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1. 下列关系式:①$y=-2x$；②$y=\frac{2}{x}$；③$xy=-1$；④$y=\frac{2}{x-1}$；⑤$y=2x^{-1}$；⑥$y=\frac{3}{x^2}$。其中$y$是$x$的反比例函数的有(填序号)。
答案
解：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可写成$xy=k$（$k≠0$）或$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，据此逐一判断：
①$y=-2x$是正比例函数，不属于反比例函数；
②$y=\frac{2}{x}$符合反比例函数的一般形式，是反比例函数；
③$xy=-1$可变形为$y=\frac{-1}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
④$y=\frac{2}{x-1}$的分母为$x-1$，自变量不是$x$，不是$y$关于$x$的反比例函数；
⑤$y=2x^{-1}$可变形为$y=\frac{2}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑥$y=\frac{3}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数定义，不是反比例函数。
所以其中$y$是$x$的反比例函数的有$\boldsymbol{②③⑤}$。
①$y=-2x$是正比例函数，不属于反比例函数；
②$y=\frac{2}{x}$符合反比例函数的一般形式，是反比例函数；
③$xy=-1$可变形为$y=\frac{-1}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
④$y=\frac{2}{x-1}$的分母为$x-1$，自变量不是$x$，不是$y$关于$x$的反比例函数；
⑤$y=2x^{-1}$可变形为$y=\frac{2}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑥$y=\frac{3}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数定义，不是反比例函数。
所以其中$y$是$x$的反比例函数的有$\boldsymbol{②③⑤}$。
2.反比例函数$y=-\frac{2}{3x}$中相应的k的值为。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
解析
解：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），
将$y=-\frac{2}{3x}$变形为标准形式可得$y=\frac{-\frac{2}{3}}{x}$，
对比可知相应的$k$的值为$-\frac{2}{3}$。
最终
将$y=-\frac{2}{3x}$变形为标准形式可得$y=\frac{-\frac{2}{3}}{x}$，
对比可知相应的$k$的值为$-\frac{2}{3}$。
最终
3.若反比例函数的图象经过点(2，－3)，(a，1)，则a＝.
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
解：设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(2,-3)$代入解析式，得
$-3=\frac{k}{2}$，
解得$k=-6$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将点$(a,1)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得
$1=-\frac{6}{a}$，
解得$a=-6$。
最终
将点$(2,-3)$代入解析式，得
$-3=\frac{k}{2}$，
解得$k=-6$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将点$(a,1)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得
$1=-\frac{6}{a}$，
解得$a=-6$。
最终
4.若反比例函数的解析式为$y=\frac{m+3}{x}$，则m的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{m≠ -3}$
解析
解：
根据反比例函数的定义，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k≠0$，
在$y=\frac{m+3}{x}$中，比例系数为$m+3$，因此：
$m+3≠0$
解得$m≠ -3$
最终
根据反比例函数的定义，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k≠0$，
在$y=\frac{m+3}{x}$中，比例系数为$m+3$，因此：
$m+3≠0$
解得$m≠ -3$
最终
5.若反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象经过点$A(a-2,3)$，则$a=$。
答案
解：
将点$A(a-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{12}{x}$，得
$3=\frac{12}{a-2}$
两边同乘$(a-2)$，得
$3(a-2)=12$
两边同时除以3，得
$a-2=4$
解得
$a=6$
将点$A(a-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{12}{x}$，得
