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1. 对于函数 $ y = -2(x - 3)^2 $,下列说法不正确的是 (
A.开口向下
B.对称轴是 $ x = 3 $
C.最大值为 $ 0 $
D.与 $ y $ 轴不相交
D
)A.开口向下
B.对称轴是 $ x = 3 $
C.最大值为 $ 0 $
D.与 $ y $ 轴不相交
答案
D
解析
对于函数$y = -2(x - 3)^2$：
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，所以开口向下，A正确；
对称轴为直线$x = 3$，B正确；
函数有最大值，当$x = 3$时，$y_{max} = 0$，C正确；
当$x = 0$时，$y = -2(0 - 3)^2 = -18$，与$y$轴交于点$(0, -18)$，D错误。
D
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，所以开口向下，A正确；
对称轴为直线$x = 3$，B正确；
函数有最大值，当$x = 3$时，$y_{max} = 0$，C正确；
当$x = 0$时，$y = -2(0 - 3)^2 = -18$，与$y$轴交于点$(0, -18)$，D错误。
D
2. 抛物线 $ y = -3(x + 1)^2 $ 不经过的象限是 (
A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第二、三象限
A
)A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第二、三象限
答案
A
解析
抛物线$y = -3(x + 1)^2$，$a=-3＜0$，开口向下，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$。当$x=0$时，$y=-3(0 + 1)^2=-3$，即抛物线过点$(0,-3)$。由抛物线性质可知，该抛物线不经过第一、二象限。
A
A
3. 如果将抛物线 $ y = x^2 $ 向右平移 $ 1 $ 个单位长度,那么所得的抛物线的解析式是 (
A.$ y = x^2 - 1 $
B.$ y = x^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 $
D.$ y = (x + 1)^2 $
C
)A.$ y = x^2 - 1 $
B.$ y = x^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 $
D.$ y = (x + 1)^2 $
答案
C
解析
抛物线平移规律：左加右减，上加下减。将抛物线$y = x^2$向右平移1个单位长度，根据“右减”原则，自变量$x$变为$x - 1$，所得抛物线的解析式为$y=(x - 1)^2$。
C
C
4. 平行于 $ x $ 轴的直线与抛物线 $ y = a(x - 2)^2 $ 的一个交点坐标为 $ (-1,2) $,则另一个交点坐标为 (
A.$ (1,2) $
B.$ (1,-2) $
C.$ (5,2) $
D.$ (-1,4) $
C
)A.$ (1,2) $
B.$ (1,-2) $
C.$ (5,2) $
D.$ (-1,4) $
答案
C
解析
因为直线平行于$x$轴且过点$(-1,2)$，所以该直线方程为$y = 2$。
将$(-1,2)$代入抛物线$y = a(x - 2)^2$，得$2 = a(-1 - 2)^2$，即$2 = 9a$，解得$a=\dfrac{2}{9}$，所以抛物线方程为$y=\dfrac{2}{9}(x - 2)^2$。
联立$\begin{cases}y = 2 \\ y=\dfrac{2}{9}(x - 2)^2\end{cases}$，得$\dfrac{2}{9}(x - 2)^2=2$，即$(x - 2)^2=9$，解得$x - 2=\pm3$，$x_1=-1$，$x_2=5$。
所以另一个交点坐标为$(5,2)$。
C
将$(-1,2)$代入抛物线$y = a(x - 2)^2$，得$2 = a(-1 - 2)^2$，即$2 = 9a$，解得$a=\dfrac{2}{9}$，所以抛物线方程为$y=\dfrac{2}{9}(x - 2)^2$。
联立$\begin{cases}y = 2 \\ y=\dfrac{2}{9}(x - 2)^2\end{cases}$，得$\dfrac{2}{9}(x - 2)^2=2$，即$(x - 2)^2=9$，解得$x - 2=\pm3$，$x_1=-1$，$x_2=5$。
所以另一个交点坐标为$(5,2)$。
C
5. 把抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 沿 $ x $ 轴向右平移 $ 3 $ 个单位长度得到的新的抛物线解析式为 $ y = -5(x - 5)^2 $,则 $ a = $
-5
,$ h = $2
。答案
-5 2
解析
