8. 如图所示,已知 $ \angle AOB $ 与 $ \angle BOC $ 互为补角,$ OD $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线,$ OE $ 在 $ \angle BOC $ 内,$ \angle BOE = \frac{1}{2} \angle EOC $,$ \angle DOE = 72^{\circ} $,求 $ \angle EOC $ 的度数.

解：设$\angle BOE = x$，因为$\angle BOE=\frac{1}{2}\angle EOC$，所以$\angle EOC = 2x$，则$\angle BOC=\angle BOE+\angle EOC = 3x$。
因为$\angle AOB$与$\angle BOC$互为补角，所以$\angle AOB = 180^{\circ}-\angle BOC = 180^{\circ}- 3x$。
又因为$OD$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-3x)=90^{\circ}-\frac{3}{2}x$。
已知$\angle DOE = 72^{\circ}$，且$\angle DOE=\angle BOD+\angle BOE$，即$72^{\circ}=90^{\circ}-\frac{3}{2}x+x$。
$72^{\circ}=90^{\circ}-\frac{1}{2}x$，
$\frac{1}{2}x = 90^{\circ}-72^{\circ}$，
$\frac{1}{2}x = 18^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle EOC = 2x = 72^{\circ}$。
综上，$\angle EOC$的度数为$72^{\circ}$。

9. 如图所示,$ \angle AOE $ 是平角,$ OD $ 是 $ \angle COE $ 的平分线,$ OB $ 是 $ \angle AOC $ 的平分线.
(1) 求 $ \angle BOD $ 的度数；
(2) 当 $ \angle COD : \angle BOC = 2 : 3 $ 时,求 $ \angle COD $,$ \angle BOC $ 的度数.

1. （1）
解：
因为$OD$是$\angle COE$的平分线，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle COE$；
因为$OB$是$\angle AOC$的平分线，所以$\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOC$。
又因为$\angle AOE$是平角，即$\angle AOE=\angle AOC+\angle COE = 180^{\circ}$。
而$\angle BOD=\angle BOC+\angle COD$，将$\angle COD=\frac{1}{2}\angle COE$，$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOC$代入可得：
$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle AOC+\frac{1}{2}\angle COE=\frac{1}{2}(\angle AOC + \angle COE)$。
把$\angle AOC+\angle COE = 180^{\circ}$代入上式，得$\angle BOD=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
2. （2）
解：
设$\angle COD = 2x$，因为$\angle COD:\angle BOC = 2:3$，所以$\angle BOC = 3x$。
由（1）知$\angle BOD=\angle BOC+\angle COD = 90^{\circ}$。
即$2x + 3x=90^{\circ}$。
合并同类项得$5x = 90^{\circ}$，解得$x = 18^{\circ}$。
所以$\angle COD=2x = 2×18^{\circ}=36^{\circ}$，$\angle BOC=3x = 3×18^{\circ}=54^{\circ}$。
综上，（1）$\angle BOD = 90^{\circ}$；（2）$\angle COD = 36^{\circ}$，$\angle BOC = 54^{\circ}$。