{9}$
当$-2≤ m≤1$时，$(m+\frac{2}{3})^2$的最大值为$(1+\frac{2}{3})^2=\frac{25}{9}$，因此：
$\Delta ≤ \frac{25}{9} - \frac{52}{9} = -3 ＜ 0$
判别式恒小于0，说明对应方程没有实数根。
【答案】
0
【知识点】
1. 一次函数解析式求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 配方法求最值
【点评】
本题将一次函数和一元二次方程的知识结合考查，解题的关键是建立线段上点的横纵坐标的关系，通过配方判断判别式的符号，能很好地锻炼知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(k+3)x+2k+2=0$.
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求$k$的取值范围.
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求$k$的取值范围.
答案
（1）证明:$b^2-4ac=(k+3)^2-4×1×(2k+2)=k^2-2k+1=(k-1)^2$,
∵ 不论k为何值,$(k-1)^2≥0$,
∴ 方程有两个实数根；
（2）解:$x=\frac{-(k+3)±\sqrt{(k-1)^2}}{2×1}$,
$x_1=\frac{-k-3+k-1}{2}=-2$,$x_2=\frac{-k-3-k+1}{2}=-k-1$,
∵ 方程的两个根都是负根,
∴ $-k-1＜0$.
∴ $k＞-1$.
∵ 不论k为何值,$(k-1)^2≥0$,
∴ 方程有两个实数根；
（2）解:$x=\frac{-(k+3)±\sqrt{(k-1)^2}}{2×1}$,
$x_1=\frac{-k-3+k-1}{2}=-2$,$x_2=\frac{-k-3-k+1}{2}=-k-1$,
∵ 方程的两个根都是负根,
∴ $-k-1＜0$.
∴ $k＞-1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程有两个实数根，核心思路是证明根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，首先确定方程中$a、b、c$的对应取值，代入判别式化简后，证明化简结果为非负数即可。
（2）要求两个根都是负根时$k$的取值范围，可先借助求根公式求出方程的两个根，其中一个根为定值-2，已经满足负根要求，只需让另一个根也小于0，解对应不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2+(k+3)x+2k+2=0$中，$a=1$，$b=k+3$，$c=2k+2$，
则根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac=(k+3)^2-4×1×(2k+2)\\&=k^2+6k+9-8k-8\\&=k^2-2k+1=(k-1)^2\end{aligned}$
∵ 无论$k$取何实数，$(k-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 方程有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应值可得：
$x=\frac{-(k+3)\pm\sqrt{(k-1)^2}}{2×1}$
计算得两个根：
$x_1=\frac{-k-3+k-1}{2}=-2$，$x_2=\frac{-k-3-k+1}{2}=-k-1$
∵ 方程的两个根都是负根，且$x_1=-2＜0$，只需满足$x_2＜0$，
∴ $-k-1＜0$，解得$k＞-1$。
【答案】
（1）证明见解析，方程总有两个实数根；（2）$k＞-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，求根公式的应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式的应用以及结合根的性质求参数范围的能力，解题时注意计算过程中符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程有两个实数根，核心思路是证明根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，首先确定方程中$a、b、c$的对应取值，代入判别式化简后，证明化简结果为非负数即可。
（2）要求两个根都是负根时$k$的取值范围，可先借助求根公式求出方程的两个根，其中一个根为定值-2，已经满足负根要求，只需让另一个根也小于0，解对应不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2+(k+3)x+2k+2=0$中，$a=1$，$b=k+3$，$c=2k+2$，
则根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac=(k+3)^2-4×1×(2k+2)\\&=k^2+6k+9-8k-8\\&=k^2-2k+1=(k-1)^2\end{aligned}$
∵ 无论$k$取何实数，$(k-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 方程有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应值可得：
$x=\frac{-(k+3)\pm\sqrt{(k-1)^2}}{2×1}$
计算得两个根：
$x_1=\frac{-k-3+k-1}{2}=-2$，$x_2=\frac{-k-3-k+1}{2}=-k-1$
∵ 方程的两个根都是负根，且$x_1=-2＜0$，只需满足$x_2＜0$，
∴ $-k-1＜0$，解得$k＞-1$。
【答案】
（1）证明见解析，方程总有两个实数根；（2）$k＞-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，求根公式的应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式的应用以及结合根的性质求参数范围的能力，解题时注意计算过程中符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
5. 关于x的一元二次方程$kx^2 + 4x + 2 = 0$有实数根，则k的取值范围是 （
A.$k≥ -2$
B.$k≤ 2$且$k≠0$
C.$k≥ -2$且$k≠0$
D.$k≤ 2$
B
）A.$k≥ -2$
B.$k≤ 2$且$k≠0$
C.$k≥ -2$且$k≠0$
D.$k≤ 2$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先关注题干限定“一元二次方程”，首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，即k≠0，可先排除不含k≠0的选项A、D；其次，方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，代入对应系数求解不等式得到k的取值范围，最后结合k≠0的条件即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 + 4x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4× k×2 = 16 - 8k ≥ 0$
解不等式：$16 ≥ 8k$，得$k ≤ 2$
综上，k的取值范围是$k ≤ 2$且$k≠0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”对二次项系数的限制，仅通过判别式求解错选D，做题时需先审清题干限定条件，再结合判别式规则计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先关注题干限定“一元二次方程”，首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，即k≠0，可先排除不含k≠0的选项A、D；其次，方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，代入对应系数求解不等式得到k的取值范围，最后结合k≠0的条件即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 + 4x + 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4× k×2 = 16 - 8k ≥ 0$
解不等式：$16 ≥ 8k$，得$k ≤ 2$
