1.已知线段$a$，$c$和$∠α$，求作$△ ABC$，使$∠ B=∠α$，$AB=c$，$BC=a$.（用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹即可）

解：
如图，△ABC即为所求作的三角形，保留的作图痕迹包含：
1. 作∠B=∠α的尺规等角作图圆弧痕迹；
2. 在∠B的两条边上分别截取BC=a、AB=c的等长线段截取痕迹；
3. 连接点A、C得到线段AC的连线痕迹。
最终得到的△ABC满足∠B=∠α，AB=c，BC=a的要求。

【分析】
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图题，解题思路遵循“先定夹角，再截两边，最后连线”的逻辑：首先要先作出和已知角∠α相等的角作为三角形的∠B，确定顶点B和两条邻边的方向；之后在∠B的两条边上分别截取对应长度的线段，得到顶点A和C；最后连接两个顶点即可得到符合要求的三角形，该思路依据“两边及其夹角可以唯一确定一个三角形”的原理，逻辑清晰易操作。
【解析】
作图步骤逻辑如下：
1. 先用尺规作一个角等于已知角∠α，将该角的顶点记为B；
2. 以B为端点，在∠B的其中一条边上截取长度为c的线段AB，得到点A，在∠B的另一条边上截取长度为a的线段BC，得到点C；
3. 用直尺连接A、C两点，所得的△ABC就是所求的三角形，作图时要完整保留作等角的圆弧痕迹、截取等长线段的痕迹、连接AC的痕迹。
【答案】
如图，△ABC即为所求作的三角形，保留的作图痕迹包含：
1. 作∠B=∠α的尺规等角作图圆弧痕迹；
2. 在∠B的两条边上分别截取BC=a、AB=c的等长线段截取痕迹；
3. 连接点A、C得到线段AC的连线痕迹。
【知识点】
尺规作等角，尺规作等线段，两边夹一角作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，考察的是基础作图操作的规范性，核心是理解两边及夹角确定三角形的原理，作答时需注意按要求保留全部作图痕迹，不要遗漏作图步骤对应的标记。
【难度系数】
0.8

2. [2024·宣城期末]如图，已知∠ABC=∠DCB.若能直接用“SAS”证明△ABC≌△DCB，则添加的条件是（）


A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠ACB=∠DBC
D.AC=DB

2.A

【分析】
首先明确“SAS”判定三角形全等的含义：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。先梳理已知条件：△ABC和△DCB中，已知∠ABC=∠DCB，且两个三角形有公共边BC=CB。此时已知的∠ABC、∠DCB是对应夹角，在△ABC中∠ABC的两条边是AB和BC，在△DCB中∠DCB的两条边是DC和CB，已有边BC=CB相等，因此只需补充夹角的另一条对应边相等，即可满足SAS的判定要求，同时逐一甄别选项排除不符合要求的条件即可。
【解析】
要使用“SAS”证明△ABC≌△DCB，先整理现有条件：
在△ABC和△DCB中：
1. 公共边：$BC=CB$
2. 已知角：$∠ ABC=∠ DCB$
根据SAS判定规则，需要夹角的两组对应边分别相等，现有边$BC=CB$，因此需要补充$AB=DC$，此时满足：
$\begin{cases} AB=DC \\ ∠ ABC=∠ DCB \\ BC=CB \end{cases}$，完全符合SAS判定条件。
对各选项逐一分析：
选项A：$AB=DC$，符合SAS判定要求，正确；
选项B：$∠ A=∠ D$，结合已知条件属于AAS判定范畴，不符合SAS要求，错误；
选项C：$∠ ACB=∠ DBC$，结合已知条件属于ASA判定范畴，不符合SAS要求，错误；
选项D：$AC=DB$，此时构成的是SSA条件，不能判定三角形全等，错误。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形判定条件
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定的应用，解题核心是准确理解SAS中“角必须是两组对应边的夹角”这一要求，同时要区分不同全等判定条件的差异，避免混淆SSA等无法判定全等的情况。
【难度系数】
0.8

3. 根据下列图中所给定的条件，判断全等的三角形是（）


A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①②③

3.C

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的SAS判定定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，注意相等的角必须是两条相等边的公共夹角，不能是其中一边的对角。接下来逐个分析三个三角形的边角对应关系：先确定每个三角形中70°角对应的两条邻边的长度，再对比哪两个三角形满足“两边长度对应相等，且两边的夹角也相等”的条件，即可判断全等的三角形。
【解析】
我们分别分析三个三角形的边角特征：
1. 图①△ABC：70°角为∠C，∠C的两条邻边分别是AC=2，BC=2.5，即70°是长度为2和2.5的两条边的夹角；
2. 图②△DEF：70°角为∠D，长度为2的边是DF，长度为2.5的边是EF，70°角∠D不是边DF和EF的夹角，不满足SAS的夹角要求；
3. 图③△MNH：70°角为∠M，∠M的两条邻边分别是MH=2，MN=2.5，即70°是长度为2和2.5的两条边的夹角。
对比可得，图①和图③满足：两边长度分别为2和2.5对应相等，且两边的夹角都是70°相等，根据SAS判定定理，①和③全等。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定定理，全等三角形判定
【点评】
本题的易错点是容易忽略SAS判定中“夹角”的要求，误将边的对角当成夹角判断全等，解题时要注意确认相等的角是否为两条对应相等边的公共夹角，避免错选。
【难度系数】
0.7

4. 如图，已知$AB=CB$，$BE=BF$.若可以直接用“SAS”证明$△ ABE ≌ △ CBF$，则应添加的条件是.

