登录
5.如图,点A在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上,点B在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上,且$AB// x$轴,点C,D在x轴上.若四边形ABCD为矩形,则它的面积为
2
.答案
5.2
解析
【分析】
本题是反比例函数与矩形结合的面积计算问题，解题思路如下：首先回忆反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向$x$轴作垂线，该点、垂足、原点构成的矩形面积等于$|k|$。已知$AB// x$轴且四边形$ABCD$是矩形，可得$A$、$B$两点纵坐标相等，我们可以分别求出过$A$、$B$作$x$轴垂线与原点形成的矩形面积，两个面积的差值就是矩形$ABCD$的面积，也可以通过设点坐标的方法计算长和宽再求面积。
【解析】
方法一：利用反比例函数$k$的几何意义求解
延长$BA$交$y$轴于点$E$，
$\because$ 点$A$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，四边形$OEAD$为矩形，
$\therefore S_{矩形OEAD}=|k_1|=1$，
$\because$ 点$B$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，四边形$OEBC$为矩形，
$\therefore S_{矩形OEBC}=|k_2|=3$，
$\therefore S_{矩形ABCD}=S_{矩形OEBC}-S_{矩形OEAD}=3-1=2$。
方法二：设坐标法求解
设点$A$的横坐标为$a(a＞0)$，$\because A$在$y=\frac{1}{x}$上，$\therefore A$点坐标为$(a,\frac{1}{a})$，
$\because AB// x$轴，四边形$ABCD$是矩形，$\therefore$ 点$B$的纵坐标也为$\frac{1}{a}$，
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{3}{x}$得：$\frac{1}{a}=\frac{3}{x}$，解得$x=3a$，即$B$点坐标为$(3a,\frac{1}{a})$，
$\therefore$ 矩形$ABCD$的长$CD=AB=3a-a=2a$，高为$\frac{1}{a}$，
$\therefore S_{矩形ABCD}=2a×\frac{1}{a}=2$。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
1. 反比例函数$k$的几何意义
2. 矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数面积计算的典型基础题，利用$k$的几何意义求解可避免复杂的坐标运算，解题时要注意观察图形特征，关联已知条件选择简便方法，减少计算量。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数与矩形结合的面积计算问题，解题思路如下：首先回忆反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向$x$轴作垂线，该点、垂足、原点构成的矩形面积等于$|k|$。已知$AB// x$轴且四边形$ABCD$是矩形，可得$A$、$B$两点纵坐标相等，我们可以分别求出过$A$、$B$作$x$轴垂线与原点形成的矩形面积，两个面积的差值就是矩形$ABCD$的面积，也可以通过设点坐标的方法计算长和宽再求面积。
【解析】
方法一：利用反比例函数$k$的几何意义求解
延长$BA$交$y$轴于点$E$，
$\because$ 点$A$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，四边形$OEAD$为矩形，
$\therefore S_{矩形OEAD}=|k_1|=1$，
$\because$ 点$B$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，四边形$OEBC$为矩形，
$\therefore S_{矩形OEBC}=|k_2|=3$，
$\therefore S_{矩形ABCD}=S_{矩形OEBC}-S_{矩形OEAD}=3-1=2$。
方法二：设坐标法求解
设点$A$的横坐标为$a(a＞0)$，$\because A$在$y=\frac{1}{x}$上，$\therefore A$点坐标为$(a,\frac{1}{a})$，
$\because AB// x$轴，四边形$ABCD$是矩形，$\therefore$ 点$B$的纵坐标也为$\frac{1}{a}$，
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{3}{x}$得：$\frac{1}{a}=\frac{3}{x}$，解得$x=3a$，即$B$点坐标为$(3a,\frac{1}{a})$，
