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21. (本小题满分 12 分)
已知：如图,以平行四边形$ABCD的顶点A$为圆心,$AB$为半径作圆,交$AD$,$BC于点E$,$F$,延长$BA交\odot A于点G$。求证：$\overset{\frown}{GE}= \overset{\frown}{EF}$。
已知：如图,以平行四边形$ABCD的顶点A$为圆心,$AB$为半径作圆,交$AD$,$BC于点E$,$F$,延长$BA交\odot A于点G$。求证：$\overset{\frown}{GE}= \overset{\frown}{EF}$。
证明:连接AF,$\because AB=AF$,$\therefore \angle ABF=\angle AFB$.$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$\therefore \angle EAF=\angle AFB,\angle GAE=\angle ABF$,$\therefore \angle GAE=\angle EAF$,$\therefore \widehat{GE}=\widehat{EF}$.
答案
证明:连接AF,$\because AB=AF$,$\therefore \angle ABF=\angle AFB$.$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$\therefore \angle EAF=\angle AFB,\angle GAE=\angle ABF$,$\therefore \angle GAE=\angle EAF$,$\therefore \widehat{GE}=\widehat{EF}$.
解析
证明：连接$AF$，
$\because AB = AF$，
$\therefore \angle ABF=\angle AFB$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore \angle EAF=\angle AFB$，$\angle GAE=\angle ABF$，
$\therefore \angle GAE=\angle EAF$，
$\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
$\because AB = AF$，
$\therefore \angle ABF=\angle AFB$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore \angle EAF=\angle AFB$，$\angle GAE=\angle ABF$，
$\therefore \angle GAE=\angle EAF$，
$\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
22. (本小题满分 12 分)
如图,$A$,$P$,$B$,$C是半径为8的\odot O$上的四点,且满足$\angle BAC= \angle APC= 60^{\circ}$。
(1)求证：$\triangle ABC$是等边三角形。
(2)求圆心$O到BC的距离OD$。
(1)证明:$\because \angle BAC=\angle APC=60^{\circ}$,$\angle APC=\angle ABC$,$\therefore \angle ABC=60^{\circ}$,$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$,$\therefore \triangle ABC$是等边三角形.
(2)解:连接OB,$\because \triangle ABC$为等边三角形,$\odot O$为其外接圆,$\therefore$点O为$\triangle ABC$的外心,$\therefore BO$平分$\angle ABC$,$\therefore \angle OBD=30^{\circ}$,$\therefore OD=8\cdot \sin 30^{\circ}=8× \frac{1}{2}=4$.
如图,$A$,$P$,$B$,$C是半径为8的\odot O$上的四点,且满足$\angle BAC= \angle APC= 60^{\circ}$。
(1)求证：$\triangle ABC$是等边三角形。
(2)求圆心$O到BC的距离OD$。
(1)证明:$\because \angle BAC=\angle APC=60^{\circ}$,$\angle APC=\angle ABC$,$\therefore \angle ABC=60^{\circ}$,$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$,$\therefore \triangle ABC$是等边三角形.
(2)解:连接OB,$\because \triangle ABC$为等边三角形,$\odot O$为其外接圆,$\therefore$点O为$\triangle ABC$的外心,$\therefore BO$平分$\angle ABC$,$\therefore \angle OBD=30^{\circ}$,$\therefore OD=8\cdot \sin 30^{\circ}=8× \frac{1}{2}=4$.
答案
(1)证明:$\because \angle BAC=\angle APC=60^{\circ}$,$\angle APC=\angle ABC$,$\therefore \angle ABC=60^{\circ}$,$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$,$\therefore \triangle ABC$是等边三角形.
(2)解:连接OB,$\because \triangle ABC$为等边三角形,$\odot O$为其外接圆,$\therefore$点O为$\triangle ABC$的外心,$\therefore BO$平分$\angle ABC$,$\therefore \angle OBD=30^{\circ}$,$\therefore OD=8\cdot \sin 30^{\circ}=8× \frac{1}{2}=4$.