$3=\frac{12}{a-2}$
两边同乘$(a-2)$，得
$3(a-2)=12$
两边同时除以3，得
$a-2=4$
解得
$a=6$
6.若$y+2$与$x$成反比例，当$x=2$时，$y=2$，则$y$关于$x$的函数解析式为。
答案
$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}-2}$
解析
解：
∵ $y+2$与$x$成反比例，
∴ 设对应的反比例关系式为 $y+2=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$x=2$，$y=2$代入上式，得：
$2+2=\frac{k}{2}$，
解得 $k=8$。
把$k=8$代回$y+2=\frac{k}{x}$，整理得：
$y=\frac{8}{x}-2$。
最终
∵ $y+2$与$x$成反比例，
∴ 设对应的反比例关系式为 $y+2=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$x=2$，$y=2$代入上式，得：
$2+2=\frac{k}{2}$，
解得 $k=8$。
把$k=8$代回$y+2=\frac{k}{x}$，整理得：
$y=\frac{8}{x}-2$。
最终
7.若函数$y=(m-1)x^{m^2 -2}$是反比例函数，
则$m$的值为。
则$m$的值为。
答案
解：
根据反比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 2 = -1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2 = -1$，得$m^2=1$，即$m=\pm1$。
由$m - 1 ≠ 0$，得$m ≠ 1$。
综上，$m=-1$。
根据反比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 2 = -1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2 = -1$，得$m^2=1$，即$m=\pm1$。
由$m - 1 ≠ 0$，得$m ≠ 1$。
综上，$m=-1$。
8.如下表所示，若x和y成正比例，则空格里的数是；若x和y成反比例，则空格里的数是。
答案
$\boldsymbol{10}$；$\boldsymbol{40}$
解析
解：
若x和y成正比例，则x与y的比值为定值：
$\frac{60}{20}=3$，即$x=3y$
当$x=30$时，$y=\frac{30}{3}=10$。
若x和y成反比例，则x与y的乘积为定值：
$60×20=1200$，即$xy=1200$
当$x=30$时，$y=\frac{1200}{30}=40$。
最终
若x和y成正比例，则x与y的比值为定值：
$\frac{60}{20}=3$，即$x=3y$
当$x=30$时，$y=\frac{30}{3}=10$。
若x和y成反比例，则x与y的乘积为定值：
$60×20=1200$，即$xy=1200$
当$x=30$时，$y=\frac{1200}{30}=40$。
最终
9.某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为28 m²，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为x m，另一边长为y m的矩形（如图所示）。依题意，得y关于x的函数解析式为（不必写出自变量x的取值范围）。
答案
$\boldsymbol{y=\dfrac{7}{x}}$
解析
解：
根据题意，四个小矩形的总面积为28 m²，可得：
$4xy = 28$
整理等式：
$xy = 7$
因此$y$关于$x$的函数解析式为：
$y=\frac{7}{x}$
最终
根据题意，四个小矩形的总面积为28 m²，可得：
$4xy = 28$
整理等式：
$xy = 7$
因此$y$关于$x$的函数解析式为：
$y=\frac{7}{x}$
最终
10. 提升题 列出下列问题中的函数解析式，并判断它们是否为反比例函数.
（1）加油时，显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价$y$（单位：元）关于加油量$x$（单位：L）的函数解析式；
（2）小明完成100 m赛跑时，时间$t$（单位：s）关于他跑步的平均速度$v$（单位：m/s）的函数解析式.
（1）加油时，显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价$y$（单位：元）关于加油量$x$（单位：L）的函数解析式；
（2）小明完成100 m赛跑时，时间$t$（单位：s）关于他跑步的平均速度$v$（单位：m/s）的函数解析式.
答案
解：
(1) 由“总价 = 单价 × 加油量”，得函数解析式为：
$y=4.75x\quad (x≥0)$
该函数是正比例函数，不是反比例函数。
(2) 由“路程 = 平均速度 × 时间”，得$100=vt$，变形得函数解析式为：
$t=\frac{100}{v}\quad (v＞0)$
该函数符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，是反比例函数。
(1) 由“总价 = 单价 × 加油量”，得函数解析式为：
$y=4.75x\quad (x≥0)$
该函数是正比例函数，不是反比例函数。
(2) 由“路程 = 平均速度 × 时间”，得$100=vt$，变形得函数解析式为：
$t=\frac{100}{v}\quad (v＞0)$
该函数符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，是反比例函数。
