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8.如图,长方形的长和宽分别是7 cm和3 cm,分别绕着它的长和宽所在的直线旋转一周。
(1)如图①,绕着它的宽所在的直线旋转一周,得到什么样的几何体?得到的几何体的体积是多少?
(2)如图②,绕着它的长所在的直线旋转一周,所得到的是什么样的几何体?得到的几何体的体积是多少?(π取3.14。)
(1)如图①,绕着它的宽所在的直线旋转一周,得到什么样的几何体?得到的几何体的体积是多少?
(2)如图②,绕着它的长所在的直线旋转一周,所得到的是什么样的几何体?得到的几何体的体积是多少?(π取3.14。)
答案
8.(1)圆柱,V=πr²h=π×7²×3=461.58(cm³)。
(2)圆柱,V=πr²h=π×3²×7=197.82(cm³)。
(2)圆柱,V=πr²h=π×3²×7=197.82(cm³)。
解析
【分析】
解题时先依据“面动成体”的规律判断旋转后得到的几何体：长方形绕其中一条边旋转一周会得到圆柱。接下来分两种情况确定圆柱的参数：①绕宽所在直线旋转时，宽是圆柱的高，长是圆柱的底面半径；②绕长所在直线旋转时，长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。最后代入圆柱体积公式$V=π r^2h$计算即可，计算时π取3.14，注意区分两种情况的底面半径和高，避免混淆。
【解析】
(1) 绕宽所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱。
此时圆柱的底面半径为长方形的长7cm，高为长方形的宽3cm，代入体积公式计算：
$V=π r^2h=3.14×7^2×3=3.14×49×3=461.58(\mathrm{cm}^3)$
(2) 绕长所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱。
此时圆柱的底面半径为长方形的宽3cm，高为长方形的长7cm，代入体积公式计算：
$V=π r^2h=3.14×3^2×7=3.14×9×7=197.82(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 圆柱，体积为$461.58\mathrm{cm}^3$
(2) 圆柱，体积为$197.82\mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的应用，解题核心是准确判断不同旋转方式下圆柱的底面半径和高，计算时要注意参数对应正确，避免因混淆半径和高出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先依据“面动成体”的规律判断旋转后得到的几何体：长方形绕其中一条边旋转一周会得到圆柱。接下来分两种情况确定圆柱的参数：①绕宽所在直线旋转时，宽是圆柱的高，长是圆柱的底面半径；②绕长所在直线旋转时，长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。最后代入圆柱体积公式$V=π r^2h$计算即可，计算时π取3.14，注意区分两种情况的底面半径和高，避免混淆。
【解析】
(1) 绕宽所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱。
此时圆柱的底面半径为长方形的长7cm，高为长方形的宽3cm，代入体积公式计算：
$V=π r^2h=3.14×7^2×3=3.14×49×3=461.58(\mathrm{cm}^3)$
(2) 绕长所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱。
此时圆柱的底面半径为长方形的宽3cm，高为长方形的长7cm，代入体积公式计算：
$V=π r^2h=3.14×3^2×7=3.14×9×7=197.82(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 圆柱，体积为$461.58\mathrm{cm}^3$
(2) 圆柱，体积为$197.82\mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的应用，解题核心是准确判断不同旋转方式下圆柱的底面半径和高，计算时要注意参数对应正确，避免因混淆半径和高出现计算错误。
【难度系数】
0.8
9.小明学习了“面动成体”之后，用一个边长为3 cm，4 cm和5 cm的直角三角形，绕其中一条直角边所在直线旋转一周，得到了一个几何体。
请画出可能得到的几何体简图，并分别计算这些几何体的体积。
（锥体体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高）
请画出可能得到的几何体简图，并分别计算这些几何体的体积。
（锥体体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高）
答案
9.
绕边长为3 cm的直角边旋转一周，得到底面半径为4 cm，高为3 cm的圆锥，体积V=$\frac{1}{3}$×π×4²×3=16π cm³；
绕边长为4 cm的直角边旋转一周，得到底面半径为3 cm，高为4 cm的圆锥，体积V=$\frac{1}{3}$×π×3²×4=12π cm³。
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合“面动成体”的原理，可知直角三角形绕它的一条直角边旋转一周会得到圆锥。首先确定直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，因此分两种情况讨论：①以3cm长的直角边为轴旋转；②以4cm长的直角边为轴旋转。每种旋转情况中，作为旋转轴的直角边就是所得圆锥的高，另一条直角边就是圆锥的底面半径，最后代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
直角三角形的两条直角边长度为3cm和4cm，分两种旋转情况计算：
1. 绕长度为3cm的直角边所在直线旋转一周：
此时得到的圆锥高$h_1=3\ \mathrm{cm}$，底面半径$r_1=4\ \mathrm{cm}$，
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}×底面积×高=\frac{1}{3}π r^2 h$，
代入数值计算得：$V_1=\frac{1}{3}×π×4^2×3=16π\ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕长度为4cm的直角边所在直线旋转一周：
此时得到的圆锥高$h_2=4\ \mathrm{cm}$，底面半径$r_2=3\ \mathrm{cm}$，
