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8. 计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机。如图，小莹同学设置了一个数值转换机，若输出结果为4，则输入的x是（
A.$-1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$或$\frac{1}{2}$
D.$1$或$-\frac{1}{2}$
A
）。A.$-1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$或$\frac{1}{2}$
D.$1$或$-\frac{1}{2}$
答案
8.A
解析
【分析】
该数值转换机为分段运算规则，需根据x的取值范围分两类讨论求解：①当x＜1时，代入代数式2x+6列方程求解；②当x≥1时，代入代数式8x列方程求解。每个方程解出结果后，要检验解是否符合对应x的取值范围，不符合的解需舍去，最终得到符合要求的输入值。
【解析】
分两种情况分别列方程计算：
1. 当$ x ＜ 1 $时，根据运算规则列方程：
$ 2x + 6 = 4 $
移项得：$ 2x = 4 - 6 $
合并同类项得：$ 2x = -2 $
系数化为1得：$ x = -1 $
检验：$ -1 ＜ 1 $，符合该段取值范围，故$ x=-1 $是有效解。
2. 当$ x ≥ 1 $时，根据运算规则列方程：
$ 8x = 4 $
系数化为1得：$ x = \frac{1}{2} $
检验：$ \frac{1}{2} ＜ 1 $，不符合该段$ x ≥ 1 $的取值范围，故该解舍去。
综上，输入的x为-1。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题易错点是求解方程后忽略验证解是否符合对应取值范围，误选包含两个解的选项，解题时要注意分段计算类题目必须校验解的合理性。
【难度系数】
0.6
该数值转换机为分段运算规则，需根据x的取值范围分两类讨论求解：①当x＜1时，代入代数式2x+6列方程求解；②当x≥1时，代入代数式8x列方程求解。每个方程解出结果后，要检验解是否符合对应x的取值范围，不符合的解需舍去，最终得到符合要求的输入值。
【解析】
分两种情况分别列方程计算：
1. 当$ x ＜ 1 $时，根据运算规则列方程：
$ 2x + 6 = 4 $
移项得：$ 2x = 4 - 6 $
合并同类项得：$ 2x = -2 $
系数化为1得：$ x = -1 $
检验：$ -1 ＜ 1 $，符合该段取值范围，故$ x=-1 $是有效解。
2. 当$ x ≥ 1 $时，根据运算规则列方程：
$ 8x = 4 $
系数化为1得：$ x = \frac{1}{2} $
检验：$ \frac{1}{2} ＜ 1 $，不符合该段$ x ≥ 1 $的取值范围，故该解舍去。
综上，输入的x为-1。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题易错点是求解方程后忽略验证解是否符合对应取值范围，误选包含两个解的选项，解题时要注意分段计算类题目必须校验解的合理性。
【难度系数】
0.6
9.已知关于 x 的方程$\frac{2x - a}{3} - \frac{x - a}{2} = x - 1$与方程$3(x - 2) = 4x - 5$的解相同，求a的值。
答案
9.$a=-11$
解析
【分析】
本题是同解方程问题，解题思路分为两步：第一步，先求解不含参数a的一元一次方程$3(x - 2) = 4x - 5$，得到x的具体值；第二步，因为两个方程的解相同，将求出的x值代入含参数a的方程$\frac{2x - a}{3} - \frac{x - a}{2} = x - 1$，此时方程转化为仅含未知数a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
第一步：解方程$3(x - 2) = 4x - 5$
去括号，得：$3x - 6 = 4x - 5$
移项，得：$3x - 4x = -5 + 6$
合并同类项，得：$-x = 1$
系数化为1，得：$x = -1$
第二步：因为两个方程的解相同，将$x=-1$代入方程$\frac{2x - a}{3} - \frac{x - a}{2} = x - 1$，得：
$\frac{2×(-1) - a}{3} - \frac{-1 - a}{2} = -1 - 1$
化简得：$\frac{-2 - a}{3} - \frac{-1 - a}{2} = -2$
去分母，两边同时乘6，得：$2(-2 - a) - 3(-1 - a) = -12$
去括号，得：$-4 - 2a + 3 + 3a = -12$
合并同类项，得：$a - 1 = -12$
移项，得：$a = -12 + 1$
解得：$a = -11$
【答案】
$a=-11$
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同解方程的性质应用，解题的关键是先求解不含参数的方程得到公共解，再代入含参数的方程求解参数，计算过程中要注意去分母、去括号时的符号规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题是同解方程问题，解题思路分为两步：第一步，先求解不含参数a的一元一次方程$3(x - 2) = 4x - 5$，得到x的具体值；第二步，因为两个方程的解相同，将求出的x值代入含参数a的方程$\frac{2x - a}{3} - \frac{x - a}{2} = x - 1$，此时方程转化为仅含未知数a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
第一步：解方程$3(x - 2) = 4x - 5$
去括号，得：$3x - 6 = 4x - 5$
移项，得：$3x - 4x = -5 + 6$
合并同类项，得：$-x = 1$
系数化为1，得：$x = -1$
第二步：因为两个方程的解相同，将$x=-1$代入方程$\frac{2x - a}{3} - \frac{x - a}{2} = x - 1$，得：
$\frac{2×(-1) - a}{3} - \frac{-1 - a}{2} = -1 - 1$
化简得：$\frac{-2 - a}{3} - \frac{-1 - a}{2} = -2$
去分母，两边同时乘6，得：$2(-2 - a) - 3(-1 - a) = -12$
去括号，得：$-4 - 2a + 3 + 3a = -12$
合并同类项，得：$a - 1 = -12$
移项，得：$a = -12 + 1$
解得：$a = -11$
【答案】
$a=-11$
