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1. 在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的部分图象如图所示,$AB ⊥ y$轴于点B,点P在x轴上.若$△ ABP$的面积为2,则k的值为（
A.2
B.-2
C.4
D.-4
第1题图 第2题图
D
）A.2
B.-2
C.4
D.-4
第1题图 第2题图
答案
1.D
解析
【分析】
首先观察图形特征：AB垂直于y轴，因此AB与x轴平行，此时点P和原点O到直线AB的距离相等，可知△ABP与△ABO同底等高，面积相等。再结合反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，即可建立面积和k的关系，最后根据反比例函数图象所在的第二象限判断k的符号，就能求出k的值。
【解析】
解：连接OA，
∵$AB ⊥ y$轴，
∴$AB // x$轴，
∴点P和点O到直线AB的距离相等，即$△ ABP$和$△ ABO$同底等高，
∴$S_{△ ABO}=S_{△ ABP}=2$。
设点A的坐标为$(x,y)$，由图象可知$x＜0,y＞0$，则$AB=|x|=-x$，$OB=y$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · AB · OB = \frac{1}{2} · (-x) · y = 2$，
整理得：$-xy=4$，即$xy=-4$。
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 同底等高三角形面积性质
3. 反比例函数图象性质
【点评】
本题考查反比例函数中k值的求解，核心是利用平行线的性质完成面积的转化，结合k的几何意义求解，需要注意根据图象所在象限判断k的正负，避免漏看符号出错，是反比例函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：AB垂直于y轴，因此AB与x轴平行，此时点P和原点O到直线AB的距离相等，可知△ABP与△ABO同底等高，面积相等。再结合反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，即可建立面积和k的关系，最后根据反比例函数图象所在的第二象限判断k的符号，就能求出k的值。
【解析】
解：连接OA，
∵$AB ⊥ y$轴，
∴$AB // x$轴，
∴点P和点O到直线AB的距离相等，即$△ ABP$和$△ ABO$同底等高，
∴$S_{△ ABO}=S_{△ ABP}=2$。
设点A的坐标为$(x,y)$，由图象可知$x＜0,y＞0$，则$AB=|x|=-x$，$OB=y$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · AB · OB = \frac{1}{2} · (-x) · y = 2$，
整理得：$-xy=4$，即$xy=-4$。
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 同底等高三角形面积性质
3. 反比例函数图象性质
【点评】
本题考查反比例函数中k值的求解，核心是利用平行线的性质完成面积的转化，结合k的几何意义求解，需要注意根据图象所在象限判断k的正负，避免漏看符号出错，是反比例函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图,已知等边$△ OAB$,点B在x轴的正半轴上,$S_{△ OAB}=4\sqrt{3}$.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象的一支经过点A,则k的值是（
A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$4\sqrt{3}$
D
）A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
2.D
解析
【分析】
要计算反比例函数中k的值，需先得到反比例函数上点A的横、纵坐标，k等于点A横纵坐标的乘积。已知等边△OAB的面积，可先设等边三角形边长为a，通过等边三角形面积公式求出边长，再结合等边三角形的性质求出点A的坐标，最后代入k=xy计算即可得到结果。
【解析】
设等边△OAB的边长为a，
则等边△OAB的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
根据三角形面积公式：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}× a× \frac{\sqrt{3}}{2}a=4\sqrt{3}$
化简得：$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{a^2}{4}=4$，解得$a=4$（边长为正，舍去负解）。
根据等边三角形的性质，点A的横坐标为边长的一半，即$x=\frac{a}{2}=2$，纵坐标为等边三角形的高，即$y=\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$，因此点A坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
将点A代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=2× 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形性质；反比例函数k的求法；三角形面积计算
【点评】
本题为反比例函数与等边三角形结合的基础题型，解题核心是通过等边三角形的面积求出边长，进而得到点A的坐标，考察了学生对几何基础性质和反比例函数基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算反比例函数中k的值，需先得到反比例函数上点A的横、纵坐标，k等于点A横纵坐标的乘积。已知等边△OAB的面积，可先设等边三角形边长为a，通过等边三角形面积公式求出边长，再结合等边三角形的性质求出点A的坐标，最后代入k=xy计算即可得到结果。
【解析】
设等边△OAB的边长为a，
则等边△OAB的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
根据三角形面积公式：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}× a× \frac{\sqrt{3}}{2}a=4\sqrt{3}$
化简得：$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=4\sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{a^2}{4}=4$，解得$a=4$（边长为正，舍去负解）。
根据等边三角形的性质，点A的横坐标为边长的一半，即$x=\frac{a}{2}=2$，纵坐标为等边三角形的高，即$y=\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$，因此点A坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
将点A代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=2× 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形性质；反比例函数k的求法；三角形面积计算
【点评】
本题为反比例函数与等边三角形结合的基础题型，解题核心是通过等边三角形的面积求出边长，进而得到点A的坐标，考察了学生对几何基础性质和反比例函数基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，点A和点B都在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，且线段AB经过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点C，P是线段OB上的动点，连接CP.设$△ ACP$的面积为S，则下列说法正确的是（
A.$S＞3$
B.$S＞6$
C.$3≤S≤6$
D.$3＜S≤6$
C