代入体积公式计算得：$V_2=\frac{1}{3}×π×3^2×4=12π\ \mathrm{cm}^3$。
两种情况得到的几何体均为圆锥，简图对应题目所示的两个圆锥。
【答案】
绕边长为3 cm的直角边旋转一周，得到底面半径为4 cm，高为3 cm的圆锥，体积V=$\frac{1}{3}$×π×4²×3=16π cm³；
绕边长为4 cm的直角边旋转一周，得到底面半径为3 cm，高为4 cm的圆锥，体积V=$\frac{1}{3}$×π×3²×4=12π cm³。
【知识点】
面动成体、圆锥体积计算、图形的旋转
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的应用，解题时需要注意分类讨论不同的旋转轴，避免漏解，同时要准确对应旋转后圆锥的底面半径和高，正确代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先结合“面动成体”的原理，可知直角三角形绕它的一条直角边旋转一周会得到圆锥。首先确定直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，因此分两种情况讨论：①以3cm长的直角边为轴旋转；②以4cm长的直角边为轴旋转。每种旋转情况中，作为旋转轴的直角边就是所得圆锥的高，另一条直角边就是圆锥的底面半径，最后代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
直角三角形的两条直角边长度为3cm和4cm，分两种旋转情况计算：
1. 绕长度为3cm的直角边所在直线旋转一周：
此时得到的圆锥高$h_1=3\ \mathrm{cm}$，底面半径$r_1=4\ \mathrm{cm}$，
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}×底面积×高=\frac{1}{3}π r^2 h$，
代入数值计算得：$V_1=\frac{1}{3}×π×4^2×3=16π\ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕长度为4cm的直角边所在直线旋转一周：
此时得到的圆锥高$h_2=4\ \mathrm{cm}$，底面半径$r_2=3\ \mathrm{cm}$，
代入体积公式计算得：$V_2=\frac{1}{3}×π×3^2×4=12π\ \mathrm{cm}^3$。
两种情况得到的几何体均为圆锥，简图对应题目所示的两个圆锥。
【答案】
绕边长为3 cm的直角边旋转一周，得到底面半径为4 cm，高为3 cm的圆锥，体积V=$\frac{1}{3}$×π×4²×3=16π cm³；
绕边长为4 cm的直角边旋转一周，得到底面半径为3 cm，高为4 cm的圆锥，体积V=$\frac{1}{3}$×π×3²×4=12π cm³。
【知识点】
面动成体、圆锥体积计算、图形的旋转
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的应用，解题时需要注意分类讨论不同的旋转轴，避免漏解，同时要准确对应旋转后圆锥的底面半径和高，正确代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
10.如图所示长方体容器中,摆放了一部分棱长为1 dm的正方体。请思考:还要几个这样的正方体才能把容器装满？
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.解:因为小正方体体积为 1×1×1=1 (dm³),
所以长方体容器体积为 3×4×5=60 (dm³),
所以需要小正方体总的个数为 60÷1=60 (个),
则还需要 60-10=50 (个)。
答:还要 50 个这样的正方体才能把容器装满。
所以长方体容器体积为 3×4×5=60 (dm³),
所以需要小正方体总的个数为 60÷1=60 (个),
则还需要 60-10=50 (个)。
答:还要 50 个这样的正方体才能把容器装满。
解析
【分析】
解题时首先要明确：要求还需要多少个小正方体装满容器，需先算出容器总共能装的小正方体总数，再减去已经摆放的小正方体数量。第一步先观察容器的长宽高：因为小正方体棱长为1dm，所以长方体的长、宽、高分别对应能摆放的小正方体的个数，相乘即可得到总个数；第二步仔细数出图中已经摆放的小正方体数量；最后做差即可得到结果。
【解析】
解：已知小正方体棱长为1dm，单个小正方体体积为：
$1×1×1=1(\mathrm{dm}^3)$
观察图形可得，长方体容器的长可放3个小正方体，宽可放4个小正方体，高可放5个小正方体，因此容器的体积为：
$3×4×5=60(\mathrm{dm}^3)$
装满容器总共需要的小正方体个数为：
$60÷1=60$（个）
数出已经摆放的小正方体共10个，因此还需要的个数为：
$60-10=50$（个）
【答案】
还要50个这样的正方体才能把容器装满。
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、立体图形计数
【点评】
本题结合立体图形观察考查体积公式的实际应用，解题核心是准确判断长方体容器对应可放的小正方体总数量，同时正确计数已摆放的小正方体，计数时可以分层计数避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：要求还需要多少个小正方体装满容器，需先算出容器总共能装的小正方体总数，再减去已经摆放的小正方体数量。第一步先观察容器的长宽高：因为小正方体棱长为1dm，所以长方体的长、宽、高分别对应能摆放的小正方体的个数，相乘即可得到总个数；第二步仔细数出图中已经摆放的小正方体数量；最后做差即可得到结果。
【解析】
解：已知小正方体棱长为1dm，单个小正方体体积为：
$1×1×1=1(\mathrm{dm}^3)$
观察图形可得，长方体容器的长可放3个小正方体，宽可放4个小正方体，高可放5个小正方体，因此容器的体积为：
$3×4×5=60(\mathrm{dm}^3)$
装满容器总共需要的小正方体个数为：
$60÷1=60$（个）
数出已经摆放的小正方体共10个，因此还需要的个数为：
$60-10=50$（个）
【答案】
还要50个这样的正方体才能把容器装满。
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、立体图形计数
【点评】
本题结合立体图形观察考查体积公式的实际应用，解题核心是准确判断长方体容器对应可放的小正方体总数量，同时正确计数已摆放的小正方体，计数时可以分层计数避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7
