1. 长江流域是中华文明的发源地之一,曾孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习,则选中“荆楚文化”的概率是( )

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$

A

共有藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化四种区域文化，从中随机选一种，选中“荆楚文化”的概率是$\dfrac{1}{4}$。
A

2. 将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中,则恰有一个篮子为空的概率为( )

A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{6}$

A

每个球有3种放法，总放法数：$3×3=9$。
恰有一个篮子为空的情况：
1. 选空篮子：3种；
2. 两球放入剩余2个篮子，每个篮子至少1球，有2种放法（篮球在第一个非空篮、足球在第二个非空篮；反之）；
3. 共$3×2=6$种。
概率：$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
A

3. 从正五边形的五个顶点中任取四个顶点连成四边形,对于事件$M$：“这个四边形是等腰梯形”,下列判断正确的是( )

A.事件$M$是不可能事件
B.事件$M$是必然事件
C.事件$M发生的概率为\dfrac{1}{5}$
D.事件$M发生的概率为\dfrac{2}{5}$

B

从正五边形的五个顶点中任取四个顶点连成四边形，共有$C_{5}^{4}=5$种取法。正五边形任意四个顶点连成的四边形，其两组对边中必有一组平行且不相等，另一组不平行但相等，即必为等腰梯形。所以事件$M$是必然事件。
B

4. 如图1,平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分),小明想了解该图案的面积是多少,他采取了以下办法：用一个长为$10\ m$、宽为$6\ m$的长方形将不规则图案围起来,然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果),他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图,由此可估计不规则图案的面积大约是( )

A.$19\ m^2$
B.$21\ m^2$
C.$23\ m^2$
D.$25\ m^2$

B

长方形面积：$10×6 = 60\ m^2$。
由图2知，频率稳定在$0.35$左右，故概率约为$0.35$。
设不规则图案面积为$S$，则$\frac{S}{60}=0.35$，解得$S = 60×0.35=21\ m^2$。
答案：B

5. 如图,正方形$ABCD内接于\odot O$,$\odot O的直径为\sqrt{2}\ dm$,若在这个圆面上随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形$ABCD$内的概率是( )

A.$\dfrac{2}{\pi}$
B.$\dfrac{\pi}{2}$
C.$\dfrac{1}{2\pi}$
D.$\sqrt{2}\pi$

A

解：
∵$\odot O$的直径为$\sqrt{2}\ dm$，
∴半径$r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ dm$，
$\odot O$的面积$S_{圆}=\pi r^2=\pi \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{\pi}{2}\ dm^2$。
∵正方形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴正方形的对角线等于$\odot O$的直径，即对角线长为$\sqrt{2}\ dm$。
设正方形边长为$a$，则$a\sqrt{2}=\sqrt{2}$，解得$a=1\ dm$，
正方形$ABCD$的面积$S_{正方形}=a^2=1\ dm^2$。
豆子落在正方形内的概率$P=\dfrac{S_{正方形}}{S_{圆}}=\dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{2}{\pi}$。
答案：A

6. 在围棋盒中有$x颗白色棋子和y$颗黑色棋子,从盒中随机取出一颗棋子,取得白色棋子的概率是$\dfrac{2}{5}$.如果再往盒中放进$6$颗黑色棋子,取得白色棋子的概率是$\dfrac{1}{4}$.则盒中有白色棋子( )

A.$8$颗
B.$6$颗
C.$4$颗
D.$2$颗

C

由题意可得：
$\begin{cases}\dfrac{x}{x + y} = \dfrac{2}{5} \\\dfrac{x}{x + y + 6} = \dfrac{1}{4}\end{cases}$
由第一个方程得：$5x = 2(x + y)$，化简得$3x - 2y = 0$，即$y = \dfrac{3}{2}x$。
将$y = \dfrac{3}{2}x$代入第二个方程：$\dfrac{x}{x + \dfrac{3}{2}x + 6} = \dfrac{1}{4}$，
化简分母：$x + \dfrac{3}{2}x + 6 = \dfrac{5}{2}x + 6$，
方程变为：$4x = \dfrac{5}{2}x + 6$，
移项：$4x - \dfrac{5}{2}x = 6$，$\dfrac{3}{2}x = 6$，
解得$x = 4$。
C

7. 从$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2这5$个数中任取一个数,作为关于$x的一元二次方程x^2 - x + k = 0的k$值,则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是______.

$\frac{3}{5}$

要使方程$x^2 - x + k = 0$有两个不相等的实数根，需判别式$\Delta＞0$。
$\Delta=(-1)^2 - 4×1× k=1 - 4k$，由$1 - 4k＞0$得$k＜\frac{1}{4}$。
在$-2,-1,0,1,2$中，满足$k＜\frac{1}{4}$的有$-2,-1,0$，共3个。
总共有5个数，所以概率为$\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$