7. 如图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成如图2所示，若记朱方对应正方形$GDJH$的边长为$a$，青方对应正方形$ABCD$的边长为$b$，已知$b - a = 3$，$a^2 + b^2 = 29$，则图2中的阴影部分面积为______.

24

8. 阅读材料，回答下列问题：
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形ABEFG的面积，并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程.
(2)若满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的$a、b、c$是三个正整数，我们称$a、b、c$为勾股数.已知$m、n$是正整数且$m＞n$，证明：$2mn、m^{2}-n^{2}、m^{2}+n^{2}$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形ABEFG中，若$a=4,b=8$，则空白部分的面积为______.
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”：______.
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中，用$2n^{2}+4n+4$（$n$为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是______、______.

48
; 85、3612、3613（或85、132、157，答案不唯一）
; $2n^{2}+4n$ ; $4n + 4$ ; 解：​$(1) $​如图，方法一：
​$S_{五边形 ABEFG}=S_{正方形 ABIN}+S_{正方形 MDEF}+S_{\triangle MFG}+S_{\triangle ANG}$​​$=b^2+a^2+\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}ab=a^2+b^2+ab；$​方法二：​$S_{五边形 ABEFG}=S_{正方形 ACFG}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CEF}$​​$=c^2+\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}ab=c^2+ab，$​∴​$a^2+b^2+ab=c^2+ab，$​∴​$a^2+b^2=c^2。$​​$(2) $​证明：∵​$(2mn)^2=4\ \mathrm {m^2}n^2，$​​$(\mathrm {m^2}-n^2)^2=m^4+n^4-2\ \mathrm {m^2}n^2，$​∴​$(2mn)^2+(\mathrm {m^2}-n^2)^2=4\ \mathrm {m^2}n^2+m^4+n^4-2\ \mathrm {m^2}n^2=(\mathrm {m^2}+n^2)^2，$​∵​$m、$​​$n$​是正整数且​$m>n，$​∴​$2mn、$​​$\mathrm {m^2}-n^2、$​​$\mathrm {m^2}+n^2$​都是正整数，∴​$2mn、$​​$\mathrm {m^2}-n^2、$​​$\mathrm {m^2}+n^2$​是勾股数。