抛物线$y = a(x - h)^2$沿$x$轴向右平移$3$个单位长度，根据抛物线平移规律“左加右减”，得到的新抛物线解析式为$y = a(x - h - 3)^2$。已知新抛物线解析式为$y = -5(x - 5)^2$，所以$a = -5$，且$h + 3 = 5$，解得$h = 2$。
$a = -5$，$h = 2$
$a = -5$，$h = 2$
6. 已知函数 $ y = -(x - 1)^2 $ 图象上两点 $ A(2,y_1) $,$ B(a,y_2) $,其中 $ a ＞ 2 $,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是 $ y_1 $
＞
$ y_2 $。(填“$＜$”“$＞$”或“$=$”)答案
＞
解析
当$x=2$时，$y_1=-(2 - 1)^2=-1$。
函数$y=-(x - 1)^2$的对称轴为直线$x=1$，且抛物线开口向下，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
因为$a＞2＞1$，所以$y_1＞y_2$。
＞
函数$y=-(x - 1)^2$的对称轴为直线$x=1$，且抛物线开口向下，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
因为$a＞2＞1$，所以$y_1＞y_2$。
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7. 关于二次函数 $ y = 3x^2 + 1 $ 和 $ y = 3(x - 1)^2 $,以下说法正确的有 (
① 它们的图象都开口向上；② 它们的对称轴都是 $ y $ 轴,顶点坐标都是原点 $ (0,0) $；③ 当 $ x ＞ 0 $ 时,它们的函数值都是随着 $ x $ 的增大而增大；④ 它们的开口大小是一样的。
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
①④
)① 它们的图象都开口向上；② 它们的对称轴都是 $ y $ 轴,顶点坐标都是原点 $ (0,0) $；③ 当 $ x ＞ 0 $ 时,它们的函数值都是随着 $ x $ 的增大而增大；④ 它们的开口大小是一样的。
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
答案
(1)抛物线的开口方向向上,顶点坐标为$(1,0)$,对称轴为直线$x=1$。
(2)画图略,将二次函数$y=x^{2}$的图象向右平移1个单位长度,可得到$y=(x-1)^{2}$的图象。
(3)当$0\leqslant x\leqslant 3$时,$y$的取值范围是$0\leqslant y\leqslant 4$。
8. 已知二次函数 $ y = (x - 1)^2 $。
(1) 写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2) 画出此函数的图象,并说出此函数图象与 $ y = x^2 $ 的图象的关系；
(3) 根据图象,指出 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时,$ y $ 的取值范围。
(1) 写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2) 画出此函数的图象,并说出此函数图象与 $ y = x^2 $ 的图象的关系；
(3) 根据图象,指出 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时,$ y $ 的取值范围。
答案
(1) 抛物线开口方向：向上；
顶点坐标：$(1, 0)$；
对称轴：直线 $x = 1$。
(2) 函数图象由 $y = x^2$ 的图象向右平移 $1$ 个单位长度得到。
（图象略，描述已给出）
(3) 当 $0 \leq x \leq 3$ 时，$y$ 的取值范围为 $0 \leq y \leq 4$。
顶点坐标：$(1, 0)$；
对称轴：直线 $x = 1$。
(2) 函数图象由 $y = x^2$ 的图象向右平移 $1$ 个单位长度得到。
（图象略，描述已给出）
(3) 当 $0 \leq x \leq 3$ 时，$y$ 的取值范围为 $0 \leq y \leq 4$。
9. 如图 22 - 1 - 4 - 1,坐标平面上有一顶点为 $ A $ 的抛物线,此抛物线与直线 $ y = 2 $ 交于 $ B $,$ C $ 两点,$ \triangle ABC $ 为等边三角形。若 $ A $ 点的坐标为 $ (-3,0) $,则此抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标为 (
A.$ \left(0,\frac{9}{2}\right) $
B.$ \left(0,\frac{27}{2}\right) $
C.$ (0,9) $
D.$ (0,19) $
B
)A.$ \left(0,\frac{9}{2}\right) $
B.$ \left(0,\frac{27}{2}\right) $
C.$ (0,9) $
D.$ (0,19) $
答案
B
