1. 如图所示,将一副三角板按不同的方式摆放,能使 $ \angle \alpha $ 和 $ \angle \beta $ 互余的是().

A

在选项A中，$\angle \alpha$和$\angle \beta$所在的三角板互相垂直，
根据互余的定义，两个角的和为$90°$时互余，
因此，$\angle \alpha + \angle \beta = 90°$，
即$\angle \alpha$和$\angle \beta$互余。
在选项B、C、D中，$\angle \alpha$和$\angle \beta$的组合方式并不能保证它们的和为$90°$。
故答案为：A。

2. 如果 $ \angle \alpha $ 和 $ \angle \beta $ 互为余角,$ \angle \alpha $ 与 $ \gamma $ 互为补角,$ \angle \beta $ 和 $ \angle \gamma $ 的和等于周角的 $ \frac{1}{3} $,那么此三个角分别为().
A.$ 75^{\circ} $,$ 15^{\circ} $,$ 105^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $,$ 30^{\circ} $,$ 120^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $,$ 30^{\circ} $,$ 130^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $,$ 20^{\circ} $,$ 110^{\circ} $

A

设$\angle \alpha =x$，
因为$\angle \alpha$和$\angle \beta$互为余角，所以$\angle \beta = 90^{\circ}-x$。
因为$\angle \alpha$与$\angle \gamma$互为补角，所以$\angle \gamma = 180^{\circ}-x$。
因为$\angle \beta$和$\angle \gamma$的和等于周角（$360^{\circ}$）的$\frac{1}{3}$，
所以$(90 - x)+(180 - x)=\frac{1}{3}×360^{\circ}$，
$270 - 2x = 120$，
$2x = 150$，
$x = 75^{\circ}$。
则$\angle \beta = 90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$，$\angle \gamma = 180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$。
所以三个角分别为$75^{\circ}$，$15^{\circ}$，$105^{\circ}$。
答案：A。

3. 如果 $ \angle \alpha $ 既有余角,也有补角,那么 $ \angle \alpha $ 的取值范围是().
A.$ 0^{\circ} ＜ \angle \alpha ＜ 90^{\circ} $
B.$ \angle \alpha = 90^{\circ} $
C.$ 90^{\circ} ＜ \angle \alpha ＜ 180^{\circ} $
D.$ \angle \alpha = 180^{\circ} $

A

由余角定义，两角之和为 $90^{\circ}$，则 $\angle \alpha$ 必须小于 $90^{\circ}$ 才能与另一个角相加等于 $90^{\circ}$。
由补角定义，两角之和为 $180^{\circ}$，则 $\angle \alpha$ 必须小于 $180^{\circ}$ 才能与另一个角相加等于 $180^{\circ}$。
综合以上两点，得到 $\angle \alpha$ 的取值范围为 $0^{\circ} ＜\angle \alpha ＜ 90^{\circ}$。
故答案为A。

4. 如果 $ \angle \alpha = 47^{\circ}28' $,$ \angle \alpha $ 的余角 $ \angle \beta = $,$ \angle \alpha $ 的补角 $ \angle \gamma = $.

42°32′ 132°32′

根据余角和补角的定义：
若两角之和为$90^{\circ}$，则这两角互为余角，
所以$\angle \beta = 90^{\circ} - \angle \alpha$
$= 90^{\circ} - 47^{\circ}28'$
$= 42^{\circ}32'$
若两角之和为$180^{\circ}$，则这两角互为补角，
所以$\angle \gamma = 180^{\circ} - \angle \alpha$
$= 180^{\circ} - 47^{\circ}28'$
$= 132^{\circ}32'$
故答案为：$42^{\circ}32'$；$132^{\circ}32'$。

5. 一个角的补角加上 $ 14^{\circ} $,等于这个角的余角的 $ 5 $ 倍,则这个角的度数是.

64°

设这个角的度数为$x$，
则它的补角为$(180^{\circ} - x)$，余角为$(90^{\circ} - x)$，
根据题意，得$180^{\circ} - x + 14^{\circ} = 5(90^{\circ} - x)$，
$194^{\circ} - x =450^{\circ}-5x$，
$5x-x=450^{\circ}-194^{\circ}$，
$4x = 256^{\circ}$，
$x = 64^{\circ}$，
故答案为：$64^{\circ}$。

6. 如果 $ \angle A + \angle B = 90^{\circ} $,$ \angle B + \angle C = 90^{\circ} $,那么 $ \angle A $$ \angle C $,理由是.

= 同角的余角相等

$\angle A = \angle C$；
理由：同角的余角相等。

7. 如图所示,已知 $ \angle 1 $,$ \angle 2 $,求作一个角,使它等于 $ 2 \angle 1 - \angle 2 $.

解：∠BOC为所求。