$\therefore$ 矩形$ABCD$的长$CD=AB=3a-a=2a$，高为$\frac{1}{a}$，
$\therefore S_{矩形ABCD}=2a×\frac{1}{a}=2$。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
1. 反比例函数$k$的几何意义
2. 矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数面积计算的典型基础题，利用$k$的几何意义求解可避免复杂的坐标运算，解题时要注意观察图形特征，关联已知条件选择简便方法，减少计算量。
【难度系数】
0.7
6.如图，正比例函数 $ y = -x $ 与反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为
6
。答案
6.6
解析
【分析】
要解这道题，需先明确△ABD的底和对应高：BD在x轴上，长度为B、D两点横坐标的差，高为点A到x轴的距离（即点A纵坐标的绝对值）。解题步骤如下：第一步联立正比例函数和反比例函数的解析式，求出交点A、C的坐标；第二步根据AB⊥x轴、CD⊥x轴的条件，得到点B、D的坐标；第三步计算BD的长度和高的长度，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 联立函数解析式求交点坐标：
联立$\begin{cases}y=-x \\ y=-\dfrac{6}{x}\end{cases}$，将$y=-x$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$-x=-\dfrac{6}{x}$，整理得$x^2=6$，解得$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$。
当$x=-\sqrt{6}$时，$y=\sqrt{6}$，即$A(-\sqrt{6},\sqrt{6})$；
当$x=\sqrt{6}$时，$y=-\sqrt{6}$，即$C(\sqrt{6},-\sqrt{6})$。
2. 求点B、D的坐标：
∵AB⊥x轴于B，
∴B的横坐标与A相同，纵坐标为0，即$B(-\sqrt{6},0)$；
∵CD⊥x轴于D，
∴D的横坐标与C相同，纵坐标为0，即$D(\sqrt{6},0)$。
3. 计算△ABD的面积：
BD的长度为$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$，
△ABD的高为点A到x轴的距离，即$|y_A|=\sqrt{6}$，
∴$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}× BD × |y_A|=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{6}=6$。
【答案】
6
【知识点】
函数交点求解；坐标与线段转化；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心是通过联立解析式得到交点坐标，再利用坐标的几何意义确定三角形的底和高，解题思路清晰，是反比例函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要解这道题，需先明确△ABD的底和对应高：BD在x轴上，长度为B、D两点横坐标的差，高为点A到x轴的距离（即点A纵坐标的绝对值）。解题步骤如下：第一步联立正比例函数和反比例函数的解析式，求出交点A、C的坐标；第二步根据AB⊥x轴、CD⊥x轴的条件，得到点B、D的坐标；第三步计算BD的长度和高的长度，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 联立函数解析式求交点坐标：
联立$\begin{cases}y=-x \\ y=-\dfrac{6}{x}\end{cases}$，将$y=-x$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：
$-x=-\dfrac{6}{x}$，整理得$x^2=6$，解得$x=\sqrt{6}$或$x=-\sqrt{6}$。
当$x=-\sqrt{6}$时，$y=\sqrt{6}$，即$A(-\sqrt{6},\sqrt{6})$；
当$x=\sqrt{6}$时，$y=-\sqrt{6}$，即$C(\sqrt{6},-\sqrt{6})$。
2. 求点B、D的坐标：
∵AB⊥x轴于B，
∴B的横坐标与A相同，纵坐标为0，即$B(-\sqrt{6},0)$；
∵CD⊥x轴于D，
∴D的横坐标与C相同，纵坐标为0，即$D(\sqrt{6},0)$。
3. 计算△ABD的面积：
BD的长度为$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$，
△ABD的高为点A到x轴的距离，即$|y_A|=\sqrt{6}$，
∴$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}× BD × |y_A|=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{6}=6$。