）A.$S＞3$
B.$S＞6$
C.$3≤S≤6$
D.$3＜S≤6$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先回忆反比例函数的核心性质：反比例函数图象关于原点中心对称，且过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。2. 先计算固定的$△ AOC$的面积，再结合AB过原点的条件得到A、B关于原点对称，分析$△ ACP$的面积变化规律：$△ ACP$的底AC为定值，高为点P到直线AC的水平距离，P在OB上移动时该距离会随P的位置变化，由此即可推导出面积的取值范围。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$），
∵线段AB过原点，反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称，
∴点B的坐标为$(-a,-\frac{6}{a})$，AC的长度为$\frac{6}{a}$，直线AC为$x=a$。
∵P是线段OB上的动点，设P的横坐标为$x_p$，则$x_p$的取值范围是$-a≤ x_p≤0$。
$△ ACP$中，底$AC=\frac{6}{a}$，高为点P到直线AC的水平距离$a - x_p$，
则面积$S=\frac{1}{2}× AC × (a - x_p)=\frac{1}{2}× \frac{6}{a}×(a - x_p)=3 - \frac{3x_p}{a}$。
当$x_p=0$（即P与原点重合）时，S取最小值：$S=3$；
当$x_p=-a$（即P与点B重合）时，S取最大值：$S=3+3=6$。
因此$3≤ S≤6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，中心对称的性质，动点面积计算
【点评】
本题是反比例函数与动点结合的典型题型，解题的核心是抓住面积中的不变量（底AC的长度），再分析变量（高的变化范围）即可得到面积的取值范围，对分析动点变化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先回忆反比例函数的核心性质：反比例函数图象关于原点中心对称，且过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。2. 先计算固定的$△ AOC$的面积，再结合AB过原点的条件得到A、B关于原点对称，分析$△ ACP$的面积变化规律：$△ ACP$的底AC为定值，高为点P到直线AC的水平距离，P在OB上移动时该距离会随P的位置变化，由此即可推导出面积的取值范围。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$），
∵线段AB过原点，反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称，
∴点B的坐标为$(-a,-\frac{6}{a})$，AC的长度为$\frac{6}{a}$，直线AC为$x=a$。
∵P是线段OB上的动点，设P的横坐标为$x_p$，则$x_p$的取值范围是$-a≤ x_p≤0$。
$△ ACP$中，底$AC=\frac{6}{a}$，高为点P到直线AC的水平距离$a - x_p$，
则面积$S=\frac{1}{2}× AC × (a - x_p)=\frac{1}{2}× \frac{6}{a}×(a - x_p)=3 - \frac{3x_p}{a}$。
当$x_p=0$（即P与原点重合）时，S取最小值：$S=3$；
当$x_p=-a$（即P与点B重合）时，S取最大值：$S=3+3=6$。
因此$3≤ S≤6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，中心对称的性质，动点面积计算
【点评】
本题是反比例函数与动点结合的典型题型，解题的核心是抓住面积中的不变量（底AC的长度），再分析变量（高的变化范围）即可得到面积的取值范围，对分析动点变化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=（
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.4
A
）A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.4
答案
4.A
解析
【分析】
解题时可结合反比例函数k的几何意义与矩形的性质推导：首先回忆反比例函数图象上的点与坐标轴、原点围成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$；再结合F是AB中点的条件，推出矩形OABC的面积和k的关系；最后将不规则四边形OEBF的面积转化为矩形面积减去两个直角三角形的面积，代入数值即可求出k。
【解析】
设矩形$OABC$中$OA=a$，$OC=b$，则矩形面积$S_{矩形OABC}=OA· OC=ab$。
∵F是AB的中点，
∴F点坐标为$(a,\frac{b}{2})$，
∵F在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得$\frac{b}{2}=\frac{k}{a}$，即$ab=2k$，也就是矩形面积为$2k$。
根据反比例函数k的几何意义：点E、F都在反比例函数图象上，且$x＞0$，$k＞0$，
∴$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}k$，$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}k$。
已知四边形$OEBF$的面积为2，且$S_{四边形OEBF}=S_{矩形OABC}-S_{△ OCE}-S_{△ OAF}$，代入得：
$2=2k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k$
化简得$k=2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，面积的和差计算
【点评】
本题是反比例函数中k值计算的典型题型，解题的核心是把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，结合反比例函数的几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可结合反比例函数k的几何意义与矩形的性质推导：首先回忆反比例函数图象上的点与坐标轴、原点围成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$；再结合F是AB中点的条件，推出矩形OABC的面积和k的关系；最后将不规则四边形OEBF的面积转化为矩形面积减去两个直角三角形的面积，代入数值即可求出k。
【解析】
设矩形$OABC$中$OA=a$，$OC=b$，则矩形面积$S_{矩形OABC}=OA· OC=ab$。
∵F是AB的中点，
∴F点坐标为$(a,\frac{b}{2})$，
∵F在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得$\frac{b}{2}=\frac{k}{a}$，即$ab=2k$，也就是矩形面积为$2k$。
根据反比例函数k的几何意义：点E、F都在反比例函数图象上，且$x＞0$，$k＞0$，
∴$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}k$，$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}k$。
已知四边形$OEBF$的面积为2，且$S_{四边形OEBF}=S_{矩形OABC}-S_{△ OCE}-S_{△ OAF}$，代入得：
$2=2k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k$
化简得$k=2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，面积的和差计算
【点评】
本题是反比例函数中k值计算的典型题型，解题的核心是把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，结合反比例函数的几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
