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5.下面几种几何图形中,属于平面图形的是(
①三角形 ②长方形 ③正方体 ④圆
⑤球 ⑥圆柱
A.①②④
B.①②③
C.①②⑥
D.④⑤⑥
A
)。①三角形 ②长方形 ③正方体 ④圆
⑤球 ⑥圆柱
A.①②④
B.①②③
C.①②⑥
D.④⑤⑥
答案
5.A
解析
【分析】要解决本题，需先明确平面图形和立体图形的定义：平面图形是所有部分都在同一平面内的几何图形，立体图形是各部分不在同一平面内、占有一定空间的几何图形。接下来对题目中的6个图形逐一判断：①三角形、②长方形、④圆都仅在一个平面内，属于平面图形；③正方体、⑤球、⑥圆柱都占有空间，属于立体图形。因此属于平面图形的是①②④，对应选项A。
【解析】根据平面图形的定义，逐一分析各图形：
1. ①三角形：所有部分在同一平面，是平面图形；
2. ②长方形：所有部分在同一平面，是平面图形；
3. ③正方体：由6个面围成的立体图形，不是平面图形；
4. ④圆：所有部分在同一平面，是平面图形；
5. ⑤球：立体图形，不是平面图形；
6. ⑥圆柱：立体图形，不是平面图形。
综上，平面图形为①②④，答案选A。
【答案】A
【知识点】平面图形、立体图形
【点评】本题考查平面图形与立体图形的基本概念，属于基础概念题，只要准确掌握两类图形的定义即可轻松解答。
【难度系数】0.8
【解析】根据平面图形的定义，逐一分析各图形：
1. ①三角形：所有部分在同一平面，是平面图形；
2. ②长方形：所有部分在同一平面，是平面图形；
3. ③正方体：由6个面围成的立体图形，不是平面图形；
4. ④圆：所有部分在同一平面，是平面图形；
5. ⑤球：立体图形，不是平面图形；
6. ⑥圆柱：立体图形，不是平面图形。
综上，平面图形为①②④，答案选A。
【答案】A
【知识点】平面图形、立体图形
【点评】本题考查平面图形与立体图形的基本概念，属于基础概念题，只要准确掌握两类图形的定义即可轻松解答。
【难度系数】0.8
6. 欧拉(Euler,1707年～1783年)是世界著名的数学家,他发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在一定的数量关系,给出了著名的欧拉公式。
(1)观察研究下列多面体,并把下表补充完整:
|名称|图形|顶点数V|棱数E|面数F|
|----|----|----|----|----|
|四面体| |4|
|五面体|
|6|9|
|正方体| |8|12|
|正八面体| |
(2)分析表中的数据,你能发现V,E,F之间有什么关系吗?请写出关系式:
(1)观察研究下列多面体,并把下表补充完整:
|名称|图形|顶点数V|棱数E|面数F|
|----|----|----|----|----|
|四面体| |4|
6
|4||五面体|
|6|9|5
||正方体| |8|12|
6
||正八面体| |
6
|12|8
|(2)分析表中的数据,你能发现V,E,F之间有什么关系吗?请写出关系式:
V+F-E=2
。答案
6.(1)6 5 6 6 8
(2)V+F-E=2
(2)V+F-E=2
解析
【分析】
要解决这道题，需先结合多面体的图形特征准确计数顶点数、棱数、面数，再通过分析这些数据的关联，总结出多面体的欧拉公式。计数时，可根据不同多面体的结构（如三棱锥、三棱柱、正方体、正八面体）逐一对应计算，再观察数据规律即可。
【解析】
(1) 逐个分析各多面体：
四面体（三棱锥）：顶点数V=4，面数F=4，棱数为底面3条棱加侧面3条棱，共6条，填6；
五面体（三棱柱）：顶点数V=6，棱数E=9，面数为上下2个三角形底面加3个矩形侧面，共5个，填5；
正方体：顶点数V=8，棱数E=12，面数为6个正方形，填6；
正八面体：棱数E=12，顶点数为上下各1个加中间4个，共6个；面数为8个，依次填6、8。
(2) 观察表格数据：
四面体：4+4-6=2；五面体：6+5-9=2；正方体：8+6-12=2；正八面体：6+8-12=2，因此关系式为V+F-E=2。
【答案】
(1) 6；5；6；6；8 (2) V+F-E=2
【知识点】
欧拉公式，多面体的顶点、棱、面计数
【点评】
本题通过具体多面体的计数，引导学生归纳欧拉公式，既考查了对多面体结构的认识，又培养了归纳总结的能力，是基础的几何规律探究题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先结合多面体的图形特征准确计数顶点数、棱数、面数，再通过分析这些数据的关联，总结出多面体的欧拉公式。计数时，可根据不同多面体的结构（如三棱锥、三棱柱、正方体、正八面体）逐一对应计算，再观察数据规律即可。
【解析】
(1) 逐个分析各多面体：
四面体（三棱锥）：顶点数V=4，面数F=4，棱数为底面3条棱加侧面3条棱，共6条，填6；
五面体（三棱柱）：顶点数V=6，棱数E=9，面数为上下2个三角形底面加3个矩形侧面，共5个，填5；
正方体：顶点数V=8，棱数E=12，面数为6个正方形，填6；