【答案】
6
【知识点】
函数交点求解；坐标与线段转化；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心是通过联立解析式得到交点坐标，再利用坐标的几何意义确定三角形的底和高，解题思路清晰，是反比例函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
7. [教材P54练习第4题改编]如图，A，B分别是x轴上的两点，C，D分别是反比例函数$y=\frac{5}{x}(x＞0),y=-\frac{3}{x}(x＜0)$图象上的两点，且四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的面积为
8
。答案
7.8
解析
【分析】
解题思路：首先利用平行四边形对边平行的性质，可得CD平行于x轴，即C、D两点纵坐标相等；平行四边形的面积=底×高，这里底为CD的长度，高为C、D两点纵坐标的绝对值（因为AB在x轴上，CD到AB的距离就是纵坐标的大小）。我们可以通过设参数表示C、D两点的坐标，求出CD长度和高，相乘后参数会抵消，即可得到面积；也可以结合反比例函数k的几何意义，直接用两个k的绝对值相加得到结果。
【解析】
方法一：参数法
设点C的坐标为$(a,\frac{5}{a})$（$a＞0$），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD// AB$，
∵AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，即点D的纵坐标与点C相同，为$\frac{5}{a}$。
将$y=\frac{5}{a}$代入反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$，得：
$\frac{5}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-\frac{3a}{5}$，即点D坐标为$(-\frac{3a}{5},\frac{5}{a})$。
∴CD的长度为：$a - (-\frac{3a}{5})=\frac{8a}{5}$，
平行四边形的高为CD到x轴的距离，即$\frac{5}{a}$，
∴平行四边形ABCD的面积$S=CD × 高=\frac{8a}{5} × \frac{5}{a}=8$。
方法二：结合k的几何意义
分别过点D、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
由反比例函数k的几何意义可知：矩形DEO（y轴交点）的面积为$|k_1|=3$，矩形CFO（y轴交点）的面积为$|k_2|=5$，
∵CD=OE+OF，高=DE=CF，
∴$S_{平行四边形ABCD}=CD× DE=(OE+OF)× DE=OE× DE + OF× CF=3+5=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，核心是利用平行四边形的性质找到两点坐标的关联，计算时参数会自然消去，不需要求出参数的具体值，解题时要灵活运用反比例函数的坐标特征和k的几何意义简化计算。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用平行四边形对边平行的性质，可得CD平行于x轴，即C、D两点纵坐标相等；平行四边形的面积=底×高，这里底为CD的长度，高为C、D两点纵坐标的绝对值（因为AB在x轴上，CD到AB的距离就是纵坐标的大小）。我们可以通过设参数表示C、D两点的坐标，求出CD长度和高，相乘后参数会抵消，即可得到面积；也可以结合反比例函数k的几何意义，直接用两个k的绝对值相加得到结果。
【解析】
方法一：参数法
设点C的坐标为$(a,\frac{5}{a})$（$a＞0$），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD// AB$，
∵AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，即点D的纵坐标与点C相同，为$\frac{5}{a}$。
将$y=\frac{5}{a}$代入反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$，得：
$\frac{5}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-\frac{3a}{5}$，即点D坐标为$(-\frac{3a}{5},\frac{5}{a})$。
∴CD的长度为：$a - (-\frac{3a}{5})=\frac{8a}{5}$，
平行四边形的高为CD到x轴的距离，即$\frac{5}{a}$，
∴平行四边形ABCD的面积$S=CD × 高=\frac{8a}{5} × \frac{5}{a}=8$。
方法二：结合k的几何意义
分别过点D、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
