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24. 已知关于$x的分式方程\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 + mx}{2 - x}$.
(1)若$m = 1$,求该分式方程的解;
(2)若该分式方程的解为正数,求$m$的取值范围;
(3)若该分式方程的解为正整数,求整数$m$的值.
(1)若$m = 1$,求该分式方程的解;
(2)若该分式方程的解为正数,求$m$的取值范围;
(3)若该分式方程的解为正整数,求整数$m$的值.
答案
解:$\frac{1}{x-2}+3=\frac{1+mx}{2-x}$,方程两边同乘$(x-2)$,得$1+3(x-2)=-1-mx$,去括号,得$1+3x-6=-1-mx$,移项、合并同类项,得$(m+3)x=4.$
(1)当$m=1$时,$(1+3)x=4$,解得$x=1$.检验:当$x=1$时,$x-2≠0$.所以,该分式方程的解为$x=1.$
(2)因为该分式方程的解为正数,所以$x＞0$,且$x≠2$,所以$\frac{4}{m+3}＞0$,且$\frac{4}{m+3}≠2$,所以$m＞-3$,且$m≠-1.$
(3)因为该分式方程的解为正整数,且$x=\frac{4}{m+3}$,所以$m+3=1$或$m+3=2$或$m+3=4$,所以$m=-2$或$m=-1$或$m=1$.因为当$m=-1$时,该分式方程无意义,所以整数$m$的值为$-2$或$1.$
(1)当$m=1$时,$(1+3)x=4$,解得$x=1$.检验:当$x=1$时,$x-2≠0$.所以,该分式方程的解为$x=1.$
(2)因为该分式方程的解为正数,所以$x＞0$,且$x≠2$,所以$\frac{4}{m+3}＞0$,且$\frac{4}{m+3}≠2$,所以$m＞-3$,且$m≠-1.$
(3)因为该分式方程的解为正整数,且$x=\frac{4}{m+3}$,所以$m+3=1$或$m+3=2$或$m+3=4$,所以$m=-2$或$m=-1$或$m=1$.因为当$m=-1$时,该分式方程无意义,所以整数$m$的值为$-2$或$1.$
25. 阅读理解:
定义:若分式$A和分式B满足A - B = n$($n$为正整数),则称$A是B$的“$n$差分式”.
例如:$\frac{3x}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} = 3$,我们称$\frac{3x}{x - 1}是\frac{3}{x - 1}$的“3差分式”.
解答下列问题:
(1)分式$\frac{1}{1 - x}是分式\frac{x}{1 - x}$的“
(2)分式$A = \frac{C}{9 - x^{2}}是分式B = \frac{2x}{3 - x}$的“2差分式”.
①$C = $
②若$A$的值为正整数,$x$为正整数,求$A$的值.
(3)已知$xy = 1$,分式$\frac{x - 3y}{y}是-\frac{y + x}{x}$的“4差分式”(其中$x$,$y$为正数),求$x - y$的值.
定义:若分式$A和分式B满足A - B = n$($n$为正整数),则称$A是B$的“$n$差分式”.
例如:$\frac{3x}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} = 3$,我们称$\frac{3x}{x - 1}是\frac{3}{x - 1}$的“3差分式”.
解答下列问题:
(1)分式$\frac{1}{1 - x}是分式\frac{x}{1 - x}$的“
1
差分式”.(2)分式$A = \frac{C}{9 - x^{2}}是分式B = \frac{2x}{3 - x}$的“2差分式”.
①$C = $
18+6x
(含$x$的代数式表示);②若$A$的值为正整数,$x$为正整数,求$A$的值.
因为$A=\frac{18+6x}{9-x^{2}}=\frac{6(3+x)}{(3+x)(3-x)}=\frac{6}{3-x}$,$x$为正整数,所以当$3-x=6$时,$x=-3$,不符合题意(舍去);当$3-x=3$时,$x=0$,不符合题意(舍去);当$3-x=2$时,$x=1$,则$A=3$;当$3-x=1$时,$x=2$,则$A=6$.综上所述,$A$的值为3或6.
