【例1】小飞研究二次函数 $ y = -(x - m)^2 - m + 1 $($ m $ 为常数)的性质时得出如下结论：
① 这个函数图象的顶点始终在直线 $ y = -x + 1 $ 上；② 存在一个 $ m $ 值,使得函数图象的顶点与 $ x $ 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③ 点 $ A(x_1, y_1) $ 与点 $ B(x_2, y_2) $ 在函数图象上,若 $ x_1 ＜ x_2 $,$ x_1 + x_2 ＞ 2m $,则 $ y_1 ＜ y_2 $；④ 当 $ -1 ＜ x ＜ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ m $ 的取值范围为 $ m \geq 2 $。其中错误结论的序号是()
A.①
B.②
C.③
D.④
解题关键 根据函数解析式,结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性判断即可。

C

①顶点坐标为$(m,-m+1)$，代入$y=-x+1$，$-m+1=-m+1$，正确。
②令$y=0$，$-(x-m)^2 -m +1=0$，$(x-m)^2=1 -m$，$x=m\pm\sqrt{1 -m}$，顶点到$x$轴距离为$| -m +1|$，两交点距离为$2\sqrt{1 -m}$，等腰直角三角形中$| -m +1|=\sqrt{1 -m}$，解得$m=0$，正确。
③$x_1 + x_2＞2m$，$\frac{x_1 + x_2}{2}＞m$，抛物线开口向下，若$x_1＜m＜x_2$，则$y_1$与$y_2$大小不确定，错误。
④对称轴$x=m$，开口向下，$-1＜x＜2$时$y$增大，则$m\geq2$，正确。
错误结论序号是③。
C

【例2】将抛物线 $ y = 2x^2 $ 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线为()
A.$ y = 2(x + 2)^2 + 3 $
B.$ y = 2(x - 2)^2 + 3 $
C.$ y = 2(x - 2)^2 - 3 $
D.$ y = 2(x + 2)^2 - 3 $
解题关键 根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可。

B

抛物线平移遵循“上加下减、左加右减”原则。
原抛物线为$y = 2x^2$。
向上平移3个单位长度，得$y = 2x^2 + 3$。
再向右平移2个单位长度，得$y = 2(x - 2)^2 + 3$。
B