1. ($★$)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 1$,$AB = 2$,则下列结论正确的是【】
A.$\sin A= \frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\tan A= \frac{1}{2}$
C.$\cos B= \frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan B= \sqrt{3}$

D

在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$，
对于选项A：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$，
与选项A中的$\frac{\sqrt{3}}{2}$不符，所以A错误。
对于选项B：
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
与选项B中的$\frac{1}{2}$不符，所以B错误。
对于选项C：
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$，
与选项C中的$\frac{\sqrt{3}}{2}$不符，所以C错误。
对于选项D：
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$，
与选项D中的$\sqrt{3}$相符，所以D正确。

2. ($★$)当锐角$\alpha＞30^{\circ}$时,$\cos \alpha$的值【】
A.大于$\frac{1}{2}$
B.大于$0且小于\frac{1}{2}$
C.大于$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.大于$0且小于\frac{\sqrt{3}}{2}$

D

1. 已知锐角范围$0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ}$，当$\alpha = 30^{\circ}$时，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 余弦函数$y = \cos\alpha$在$0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ}$时，$y$随$\alpha$的增大而减小。
3. 因为$\alpha\gt30^{\circ}$，所以$\cos\alpha\lt\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又因为$\alpha$是锐角，$\cos\alpha\gt0$，即$0\lt\cos\alpha\lt\frac{\sqrt{3}}{2}$。

3. ($★★$)如图 28-1,已知直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}// l_{4}$,相邻两条平行直线间的距离都是$1$。如果正方形$ABCD$的四个顶点分别在四条直线上,那么$\sin \alpha =$。
]

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

设四条平行线为水平直线，方程分别为$l_1:y=0$，$l_2:y=1$，$l_3:y=2$，$l_4:y=3$。正方形$ABCD$顶点$A$在$l_1$，$D$在$l_2$，$B$在$l_3$，$C$在$l_4$。设$A(x_1,0)$，$D(x_2,1)$，$B(x_4,2)$，向量$\overrightarrow{AD}=(d,1)$，$\overrightarrow{AB}=(e,2)$。
因$AD\perp AB$，则$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=de+2=0$；$|AD|=|AB|$，则$d^2+1=e^2+4$。
联立解得$d=\pm2$，$e=\mp1$。$\tan\alpha=\frac{1}{|d|}=\frac{1}{2}$，故$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

4. ($★★$)如图 28-2,某市在建高铁的某段路基横断面为梯形$ABCD$,$DC// AB$,$BC长6$米,坡角$\beta为45^{\circ}$,$AD的坡角\alpha为30^{\circ}$,则$AD$长为米。(结果保留根号)
]

$6\sqrt{2}$

作$DE\perp AB$于点$E$, $CF\perp AB$于点$F$。
在$Rt \bigtriangleup BCF$中，由$\beta = 45^{\circ}$，$BC = 6$米，
根据$\sin \beta=\frac{CF}{BC}$，可得$CF = BC\cdot\sin45^{\circ}=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$米。
因为$DC// AB$，$DE\perp AB$, $CF\perp AB$，所以四边形$CDEF$是矩形，则$DE = CF = 3\sqrt{2}$米。
在$Rt\bigtriangleup ADE$中，$\alpha = 30^{\circ}$，根据$\sin\alpha=\frac{DE}{AD}$，可得$AD=\frac{DE}{\sin30^{\circ}}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}$米。

5. ($★★$)如图 28-3,轮船从$B处以50$海里/时的速度沿南偏东$30^{\circ}$方向匀速航行,在$B处观测灯塔A位于南偏东75^{\circ}$方向上,轮船航行半小时到达$C$处,在$C处观测灯塔A位于北偏东60^{\circ}$方向上,则$C处与灯塔A$的距离是【】

A.$25\sqrt{3}$海里
B.$25\sqrt{2}$海里
C.$50$海里
D.$25$海里

D

由题意，轮船速度为50海里/时，航行半小时，得$BC=50×0.5=25$海里。
在$B$处，轮船航行方向为南偏东$30°$，灯塔$A$在南偏东$75°$，故$\angle ABC=75°-30°=45°$。
在$C$处，灯塔$A$在北偏东$60°$，轮船航行方向为南偏东$30°$（即$C$处看$B$为北偏西$30°$），故$\angle ACB=30°+60°=90°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$\angle ABC=45°$，则$\angle BAC=45°$，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AC=BC=25$海里。

6. ($★★$)如图 28-4,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D为BC$上一点,$AB = 5$,$BD = 1$,$\tan B= \frac{3}{4}$。
(1)求$AD$的长；
(2)求$\sin \alpha$的值。
]

(1)$AD = 3\sqrt{2}$；
(2)$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{10}$。

(1) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90° $，$ \tan B = \frac{3}{4} $，
设 $ AC = 3x $，$ BC = 4x $，
由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
$5^2 = (3x)^2 + (4x)^2$，
$25 = 9x^2 + 16x^2$，
$25 = 25x^2$，
$x = 1$，
$AC = 3$，$ BC = 4 $，
$ D $ 为 $ BC $ 上一点，$ BD = 1 $，
$ DC = BC - BD = 4 - 1 = 3 $，
在 $ Rt \triangle ADC $ 中，
$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
(2) 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $，
在 $ Rt \triangle BDE $ 中，$ \tan B = \frac{3}{4} $，
设 $ DE = 3y $，$ BE = 4y $，
由勾股定理得：
$BD^2 = DE^2 + BE^2$，
$1^2 = (3y)^2 + (4y)^2$，
$1 = 9y^2 + 16y^2$，
$1 = 25y^2$，
$y = \frac{1}{5}$，
$DE = 3y = \frac{3}{5}$，
在 $ Rt \triangle ADE $ 中，
$\sin \alpha = \frac{DE}{AD} = \frac{\frac{3}{5}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$。
最终