综上，k的取值范围是$k ≤ 2$且$k≠0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”对二次项系数的限制，仅通过判别式求解错选D，做题时需先审清题干限定条件，再结合判别式规则计算。
【难度系数】
0.7
6. 当$m=$
-4
时，关于$x$的方程$x^2 -4x -m=0$有两个相等的实数根。答案
-4
解析
【分析】
本题需要利用一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系求解，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的性质：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；接着定位给定方程中$a、b、c$的取值，注意常数项的符号不要出错；最后将系数代入$\Delta=0$的等式，解关于$m$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有两个相等实数根的充要条件为$\Delta=b^2-4ac=0$。
在方程$x^2-4x-m=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-m$，代入判别式得：
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-m)=0$
化简计算：
$16 + 4m = 0$
移项得$4m=-16$，解得$m=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查根的判别式和方程根的情况的对应关系，解题的易错点为提取常数项时符号出错，牢记相关性质、仔细计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
本题需要利用一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系求解，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的性质：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；接着定位给定方程中$a、b、c$的取值，注意常数项的符号不要出错；最后将系数代入$\Delta=0$的等式，解关于$m$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有两个相等实数根的充要条件为$\Delta=b^2-4ac=0$。
在方程$x^2-4x-m=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-m$，代入判别式得：
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-m)=0$
化简计算：
$16 + 4m = 0$
移项得$4m=-16$，解得$m=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查根的判别式和方程根的情况的对应关系，解题的易错点为提取常数项时符号出错，牢记相关性质、仔细计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
7. 已知关于$x$的方程$x^2-(k+2)x+2k=0$.
（1）求证：无论$k$取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根.
（1）求证：无论$k$取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根.
答案
（1）证明:$b^2-4ac=[-(k+2)]^2-4×2k=(k-2)^2$,
∵ $(k-2)^2≥0$,即$b^2-4ac≥0$,
∴ 无论k取何值,方程总有实数根；
（2）解:根据题意,得$b^2-4ac=(k-2)^2=0$,解得$k=2$,则方程变形为$x^2-4x+4=0$,
∴ $x_1=x_2=2$.
∵ $(k-2)^2≥0$,即$b^2-4ac≥0$,
∴ 无论k取何值,方程总有实数根；
（2）解:根据题意,得$b^2-4ac=(k-2)^2=0$,解得$k=2$,则方程变形为$x^2-4x+4=0$,
∴ $x_1=x_2=2$.
解析
【分析】
（1）要证明无论k取何值，该一元二次方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$恒成立即可。先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式化简，再判断化简结果的非负性即可完成证明。
（2）若方程有两个相等的实数根，根据判别式的性质，此时$\Delta=0$，据此先列方程求出k的值，再将k代入原方程求解，即可得到方程的根。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2-(k+2)x+2k=0$中，$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(k+2)]^2 - 4×1×2k = k^2+4k+4-8k = (k-2)^2$，
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(k-2)^2≥0$，也就是$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论k取何值，方程总有实数根。
（2）解：
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta = (k-2)^2 = 0$，解得$k=2$，
将$k=2$代入原方程，得$x^2-4x+4=0$，
整理得$(x-2)^2=0$，
∴ $x_1=x_2=2$。
【答案】
（1）无论k取何值，方程总有实数根，证明见上述过程；
（2）方程的根为$\boldsymbol{x_1=x_2=2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题核心考查根的判别式的应用，牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系是解题的关键，解题步骤清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明无论k取何值，该一元二次方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$恒成立即可。先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式化简，再判断化简结果的非负性即可完成证明。
（2）若方程有两个相等的实数根，根据判别式的性质，此时$\Delta=0$，据此先列方程求出k的值，再将k代入原方程求解，即可得到方程的根。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2-(k+2)x+2k=0$中，$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(k+2)]^2 - 4×1×2k = k^2+4k+4-8k = (k-2)^2$，
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(k-2)^2≥0$，也就是$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论k取何值，方程总有实数根。
（2）解：
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta = (k-2)^2 = 0$，解得$k=2$，
将$k=2$代入原方程，得$x^2-4x+4=0$，
整理得$(x-2)^2=0$，
∴ $x_1=x_2=2$。
【答案】
（1）无论k取何值，方程总有实数根，证明见上述过程；
（2）方程的根为$\boldsymbol{x_1=x_2=2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题核心考查根的判别式的应用，牢记判别式的取值与方程根的个数的对应关系是解题的关键，解题步骤清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于x的一元二次方程$(m-3)x^2-(m-4)x-1=0$（m为实数）.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若m为整数，且该方程有一个根是负整数，求m的值.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若m为整数，且该方程有一个根是负整数，求m的值.
