19. (本小题满分 10 分)
已知：如图,$\triangle ABC的三个顶点都在\odot O$上,$AD是\triangle ABC$的高,$AE是\odot O$的直径。求证：$\angle 1= \angle 2$。

证明:连接BE,
∵AE是$\odot O$的直径,$\therefore \angle ABE=90^{\circ}$,$\therefore \angle 1+\angle E=90^{\circ}$.$\because AD\perp BC$,$\therefore \angle 2+\angle C=90^{\circ}$.又$\because \angle C=\angle E$,$\therefore \angle 1=\angle 2$.

证明:连接BE,
∵AE是$\odot O$的直径,$\therefore \angle ABE=90^{\circ}$,$\therefore \angle 1+\angle E=90^{\circ}$.$\because AD\perp BC$,$\therefore \angle 2+\angle C=90^{\circ}$.又$\because \angle C=\angle E$,$\therefore \angle 1=\angle 2$.

20. (本小题满分 10 分)
如图,$\odot O的直径AB和弦CD相交于点E$,$AE= 2$,$EB= 6$,$\angle DEB= 30^{\circ}$,求弦$CD$的长。

$2\sqrt{15}$

解：过点$O$作$OF \perp CD$于点$F$，连接$OD$。
$\because AE = 2$，$EB = 6$，$\therefore AB=AE + EB=8$，$\therefore OA=OB=OD=4$，$\therefore OE=OB - EB=4 - 6=-2$（此处应为$OE=OB - EB$错误，应为$OE=OB - EB$中$EB$是$E$到$B$的距离，$O$是$AB$中点，$AB=8$，所以$AO=OB=4$，$AE=2$，所以$OE=AO - AE=4 - 2=2$）。
$\because \angle DEB = 30^{\circ}$，$OF \perp CD$，$\therefore OF=OE \cdot \sin 30^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1$。
在$Rt\triangle ODF$中，$DF=\sqrt{OD^{2}-OF^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$。
$\because OF \perp CD$，$\therefore CD=2DF=2\sqrt{15}$。
答：弦$CD$的长为$2\sqrt{15}$。