由反比例函数k的几何意义可知：矩形DEO（y轴交点）的面积为$|k_1|=3$，矩形CFO（y轴交点）的面积为$|k_2|=5$，
∵CD=OE+OF，高=DE=CF，
∴$S_{平行四边形ABCD}=CD× DE=(OE+OF)× DE=OE× DE + OF× CF=3+5=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，核心是利用平行四边形的性质找到两点坐标的关联，计算时参数会自然消去，不需要求出参数的具体值，解题时要灵活运用反比例函数的坐标特征和k的几何意义简化计算。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$△ ABC$是等腰三角形，$AB$过原点$O$，底边$BC// x$轴，双曲线$y=\frac{k}{x}$过$A$，$B$两点，过点$C$作$CD// y$轴交双曲线于点$D$。若$S_{△ BCD}=12$，则$k$的值是（
A.$-6$
B.$-12$
C.$-\frac{9}{2}$
D.$-9$
C
）A.$-6$
B.$-12$
C.$-\frac{9}{2}$
D.$-9$
答案
8.C
解析
【分析】
本题可结合反比例函数的中心对称性、等腰三角形的性质，通过坐标法推导各点坐标，再结合三角形面积公式求解k值。首先，过原点的直线与双曲线交于A、B两点，可知A、B关于原点对称，可设点B的坐标简化计算；再由等腰三角形底边BC平行x轴，得A在BC的垂直平分线上，推导点C的坐标；接着根据CD平行y轴得到点D的坐标；最后利用直角三角形面积公式列方程即可求出k。
【解析】
设点$B$的坐标为$(t, \frac{k}{t})$（$t＞0$），
∵直线$AB$过原点，且$A$、$B$均在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$A$、$B$关于原点对称，即点$A$的坐标为$(-t, -\frac{k}{t})$。
∵$BC// x$轴，$△ ABC$是等腰三角形且$BC$为底边，
∴点$A$在$BC$的垂直平分线上，$BC$上所有点的纵坐标与$B$相同，均为$\frac{k}{t}$。
设点$C$的横坐标为$x_C$，由$BC$中点横坐标与$A$的横坐标相等，得：
$\frac{t+x_C}{2}=-t$，解得$x_C=-3t$，即$C(-3t, \frac{k}{t})$。
∵$CD// y$轴，
∴点$D$的横坐标与$C$相同为$-3t$，
又$D$在双曲线上，
∴$D$的纵坐标为$\frac{k}{-3t}=-\frac{k}{3t}$，即$D(-3t, -\frac{k}{3t})$。
由$BC// x$轴、$CD// y$轴，得$BC⊥ CD$，$△ BCD$为直角三角形：
$BC$的长度为$t-(-3t)=4t$，
$CD$的长度为$-\frac{k}{3t}-\frac{k}{t}=-\frac{4k}{3t}$（$k＜0$，长度为正），
则$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC × CD=\frac{1}{2}×4t×(-\frac{4k}{3t})=12$，
化简得$-\frac{8k}{3}=12$，解得$k=-\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的对称性；等腰三角形的性质；坐标法求面积
【点评】
本题是反比例函数中k值求解的典型题型，综合了函数性质与几何图形特征，解题的关键是合理设参数表示各点坐标，利用对称性和等腰三角形的性质简化坐标推导，再结合面积公式建立方程求解，能有效考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题可结合反比例函数的中心对称性、等腰三角形的性质，通过坐标法推导各点坐标，再结合三角形面积公式求解k值。首先，过原点的直线与双曲线交于A、B两点，可知A、B关于原点对称，可设点B的坐标简化计算；再由等腰三角形底边BC平行x轴，得A在BC的垂直平分线上，推导点C的坐标；接着根据CD平行y轴得到点D的坐标；最后利用直角三角形面积公式列方程即可求出k。
【解析】
设点$B$的坐标为$(t, \frac{k}{t})$（$t＞0$），
∵直线$AB$过原点，且$A$、$B$均在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$A$、$B$关于原点对称，即点$A$的坐标为$(-t, -\frac{k}{t})$。
∵$BC// x$轴，$△ ABC$是等腰三角形且$BC$为底边，
∴点$A$在$BC$的垂直平分线上，$BC$上所有点的纵坐标与$B$相同，均为$\frac{k}{t}$。
设点$C$的横坐标为$x_C$，由$BC$中点横坐标与$A$的横坐标相等，得：
$\frac{t+x_C}{2}=-t$，解得$x_C=-3t$，即$C(-3t, \frac{k}{t})$。
∵$CD// y$轴，
∴点$D$的横坐标与$C$相同为$-3t$，
又$D$在双曲线上，
∴$D$的纵坐标为$\frac{k}{-3t}=-\frac{k}{3t}$，即$D(-3t, -\frac{k}{3t})$。