答案
（1）
∵ 依题意,得$m-3≠0$,$b^2-4ac=(-m+4)^2-4(m-3)×(-1)＞0$.
∴ $(m-2)^2＞0$,即m的取值范围是$m≠2$且$m≠3$的实数；
（2）$x=\frac{m-4±(m-2)}{2(m-3)}$,
∴ $x_1=-\frac{1}{m-3}$,$x_2=1$.
∵ 方程有一个根是负整数,m为整数,且$m≠2$,$m≠3$,
∴ $m-3=1$.
∴ $m=4$.
∵ 依题意,得$m-3≠0$,$b^2-4ac=(-m+4)^2-4(m-3)×(-1)＞0$.
∴ $(m-2)^2＞0$,即m的取值范围是$m≠2$且$m≠3$的实数；
（2）$x=\frac{m-4±(m-2)}{2(m-3)}$,
∴ $x_1=-\frac{1}{m-3}$,$x_2=1$.
∵ 方程有一个根是负整数,m为整数,且$m≠2$,$m≠3$,
∴ $m-3=1$.
∴ $m=4$.
解析
【分析】
（1）求解一元二次方程有两个不相等实数根的参数范围，首先要满足一元二次方程的前提：二次项系数不为0；其次根据根的判别式性质，当Δ=b²-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，联立两个条件求解即可。
（2）先利用求根公式求出方程的两个根，已知其中一个根为正整数1，因此负整数根只能是另一个根，结合m为整数、且满足第一问的取值范围，对负根的表达式分析即可求出m的值。
【解析】
（1）依题意，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此：
$\begin{cases}m-3≠0 \\[-(m-4)]^2 - 4×(m-3)×(-1) ＞ 0\end{cases}$
化简第二个不等式：
$(m-4)^2 + 4(m-3) = m^2-8m+16+4m-12 = m^2-4m+4 = (m-2)^2＞0$，解得$m≠2$
结合$m-3≠0$即$m≠3$，可得m的取值范围。
（2）根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=m-3$，$b=-(m-4)$，$\sqrt{b^2-4ac}=|m-2|$，结合$m≠2$得：
$x=\frac{(m-4)\pm(m-2)}{2(m-3)}$
计算得两个根：$x_1=\frac{m-4+m-2}{2(m-3)}=1$，$x_2=\frac{m-4-(m-2)}{2(m-3)}=-\frac{1}{m-3}$
已知方程有一个根是负整数，$x_1=1$为正整数，因此负整数根为$x_2$
∵ m为整数，且$m≠2,m≠3$
∴ $-\frac{1}{m-3}$为负整数，即$m-3$是1的正约数，得$m-3=1$，解得$m=4$。
【答案】
（1）$m≠2$且$m≠3$的实数；（2）$m=4$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；求根公式应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问易错点是遗漏二次项系数不为0的隐含条件；第二问需要先求出方程的根，再结合整数性质分析求解，考查了基础计算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解一元二次方程有两个不相等实数根的参数范围，首先要满足一元二次方程的前提：二次项系数不为0；其次根据根的判别式性质，当Δ=b²-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，联立两个条件求解即可。
（2）先利用求根公式求出方程的两个根，已知其中一个根为正整数1，因此负整数根只能是另一个根，结合m为整数、且满足第一问的取值范围，对负根的表达式分析即可求出m的值。
【解析】
（1）依题意，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此：
$\begin{cases}m-3≠0 \\[-(m-4)]^2 - 4×(m-3)×(-1) ＞ 0\end{cases}$
化简第二个不等式：
$(m-4)^2 + 4(m-3) = m^2-8m+16+4m-12 = m^2-4m+4 = (m-2)^2＞0$，解得$m≠2$
结合$m-3≠0$即$m≠3$，可得m的取值范围。
（2）根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=m-3$，$b=-(m-4)$，$\sqrt{b^2-4ac}=|m-2|$，结合$m≠2$得：
$x=\frac{(m-4)\pm(m-2)}{2(m-3)}$
计算得两个根：$x_1=\frac{m-4+m-2}{2(m-3)}=1$，$x_2=\frac{m-4-(m-2)}{2(m-3)}=-\frac{1}{m-3}$
已知方程有一个根是负整数，$x_1=1$为正整数，因此负整数根为$x_2$
∵ m为整数，且$m≠2,m≠3$
∴ $-\frac{1}{m-3}$为负整数，即$m-3$是1的正约数，得$m-3=1$，解得$m=4$。
【答案】
（1）$m≠2$且$m≠3$的实数；（2）$m=4$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；求根公式应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问易错点是遗漏二次项系数不为0的隐含条件；第二问需要先求出方程的根，再结合整数性质分析求解，考查了基础计算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
