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【例3】已知关于x的分式方程$\frac{2x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$的解是正数,求m的取值范围.
答案
首先去分母，由于分母有$x - 1$和$1 - x$，注意到$1 - x = -(x - 1)$，所以方程可以写为：
$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$，
去分母，得到：
$2x - m + 3 = x - 1$，
整理上述方程，得到：
$x = m - 4$，
根据题意，方程的解是正数，并且分母不能为0，所以：
$m - 4 ＞ 0$，
$m - 4\neq 1$（因为$x \neq 1$，否则分母为0，方程无意义），
从上述不等式得到：
$m ＞ 4$，
$m \neq5$，
所以，$m$的取值范围是$m ＞ 4$且$m \neq 5$。
$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$，
去分母，得到：
$2x - m + 3 = x - 1$，
整理上述方程，得到：
$x = m - 4$，
根据题意，方程的解是正数，并且分母不能为0，所以：
$m - 4 ＞ 0$，
$m - 4\neq 1$（因为$x \neq 1$，否则分母为0，方程无意义），
从上述不等式得到：
$m ＞ 4$，
$m \neq5$，
所以，$m$的取值范围是$m ＞ 4$且$m \neq 5$。
【变式3】若关于x的分式方程$\frac{3x}{x - 2} - 1 = \frac{m + 3}{x - 2}$无解,求m的值.
答案
答题卡：
解：
首先，我们将原方程$\frac{3x}{x - 2} - 1 = \frac{m + 3}{x - 2}$两边都乘以$x - 2$（注意$x \neq 2$）以消去分母，得到：
$3x - (x - 2) = m + 3$，
整理得：
$2x + 2 = m + 3$，
进一步整理为：
$2x = m + 1$，
于是，我们得到$x$的表达式为：
$x = \frac{m + 1}{2}$，
接下来，我们根据分式方程无解的条件来求解$m$的值。
分式方程无解的条件是解得的$x$值使分式方程的分母为0，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = \frac{m + 1}{2}$，解得：
$m = 3$，
另外，我们还需要考虑方程$2x = m + 1$无解的情况，但在这个问题中，该方程是一个一元一次方程，总是有解的，除非$m$的取值使得方程成为矛盾式，但在这里不存在这样的情况。
然而，当$m + 1 = 0$（即$m = -1$）时，虽然方程$2x = 0$有解$x=0$，但此解并不导致分母为0，所以$m = -1$不是使分式方程无解的$m$值，只有当$m = 3$时，分式方程无解。
故$m$的值为$3$。
解：
首先，我们将原方程$\frac{3x}{x - 2} - 1 = \frac{m + 3}{x - 2}$两边都乘以$x - 2$（注意$x \neq 2$）以消去分母，得到：
$3x - (x - 2) = m + 3$，
整理得：
$2x + 2 = m + 3$，
进一步整理为：
$2x = m + 1$，
于是，我们得到$x$的表达式为：
$x = \frac{m + 1}{2}$，
接下来，我们根据分式方程无解的条件来求解$m$的值。
分式方程无解的条件是解得的$x$值使分式方程的分母为0，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = \frac{m + 1}{2}$，解得：
$m = 3$，
另外，我们还需要考虑方程$2x = m + 1$无解的情况，但在这个问题中，该方程是一个一元一次方程，总是有解的，除非$m$的取值使得方程成为矛盾式，但在这里不存在这样的情况。
然而，当$m + 1 = 0$（即$m = -1$）时，虽然方程$2x = 0$有解$x=0$，但此解并不导致分母为0，所以$m = -1$不是使分式方程无解的$m$值，只有当$m = 3$时，分式方程无解。
故$m$的值为$3$。
1. 下列方程中,是分式方程的是().
A.$\frac{3x + 5}{4x} = 2$
B.$x^2 - 2x = 1$
C.$\frac{x + 1}{2} = 1$
D.$x - 2 = 3y$
A.$\frac{3x + 5}{4x} = 2$
B.$x^2 - 2x = 1$
C.$\frac{x + 1}{2} = 1$
D.$x - 2 = 3y$
答案
A
解析
分式方程是分母中含有未知数的方程。A选项分母中含有未知数x，是分式方程；B是一元二次方程，C是一元一次方程，D是二元一次方程，均不符合分式方程定义。
2. 解分式方程$\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x} = 1$时,经过去分母、去括号后得到的结果是().