由$BC// x$轴、$CD// y$轴，得$BC⊥ CD$，$△ BCD$为直角三角形：
$BC$的长度为$t-(-3t)=4t$，
$CD$的长度为$-\frac{k}{3t}-\frac{k}{t}=-\frac{4k}{3t}$（$k＜0$，长度为正），
则$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC × CD=\frac{1}{2}×4t×(-\frac{4k}{3t})=12$，
化简得$-\frac{8k}{3}=12$，解得$k=-\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的对称性；等腰三角形的性质；坐标法求面积
【点评】
本题是反比例函数中k值求解的典型题型，综合了函数性质与几何图形特征，解题的关键是合理设参数表示各点坐标，利用对称性和等腰三角形的性质简化坐标推导，再结合面积公式建立方程求解，能有效考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
9.如图，A，B是双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上的点，A，B两点的横坐标分别是a，2a，线段AB的延长线交x轴于点C.若$S_{△ AOC}=6$，则k的值为
4
。答案
9.4
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据反比例函数表达式，结合A、B的横坐标写出两点的坐标；再利用待定系数法求出直线AB的解析式，求出直线与x轴交点C的坐标，得到OC的长度；最后根据△AOC的面积公式列方程，化简后即可求出k的值，计算过程中参数a会自然消去，无需单独求解a。
【解析】
解：
∵A、B是双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上的点，横坐标分别为$a$、$2a$，
∴代入反比例函数解析式得：$A(a,\frac{k}{a})$，$B(2a,\frac{k}{2a})$。
设直线AB的解析式为$y=mx+b$，将A、B坐标代入得：
$\begin{cases} \frac{k}{a}=ma+b \\ \frac{k}{2a}=2ma+b \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得：$\frac{k}{2a}=-ma$，解得$m=-\frac{k}{2a^2}$，
将$m=-\frac{k}{2a^2}$代入$\frac{k}{a}=ma+b$，解得$b=\frac{3k}{2a}$，
∴直线AB的解析式为$y=-\frac{k}{2a^2}x+\frac{3k}{2a}$。
令$y=0$，解得$x=3a$，即点C坐标为$(3a,0)$，$OC=3a$。
△AOC的高为点A的纵坐标$\frac{k}{a}$，由$S_{△ AOC}=6$得：
$\frac{1}{2} × OC × \frac{k}{a}=6$，代入$OC=3a$：
$\frac{1}{2} × 3a × \frac{k}{a}=6$，化简得$\frac{3k}{2}=6$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数中求k值的典型题型，将函数坐标、一次函数解析式求解、面积计算相结合，解题的核心是正确表示各点坐标，计算过程中参数a可直接消去，降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先根据反比例函数表达式，结合A、B的横坐标写出两点的坐标；再利用待定系数法求出直线AB的解析式，求出直线与x轴交点C的坐标，得到OC的长度；最后根据△AOC的面积公式列方程，化简后即可求出k的值，计算过程中参数a会自然消去，无需单独求解a。
【解析】
解：
∵A、B是双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上的点，横坐标分别为$a$、$2a$，
∴代入反比例函数解析式得：$A(a,\frac{k}{a})$，$B(2a,\frac{k}{2a})$。
设直线AB的解析式为$y=mx+b$，将A、B坐标代入得：
$\begin{cases} \frac{k}{a}=ma+b \\ \frac{k}{2a}=2ma+b \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得：$\frac{k}{2a}=-ma$，解得$m=-\frac{k}{2a^2}$，
将$m=-\frac{k}{2a^2}$代入$\frac{k}{a}=ma+b$，解得$b=\frac{3k}{2a}$，
∴直线AB的解析式为$y=-\frac{k}{2a^2}x+\frac{3k}{2a}$。
令$y=0$，解得$x=3a$，即点C坐标为$(3a,0)$，$OC=3a$。
△AOC的高为点A的纵坐标$\frac{k}{a}$，由$S_{△ AOC}=6$得：
$\frac{1}{2} × OC × \frac{k}{a}=6$，代入$OC=3a$：
