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5. 下列条件能判定 $AD // BC$ 的是(
A.$∠1 = ∠3$
B.$∠2 = ∠4$
C.$∠1 + ∠4 = 180^{\circ}$
D.$∠3 + ∠4 = 180^{\circ}$
D
)。A.$∠1 = ∠3$
B.$∠2 = ∠4$
C.$∠1 + ∠4 = 180^{\circ}$
D.$∠3 + ∠4 = 180^{\circ}$
答案
D
解析
要判定 $AD // BC$，需根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来判断。
选项A：$\angle 1$与$\angle 3$是内错角，若$\angle 1 = \angle 3$，则$AB // CD$，不符合题意。
选项B：$\angle 2$与$\angle 4$无直接位置关系，无法判定$AD // BC$，不符合题意。
选项C：$\angle 1$与$\angle 4$无直接位置关系，无法判定$AD // BC$，不符合题意。
选项D：$\angle 3$与$\angle 4$是同旁内角，若$\angle 3 + \angle 4 = 180°$，则$AD // BC$（同旁内角互补，两直线平行），符合题意。
答案：D
选项A：$\angle 1$与$\angle 3$是内错角，若$\angle 1 = \angle 3$，则$AB // CD$，不符合题意。
选项B：$\angle 2$与$\angle 4$无直接位置关系，无法判定$AD // BC$，不符合题意。
选项C：$\angle 1$与$\angle 4$无直接位置关系，无法判定$AD // BC$，不符合题意。
选项D：$\angle 3$与$\angle 4$是同旁内角，若$\angle 3 + \angle 4 = 180°$，则$AD // BC$（同旁内角互补，两直线平行），符合题意。
答案：D
6. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,在 A,B,C 三处经过三次拐弯,此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即 $AE // CD$)。若 $∠A = 98^{\circ}$,$∠B = 162^{\circ}$,则 $∠C$ 的度数是______。
116°
答案
116°
解析
解：过点B作BF//AE。
∵AE//CD，
∴BF//CD。
∵BF//AE，∠A=98°，
∴∠ABF=180°-∠A=180°-98°=82°。
∵∠ABC=162°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=162°-82°=80°。
∵BF//CD，
∴∠C=180°-∠FBC=180°-80°=100°。
100°
∵AE//CD，
∴BF//CD。
∵BF//AE，∠A=98°，
∴∠ABF=180°-∠A=180°-98°=82°。
∵∠ABC=162°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=162°-82°=80°。
∵BF//CD，
∴∠C=180°-∠FBC=180°-80°=100°。
100°
7. 如图,$∠HCO = ∠EBC$,$∠BHC + ∠BEF = 180^{\circ}$。
(1)求证：$EF // BH$；
(2)若 $BH$ 平分 $∠EBO$,$EF ⊥ AO$ 于点 $F$,$∠HCO = 64^{\circ}$,求 $∠CHO$ 的度数。
(1)求证：$EF // BH$；
(2)若 $BH$ 平分 $∠EBO$,$EF ⊥ AO$ 于点 $F$,$∠HCO = 64^{\circ}$,求 $∠CHO$ 的度数。
答案
(1)证明:
∵∠HCO=∠EBC,
∴EB//HC。
∴∠EBH=∠BHC。
∵∠BHC+∠BEF=180°,
∴∠EBH+∠BEF=180°,
∴EF//BH。
(2)解:
∵∠HCO=∠EBC,
∴∠HCO=∠EBC=64°。
∵BH平分∠EBO,
∴∠EBH=∠CHB=$\frac{1}{2}$∠EBC=32°。
∵EF⊥AO于点F,EF//BH,
∴∠BHA=90°,
∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°,
∴∠CHO=180°−∠FHC=180°−122°=58°。
8. 【跨学科】光在不同介质中的传播速度是不同的,因此光从液体中射向空气时,可能发生折射。已知在某液体中平行的光线射向空气时出射光线也是平行的。如图,$∠1 = 40^{\circ}$,$∠2 = 110^{\circ}$,则 $∠3 + ∠4$ 的值为(
A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$
B
)。A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$
答案
B
解析
解：因为两条入射光线平行，所以它们与液面所成的角相等。
设入射光线与液面的夹角为$\alpha$，则$\angle1 + \alpha = 180^{\circ}$，$\alpha = 180^{\circ}-\angle1 = 180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$。
又因为$\angle2$是入射光线与法线的夹角（折射角或入射角相关），法线与液面垂直，所以法线与入射光线的夹角$\beta = 180^{\circ}-\angle2 = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
由于出射光线平行，同理可得另一组角的关系，最终$\angle3 + \angle4 = 110^{\circ}$。
B
设入射光线与液面的夹角为$\alpha$，则$\angle1 + \alpha = 180^{\circ}$，$\alpha = 180^{\circ}-\angle1 = 180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$。
又因为$\angle2$是入射光线与法线的夹角（折射角或入射角相关），法线与液面垂直，所以法线与入射光线的夹角$\beta = 180^{\circ}-\angle2 = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
由于出射光线平行，同理可得另一组角的关系，最终$\angle3 + \angle4 = 110^{\circ}$。
B
9. 【数学应用】某市为方便市民绿色出行,推出了共享单车服务。某共享单车放在水平地面上的示意图如图所示,$AB$,$CD$ 都与地面 $l$ 平行,$AM$ 与 $CB$ 平行。已知 $∠BCD = 58^{\circ}$,$∠MAC = 72^{\circ}$,则 $∠BAC = $
50°
。答案
50°
解析
解：因为 $AB // l$，$CD // l$，所以 $AB // CD$，故 $\angle ABC = \angle BCD = 58°$。
因为 $AM // CB$，所以 $\angle MAC + \angle ACB = 180°$，则 $\angle ACB = 180° - \angle MAC = 180° - 72° = 108°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$，所以 $\angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle ACB = 180° - 58° - 108° = 14°$。
1
因为 $AM // CB$，所以 $\angle MAC + \angle ACB = 180°$，则 $\angle ACB = 180° - \angle MAC = 180° - 72° = 108°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$，所以 $\angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle ACB = 180° - 58° - 108° = 14°$。
1
10. 如图,点 A,B,D,E 在同一条直线上,$AD = EB$,$AC = EF$,$AC // EF$。求证：$BC = DF$。
答案
证明:
∵AD=EB,
∴AD−BD=EB−BD,
即AB=ED。
∵AC//EF,
∴∠A=∠E。
在△ABC和△EDF中,
{AB=ED,
∠A=∠E,
AC=EF,
∴△ABC≌△EDF,
∴BC=DF。
∵AD=EB,
∴AD−BD=EB−BD,
即AB=ED。
∵AC//EF,
∴∠A=∠E。
在△ABC和△EDF中,
{AB=ED,
∠A=∠E,
AC=EF,
∴△ABC≌△EDF,
∴BC=DF。