4.$∠ABE=∠CBF$(或$∠ABF=∠CBE$)

【分析】
要使用“SAS”证明两个三角形全等，需满足两边及其夹角对应相等的条件。首先明确△ABE和△CBF中已有的两组相等边：AB=CB，BE=BF，接下来需要找到这两组对应边的夹角，△ABE中AB、BE的夹角为∠ABE，△CBF中CB、BF的夹角为∠CBF，因此首先可补充这两个夹角相等；若补充∠ABF=∠CBE，通过角的和差关系也能推导出上述两个夹角相等，同样符合要求。
【解析】
已知AB=CB，BE=BF，结合SAS判定定理的要求推导需补充的条件：
1. 若直接添加$\boldsymbol{∠ABE=∠CBF}$，则在△ABE和△CBF中：
$\begin{cases}AB=CB \\∠ABE=∠CBF \\BE=BF\end{cases}$
完全满足“SAS”的判定条件，可直接证明△ABE≌△CBF。
2. 若添加$\boldsymbol{∠ABF=∠CBE}$，根据等式的性质，在两个等角的基础上同时加上公共角∠FBE，可得：
$∠ABF+∠FBE=∠CBE+∠FBE$，即$∠ABE=∠CBF$，同样能得到两组对应边的夹角相等，也可使用“SAS”证明全等。
【答案】
$∠ABE=∠CBF$(或$∠ABF=∠CBE$)
【知识点】
全等三角形SAS判定；角的和差计算
【点评】
本题重点考查对全等三角形“SAS”判定定理的理解，解题的关键是明确“SAS”中的角必须是两组对应边的夹角，切勿与边的对角混淆，同时要掌握角的和差转换方法，识别等价的角条件。
【难度系数】
0.7

5. [教材P110习题14.2第3题改编]如图，$BD // AC$，$BD = BC$，且$BE = AC$.求证：$∠ ABC = ∠ D$.

证明：
∵ $BD // AC$，
∴ $∠ EBD = ∠ C$。
在$△ ABC$和$△ EDB$中，
$\{\begin{array}{l}BC = DB \\∠ C = ∠ EBD \\AC = EB\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ EDB$（SAS），
∴ $∠ ABC = ∠ D$。

【分析】
要证明∠ABC=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等求解：首先观察两角分别属于△ABC和△EDB，因此目标为证明△ABC≌△EDB。第一步先利用平行线的性质推导等角：由BD//AC可得内错角∠C=∠EBD；再结合题目给出的两组边相等的条件：BC=DB、AC=EB，刚好满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，即可用SAS证明两三角形全等，最后由全等三角形对应角相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ $BD // AC$，
∴ $∠ EBD = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$和$△ EDB$中，
$\{\begin{array}{l}BC = DB \\∠ C = ∠ EBD \\AC = EB\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ EDB$（SAS），
∴ $∠ ABC = ∠ D$（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
证明：
∵ $BD // AC$，
∴ $∠ EBD = ∠ C$。
在$△ ABC$和$△ EDB$中，
$\{\begin{array}{l}BC = DB \\∠ C = ∠ EBD \\AC = EB\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ EDB$（SAS），
∴ $∠ ABC = ∠ D$。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题，解题核心是先定位待证角所在的三角形，再结合已知条件推导全等所需的边角关系，需注意准确识别全等三角形的对应边、对应角，熟练运用相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离(A,B之间的距离不能直接测量),先在地面上取一点C,使$∠ ACB=90°$,然后延长BC至点D,使$CD=BC$.若测得$AD=16$ m,则A,B两点之间的距离为 m.

6.16

【分析】
要测量无法直接得到的AB的长度，可通过构造全等三角形，将AB转化为可测量的线段求解。首先观察已知条件：由∠ACB=90°可得∠ACD也为90°，已知CD=BC，且AC是△ACB和△ACD的公共边，满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，证得两个三角形全等后，利用全等三角形对应边相等即可得到AB=AD，代入AD的长度即可求出AB。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，即∠ACB=∠ACD。
在△ACB和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} BC=DC(\mathrm{已知})\\ ∠ ACB=∠ ACD(\mathrm{已证})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AB=AD（全等三角形对应边相等），
∵AD=16m，
∴AB=16m。
【答案】
16
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是通过构造全等三角形，将不可直接测量的线段转化为便于测量的线段，解题时要注意找准两个三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.9