A.$x^2 - x - 2 = 1$
B.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2x$
C.$x^2 - x + 2 = 1$
D.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2$
A.$x^2 - x - 2 = 1$
B.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2x$
C.$x^2 - x + 2 = 1$
D.$x^2 - x + 2 = x^2 - 2$
答案
B
解析
方程两边同乘$x(x - 2)$，得$x · x - (x - 2) = x(x - 2)$，去括号得$x^2 - x + 2 = x^2 - 2x$
3. 分式方程$\frac{2}{x - 6} = 1$的解是().
A.$x = 6$
B.$x = -8$
C.$x = 8$
D.$x = -6$
A.$x = 6$
B.$x = -8$
C.$x = 8$
D.$x = -6$
答案
C
解析
首先，我们有分式方程 $\frac{2}{x - 6} = 1$。
为了解这个方程，我们可以将方程两边同时乘以 $x - 6$（注意，这里 $x \neq 6$，否则分母为零，方程无意义）：
$2 = x - 6$
接着，我们将方程两边同时加6，得到：
$x = 8$
最后，我们需要检验这个解是否合法。将 $x = 8$ 代入原方程的分母 $x - 6$，得到 $8 - 6 = 2 \neq 0$，所以 $x = 8$ 是原方程的解。
为了解这个方程，我们可以将方程两边同时乘以 $x - 6$（注意，这里 $x \neq 6$，否则分母为零，方程无意义）：
$2 = x - 6$
接着，我们将方程两边同时加6，得到：
$x = 8$
最后，我们需要检验这个解是否合法。将 $x = 8$ 代入原方程的分母 $x - 6$，得到 $8 - 6 = 2 \neq 0$，所以 $x = 8$ 是原方程的解。
4. 方程$\frac{5}{y} - \frac{3}{y - 2} = 0$的解为.
答案
$y = 5$。
解析
给定方程为：$\frac{5}{y} - \frac{3}{y - 2} = 0$，
将方程两边同时乘以$y(y-2)$，得到：
$5(y - 2) - 3y = 0$，
去括号得：
$5y - 10 - 3y = 0$，
合并同类项得：
$2y = 10$，
系数化为1得：
$y = 5$。
检验：当$y = 5$时，$y(y-2)=5×(5-2)=15 \neq 0$，
所以$y = 5$是原方程的解。
将方程两边同时乘以$y(y-2)$，得到：
$5(y - 2) - 3y = 0$，
去括号得：
$5y - 10 - 3y = 0$，
合并同类项得：
$2y = 10$，
系数化为1得：
$y = 5$。
检验：当$y = 5$时，$y(y-2)=5×(5-2)=15 \neq 0$，
所以$y = 5$是原方程的解。
5. 解方程$\frac{3}{x - 1} = \frac{4}{x}$.
答案
解题过程如下：
方程两边同乘$x(x - 1)$（$x\neq0$且$x\neq1$）得：
$3x = 4(x - 1)$，
去括号得：
$3x = 4x - 4$，
移项得：
$3x - 4x = -4$，
即：
$-x = -4$，
解得：
$x = 4$，
检验：当$x = 4$时，$x(x - 1)=4×(4 - 1)=12\neq 0$，
所以，原方程的解为$x = 4$。
方程两边同乘$x(x - 1)$（$x\neq0$且$x\neq1$）得：
$3x = 4(x - 1)$，
去括号得：
$3x = 4x - 4$，
移项得：
$3x - 4x = -4$，
即：
$-x = -4$，
解得：
$x = 4$，
检验：当$x = 4$时，$x(x - 1)=4×(4 - 1)=12\neq 0$，
所以，原方程的解为$x = 4$。
1. 下列关于x的方程,是分式方程的是().
