1. 分式方程的概念
分母中含的方程叫作分式方程.

未知数

根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2. 分式方程的解法
(1) 基本思路:将分式方程化为.
(2) 基本方法:(一般是方程两边乘).

(1)整式方程；(2)去分母；最简公分母

(1)分式方程的基本思路是将其化为整式方程，因为整式方程的解法是已学知识，这样可以将未知问题转化为已知问题。
(2)实现这一转化的基本方法是去分母，一般是在方程两边乘最简公分母，从而消除分母，得到整式方程。

3. 分式方程的“检验”
将整式方程的解代入,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解原分式方程的解;否则,这个解原分式方程的解.

最简公分母，是，不是。

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

【例1】下列式子:①$\frac{1}{x + 1} = \frac{3}{y - 1}$;②$1 + \frac{1}{x^2} = 2$;③$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 3$;④$\frac{x^2}{x} = 2$;⑤$\frac{1}{x} ＜ 2$. 其中是分式方程的是.(填序号)
＜解透重点＞
分式方程的分母中含有未知数,而整式方程的分母中不含有未知数或方程中无分母.
＜/解透重点＞

①②④

根据分式方程的定义（分母里含有未知数或含有未知数整式的式子的方程），对题目中给出的五个式子逐一分析。
式子①：$\frac{1}{x + 1} = \frac{3}{y - 1}$，分母中含有未知数$x$和$y$，是分式方程。
式子②：$1 + \frac{1}{x^2} = 2$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
式子③：$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 3$，分母中不含有未知数，是整式方程，不是分式方程。
式子④：$\frac{x^2}{x} = 2$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
式子⑤：$\frac{1}{x} ＜ 2$，这不是一个方程，因为方程是含有未知数的等式，而该式子是不等式，所以不是分式方程。
综上，是分式方程的是①②④。

【变式1】下列式子中是分式方程的是().

A.$-\frac{2}{x}$
B.$\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = 3$
C.$\frac{x}{2} + 1 = 0$
D.$x^2 + 1 = 0$

B

分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。选项A是分式，不是方程；选项B分母含有未知数x，是分式方程；选项C是一元一次方程，分母不含未知数；选项D是一元二次方程，不含分式。

【例2】解下列方程:
(1)$\frac{3}{x - 3} = \frac{2}{x}$;
(2)$\frac{x - 3}{x - 2} - 2 = \frac{3}{2 - x}$.

(1)
解：方程两边同乘$x(x - 3)$，得
$3x = 2(x - 3)$
去括号，得
$3x = 2x - 6$
移项，得
$3x - 2x = -6$
合并同类项，得
$x = -6$
检验：当$x = -6$时，$x(x - 3) = -6×(-9) = 54 ≠ 0$
∴原分式方程的解为$x = -6$
(2)
解：原方程可化为
$\frac{x - 3}{x - 2} - 2 = -\frac{3}{x - 2}$
方程两边同乘$x - 2$，得
$x - 3 - 2(x - 2) = -3$
去括号，得
$x - 3 - 2x + 4 = -3$
移项，得
$x - 2x = -3 + 3 - 4$
合并同类项，得
$-x = -4$
系数化为1，得
$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 2 = 2 ≠ 0$
∴原分式方程的解为$x = 4$

【变式2】解下列分式方程:
(1)$\frac{3}{x - 5} = \frac{5}{x - 7}$;
(2)$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{2x}{3x - 3}$.

(1)
方程$\frac{3}{x - 5} = \frac{5}{x - 7}$两边同乘$(x - 5)(x - 7)$得：
$3(x - 7)=5(x - 5)$
去括号得：
$3x - 21 = 5x - 25$
移项得：
$3x - 5x=-25 + 21$
合并同类项得：
$-2x=-4$
系数化为$1$得：
$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$(x - 5)(x - 7)=(2 - 5)×(2 - 7)=(-3)×(-5)=15\neq0$
所以$x = 2$是原分式方程的解。
(2)
对$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{2x}{3x - 3}$，先对$3x - 3$提取公因式$3$得$3(x - 1)$，则原方程可化为$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{2x}{3(x - 1)}$
方程两边同乘$3(x - 1)$得：
$3x-3(x - 1)=2x$
去括号得：
$3x - 3x+3 = 2x$
移项得：
$3x - 3x-2x=-3$
合并同类项得：
$-2x=-3$
系数化为$1$得：
$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x = \frac{3}{2}$时，$3(x - 1)=3×(\frac{3}{2}-1)=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\neq0$
所以$x = \frac{3}{2}$是原分式方程的解。