正八面体：棱数E=12，顶点数为上下各1个加中间4个，共6个；面数为8个，依次填6、8。
(2) 观察表格数据：
四面体：4+4-6=2；五面体：6+5-9=2；正方体：8+6-12=2；正八面体：6+8-12=2，因此关系式为V+F-E=2。
【答案】
(1) 6；5；6；6；8 (2) V+F-E=2
【知识点】
欧拉公式，多面体的顶点、棱、面计数
【点评】
本题通过具体多面体的计数，引导学生归纳欧拉公式，既考查了对多面体结构的认识，又培养了归纳总结的能力，是基础的几何规律探究题。
【难度系数】
0.6
7.小莹跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2 m、高为3 m的玻璃隔板组成的。善于学习的小莹同学提出了一些问题，请你帮她解决。
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是
(2)这能说明的事实是
A.点动成线
B.线动成面
C.面动成体
(3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积(边框及衔接处忽略不计，结果保留π)。
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是
圆柱
。(2)这能说明的事实是
C
（选择正确的一项填入）。A.点动成线
B.线动成面
C.面动成体
(3)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积(边框及衔接处忽略不计，结果保留π)。
答案
7.(1)圆柱 (2)C
(3)该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为 π×2²×3=12π(m³)。
故旋转门旋转一周形成的几何体的体积是 12π m³。
(3)该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为 π×2²×3=12π(m³)。
故旋转门旋转一周形成的几何体的体积是 12π m³。
解析
【分析】
解决本题需结合旋转的几何原理分析：
1. 旋转门的玻璃隔板是长方形，旋转一周时，长方形绕旋转轴旋转会形成圆柱，由此确定旋转后形成的几何体；
2. 玻璃隔板是平面（面），旋转后得到立体图形（体），对应几何中的“面动成体”；
3. 计算圆柱体积时，明确圆柱的底面半径为玻璃的宽，高为玻璃的高，代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
(1) 旋转门的玻璃隔板为长方形，将长方形绕其一边旋转一周，形成的几何体是圆柱，因此旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱；
(2) 玻璃隔板是平面图形（面），旋转后得到立体图形（体），体现了“面动成体”，故选C；
(3) 旋转形成的圆柱，底面半径$ r=2\ \mathrm{m} $，高$ h=3\ \mathrm{m} $，根据圆柱体积公式$ V=π r^2 h $，代入得：$ V=π × 2^2 × 3=12π\ (\mathrm{m}^3) $。
【答案】
(1)圆柱；(2)C；(3)$ 12π\ \mathrm{m}^3 $
【知识点】
旋转体的形成；圆柱体积计算；面动成体
【点评】
本题结合生活中的旋转门场景，将抽象的几何知识与实际应用结合，考查“面动成体”的原理和圆柱体积公式的应用，属于基础题型，帮助学生理解平面图形旋转形成立体图形的规律，难度适中。
【难度系数】
0.5
解决本题需结合旋转的几何原理分析：
1. 旋转门的玻璃隔板是长方形，旋转一周时，长方形绕旋转轴旋转会形成圆柱，由此确定旋转后形成的几何体；
2. 玻璃隔板是平面（面），旋转后得到立体图形（体），对应几何中的“面动成体”；
3. 计算圆柱体积时，明确圆柱的底面半径为玻璃的宽，高为玻璃的高，代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
(1) 旋转门的玻璃隔板为长方形，将长方形绕其一边旋转一周，形成的几何体是圆柱，因此旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱；
(2) 玻璃隔板是平面图形（面），旋转后得到立体图形（体），体现了“面动成体”，故选C；
(3) 旋转形成的圆柱，底面半径$ r=2\ \mathrm{m} $，高$ h=3\ \mathrm{m} $，根据圆柱体积公式$ V=π r^2 h $，代入得：$ V=π × 2^2 × 3=12π\ (\mathrm{m}^3) $。
【答案】
(1)圆柱；(2)C；(3)$ 12π\ \mathrm{m}^3 $
【知识点】
旋转体的形成；圆柱体积计算；面动成体
【点评】
本题结合生活中的旋转门场景，将抽象的几何知识与实际应用结合，考查“面动成体”的原理和圆柱体积公式的应用，属于基础题型，帮助学生理解平面图形旋转形成立体图形的规律，难度适中。
【难度系数】
0.5