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同解方程的性质应用，解题的关键是先求解不含参数的方程得到公共解，再代入含参数的方程求解参数，计算过程中要注意去分母、去括号时的符号规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
10.有一系列方程：
第1个方程是 $x+\frac{x}{2}=3$，它的解是
$x=2$；
第2个方程是 $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$，它的解是
$x=6$；
第3个方程是 $\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7$，它的解是
$x=12$；
……
(1)写出这一系列方程中的第10个方程，并写出它的解，然后用解方程的方法验证方程解的正确性；
(2)写出这一系列方程中的第n个方程和它的解(不必验证)。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
第1个方程是 $x+\frac{x}{2}=3$，它的解是
$x=2$；
第2个方程是 $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$，它的解是
$x=6$；
第3个方程是 $\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7$，它的解是
$x=12$；
……
(1)写出这一系列方程中的第10个方程，并写出它的解，然后用解方程的方法验证方程解的正确性；
(2)写出这一系列方程中的第n个方程和它的解(不必验证)。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.(1)$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}=21$,
它的解是 $x=110$,验证略。
(2)$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$,
它的解是 $x=n(n+1)$。
它的解是 $x=110$,验证略。
(2)$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$,
它的解是 $x=n(n+1)$。
解析
【分析】
首先观察已给出的3个方程与对应序号的规律：①方程左边：第k个方程的左边是两个分子为x的分式相加，分母依次为k、k+1；②方程右边：第k个方程的右边为2k+1（k为正整数，对应第k个方程）；③方程的解：第k个方程的解为x=k(k+1)。按规律代入k=10即可得到第10个方程和它的解，验证解的正确性只需将解代入方程，判断左右两边是否相等；将k替换为n即可得到第n个方程及对应解。
【解析】
(1) 当k=10时，方程左边为$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}$，右边为$2×10+1=21$，因此第10个方程为$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}=21$，对应解为$x=10×11=110$。
验证过程：将$x=110$代入方程左边，得$\frac{110}{10}+\frac{110}{11}=11+10=21$，与方程右边相等，因此$x=110$是方程的解。
(2) 当序号为n（n为正整数）时，第n个方程左边为$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}$，右边为$2n+1$，即方程为$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$，它的解为$x=n(n+1)$。
【答案】
(1)$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}=21$，它的解是 $x=110$，验证略；
(2)$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$，它的解是 $x=n(n+1)$。
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 数字规律探究
3. 方程解的检验
【点评】
本题重点考查规律归纳能力和一元一次方程的相关知识，解题核心是找准方程各部分与序号的对应关系，总结通用规律，验证解时要注意计算准确，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.7
首先观察已给出的3个方程与对应序号的规律：①方程左边：第k个方程的左边是两个分子为x的分式相加，分母依次为k、k+1；②方程右边：第k个方程的右边为2k+1（k为正整数，对应第k个方程）；③方程的解：第k个方程的解为x=k(k+1)。按规律代入k=10即可得到第10个方程和它的解，验证解的正确性只需将解代入方程，判断左右两边是否相等；将k替换为n即可得到第n个方程及对应解。
【解析】
(1) 当k=10时，方程左边为$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}$，右边为$2×10+1=21$，因此第10个方程为$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}=21$，对应解为$x=10×11=110$。
验证过程：将$x=110$代入方程左边，得$\frac{110}{10}+\frac{110}{11}=11+10=21$，与方程右边相等，因此$x=110$是方程的解。
(2) 当序号为n（n为正整数）时，第n个方程左边为$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}$，右边为$2n+1$，即方程为$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$，它的解为$x=n(n+1)$。
【答案】
(1)$\frac{x}{10}+\frac{x}{11}=21$，它的解是 $x=110$，验证略；
(2)$\frac{x}{n}+\frac{x}{n+1}=2n+1$，它的解是 $x=n(n+1)$。
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 数字规律探究
3. 方程解的检验
【点评】
本题重点考查规律归纳能力和一元一次方程的相关知识，解题核心是找准方程各部分与序号的对应关系，总结通用规律，验证解时要注意计算准确，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.7