$\frac{1}{2} × 3a × \frac{k}{a}=6$，化简得$\frac{3k}{2}=6$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数中求k值的典型题型，将函数坐标、一次函数解析式求解、面积计算相结合，解题的核心是正确表示各点坐标，计算过程中参数a可直接消去，降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
10. [2024·蚌埠期末]如图，平行于y轴的直线与函数$y_1=\frac{k}{x}(x＞0)$和$y_2=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象分别交于A，B两点，与x轴交于点D，OA交双曲线$y_2=\frac{2}{x}$于点C，连接CD. 若$△ OCD$的面积为2，则$k=$
8
.答案
10.8
解析
【分析】
解题时先结合反比例函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标，再根据△OCD的面积求出点D横坐标与点C横坐标的关系；最后利用O、C、A三点共线的性质，即同一直线上点的横纵坐标比值相等，结合点A在反比例函数$y_1$上的特征，即可求出k的值。
【解析】
设点C的坐标为$(m, \frac{2}{m})$（C在$y_2=\frac{2}{x}(x＞0)$上，满足反比例函数坐标关系），设点D的坐标为$(t, 0)$。
1. 根据$△ OCD$的面积为2，$△ OCD$的底为$OD=t$，高为点C的纵坐标$\frac{2}{m}$，由三角形面积公式：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2} × OD × y_C = 2$
代入得：$\frac{1}{2} × t × \frac{2}{m} = 2$，化简得$\frac{t}{m}=2$，即$t=2m$。
2. 因为O、C、A三点共线，且直线OA过原点，所以直线OA上任意点的横纵坐标比值相等，即$\frac{y_C}{x_C}=\frac{y_A}{x_A}$。
又AD平行于y轴，所以点A的横坐标与D相同为$t$，点A在$y_1=\frac{k}{x}$上，故A的坐标为$(t, \frac{k}{t})$。
将C、A坐标代入比例关系：
$\frac{\frac{2}{m}}{m} = \frac{\frac{k}{t}}{t}$
化简得：$\frac{2}{m^2}=\frac{k}{t^2}$。
3. 将$t=2m$代入上式：
$\frac{2}{m^2}=\frac{k}{(2m)^2}=\frac{k}{4m^2}$
两边同乘$4m^2$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数的综合题，解题核心是利用共线点的坐标比例特性和三角形面积公式建立参数关系，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时先结合反比例函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标，再根据△OCD的面积求出点D横坐标与点C横坐标的关系；最后利用O、C、A三点共线的性质，即同一直线上点的横纵坐标比值相等，结合点A在反比例函数$y_1$上的特征，即可求出k的值。
【解析】
设点C的坐标为$(m, \frac{2}{m})$（C在$y_2=\frac{2}{x}(x＞0)$上，满足反比例函数坐标关系），设点D的坐标为$(t, 0)$。
1. 根据$△ OCD$的面积为2，$△ OCD$的底为$OD=t$，高为点C的纵坐标$\frac{2}{m}$，由三角形面积公式：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2} × OD × y_C = 2$
代入得：$\frac{1}{2} × t × \frac{2}{m} = 2$，化简得$\frac{t}{m}=2$，即$t=2m$。
2. 因为O、C、A三点共线，且直线OA过原点，所以直线OA上任意点的横纵坐标比值相等，即$\frac{y_C}{x_C}=\frac{y_A}{x_A}$。
又AD平行于y轴，所以点A的横坐标与D相同为$t$，点A在$y_1=\frac{k}{x}$上，故A的坐标为$(t, \frac{k}{t})$。
将C、A坐标代入比例关系：
$\frac{\frac{2}{m}}{m} = \frac{\frac{k}{t}}{t}$
化简得：$\frac{2}{m^2}=\frac{k}{t^2}$。
3. 将$t=2m$代入上式：
$\frac{2}{m^2}=\frac{k}{(2m)^2}=\frac{k}{4m^2}$
两边同乘$4m^2$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数的综合题，解题核心是利用共线点的坐标比例特性和三角形面积公式建立参数关系，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