(3)已知$xy = 1$,分式$\frac{x - 3y}{y}是-\frac{y + x}{x}$的“4差分式”(其中$x$,$y$为正数),求$x - y$的值.
$\frac{x-3y}{y}-(-\frac{y+x}{x})=4$,$\frac{x-3y}{y}+\frac{y+x}{x}=4$,$\frac{x^{2}-3xy}{xy}+\frac{y^{2}+xy}{xy}=4$,$\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{xy}=4$,$\frac{(x-y)^{2}}{xy}=4$.因为$xy=1$,所以$(x-y)^{2}=4$.因为$x,y$为正数,所以$x-y=\pm 2$,所以$x-y$的值为$\pm 2.$
答案
解:
(1)$\frac{1}{1-x}-\frac{x}{1-x}=\frac{1-x}{1-x}=1$.故答案为1.
(2)①因为$A=\frac{C}{9-x^{2}},B=\frac{2x}{3-x}$,所以$A-B=\frac{C}{(3+x)(3-x)}-\frac{2x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=\frac{C-2x^{2}-6x}{(3+x)(3-x)}=2$,所以$C-2x^{2}-6x=18-2x^{2}$,解得$C=18+6x$.故答案为$18+6x$.②因为$A=\frac{18+6x}{9-x^{2}}=\frac{6(3+x)}{(3+x)(3-x)}=\frac{6}{3-x}$,$x$为正整数,所以当$3-x=6$时,$x=-3$,不符合题意(舍去);当$3-x=3$时,$x=0$,不符合题意(舍去);当$3-x=2$时,$x=1$,则$A=3$;当$3-x=1$时,$x=2$,则$A=6$.综上所述,$A$的值为3或6.
(3)$\frac{x-3y}{y}-(-\frac{y+x}{x})=4$,$\frac{x-3y}{y}+\frac{y+x}{x}=4$,$\frac{x^{2}-3xy}{xy}+\frac{y^{2}+xy}{xy}=4$,$\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{xy}=4$,$\frac{(x-y)^{2}}{xy}=4$.因为$xy=1$,所以$(x-y)^{2}=4$.因为$x,y$为正数,所以$x-y=\pm 2$,所以$x-y$的值为$\pm 2.$
(1)$\frac{1}{1-x}-\frac{x}{1-x}=\frac{1-x}{1-x}=1$.故答案为1.
(2)①因为$A=\frac{C}{9-x^{2}},B=\frac{2x}{3-x}$,所以$A-B=\frac{C}{(3+x)(3-x)}-\frac{2x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=\frac{C-2x^{2}-6x}{(3+x)(3-x)}=2$,所以$C-2x^{2}-6x=18-2x^{2}$,解得$C=18+6x$.故答案为$18+6x$.②因为$A=\frac{18+6x}{9-x^{2}}=\frac{6(3+x)}{(3+x)(3-x)}=\frac{6}{3-x}$,$x$为正整数,所以当$3-x=6$时,$x=-3$,不符合题意(舍去);当$3-x=3$时,$x=0$,不符合题意(舍去);当$3-x=2$时,$x=1$,则$A=3$;当$3-x=1$时,$x=2$,则$A=6$.综上所述,$A$的值为3或6.
(3)$\frac{x-3y}{y}-(-\frac{y+x}{x})=4$,$\frac{x-3y}{y}+\frac{y+x}{x}=4$,$\frac{x^{2}-3xy}{xy}+\frac{y^{2}+xy}{xy}=4$,$\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{xy}=4$,$\frac{(x-y)^{2}}{xy}=4$.因为$xy=1$,所以$(x-y)^{2}=4$.因为$x,y$为正数,所以$x-y=\pm 2$,所以$x-y$的值为$\pm 2.$