A.$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$
B.$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$
C.$\frac{x}{\pi} = \frac{x}{3} + \frac{x}{2}$
D.$\frac{1}{2 + x} = 1 - \frac{2}{x}$
A.$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$
B.$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$
C.$\frac{x}{\pi} = \frac{x}{3} + \frac{x}{2}$
D.$\frac{1}{2 + x} = 1 - \frac{2}{x}$
答案
D
解析
分式方程的定义是分母里含有未知数或表示未知数的字母的方程。
A选项方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
B选项方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
C选项方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
D选项方程的分母里含有未知数$x$，是分式方程。
A选项方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
B选项方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
C选项方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
D选项方程的分母里含有未知数$x$，是分式方程。
2. 判断下列各式:①$\frac{x - 2}{2} = \frac{x}{3}$;②$\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 7$;③$\frac{1}{x}$;④$\frac{x}{x + y} = \frac{1}{5}$;⑤$\frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x}$;⑥$\frac{x^2 + 1}{\pi} = 2$;⑦$2x + \frac{x - 1}{5} = 10$;⑧$\frac{2x + 1}{x} + 3x = 1$. 其中是分式方程的是.(填序号)
答案
②④⑤⑧
解析
根据分式方程的定义：分母里含有未知数或含有未知数整式为分母的方程叫分式方程。
①$\frac{x - 2}{2} = \frac{x}{3}$，分母中不含有未知数，所以不是分式方程。
②$\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 7$，分母中含有未知数$x$和$y$，是分式方程。
③$\frac{1}{x}$，它只是一个分式，不是方程，所以不是分式方程。
④$\frac{x}{x + y} = \frac{1}{5}$，分母中含有未知数$x$和$y$，是分式方程。
⑤$\frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x}$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
⑥$\frac{x^2 + 1}{\pi} = 2$，虽然式子中有分母$\pi$，但$\pi$是常数，不是未知数，所以不是分式方程。
⑦$2x + \frac{x - 1}{5} = 10$，分母中不含有未知数，所以不是分式方程。
⑧$\frac{2x + 1}{x} + 3x = 1$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
综上，是分式方程的是②④⑤⑧。
①$\frac{x - 2}{2} = \frac{x}{3}$，分母中不含有未知数，所以不是分式方程。
②$\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 7$，分母中含有未知数$x$和$y$，是分式方程。
③$\frac{1}{x}$，它只是一个分式，不是方程，所以不是分式方程。
④$\frac{x}{x + y} = \frac{1}{5}$，分母中含有未知数$x$和$y$，是分式方程。
⑤$\frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x}$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
⑥$\frac{x^2 + 1}{\pi} = 2$，虽然式子中有分母$\pi$，但$\pi$是常数，不是未知数，所以不是分式方程。
⑦$2x + \frac{x - 1}{5} = 10$，分母中不含有未知数，所以不是分式方程。
⑧$\frac{2x + 1}{x} + 3x = 1$，分母中含有未知数$x$，是分式方程。
综上，是分式方程的是②④⑤⑧。
3. 在解分式方程$\frac{2x}{4x^2 - 9} = \frac{2x - 3}{2x + 3}$时,第一步去分母,方程两边乘最简公分母,所乘的最简公分母正确的是().
A.$(4x^2 - 9)(2x + 3)$
B.$2x(2x - 3)$
C.$4x^2 - 9$
D.$2x(2x + 3)$
A.$(4x^2 - 9)(2x + 3)$
B.$2x(2x - 3)$
C.$4x^2 - 9$
D.$2x(2x + 3)$
答案
C
解析
分式方程为$\frac{2x}{4x^2 - 9} = \frac{2x - 3}{2x + 3}$，
分母分别为$4x^2 - 9$和$2x + 3$，
因$4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)$，
故最简公分母为$4x^2 - 9$（或等价形式$(2x + 3)(2x - 3)$）。
4. 将方程$\frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{2x}{1 - x}$去分母,方程两边乘$(x - 1)$后的式子为().
A.$1 - 1 = -2x$
B.$x - 1 - 1 = -2x$
C.$1 - (x - 1) = 2x$
D.$1 - (x - 1) = -2x$
A.$1 - 1 = -2x$
B.$x - 1 - 1 = -2x$
C.$1 - (x - 1) = 2x$
D.$1 - (x - 1) = -2x$
答案
D
解析
方程两边同乘$(x - 1)$，$\frac{1}{x - 1}$乘$(x - 1)$为$1$，$ -1× (x - 1)= - (x - 1)$，$\frac{2x}{1 - x}=\frac{2x}{-(x - 1)}$，乘$(x - 1)$为$-2x$。
方程$\frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{2x}{1 - x}$去分母得$1-(x - 1)=-2x$。
这里的选项与推导结果相对照。
方程$\frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{2x}{1 - x}$去分母得$1-(x - 1)=-2x$。
这里的选项与推导结果相对照。
