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1.已知$\odot O$的直径为6 cm，点O到直线l的距离为5 cm，则l与$\odot O$的位置关系是 （
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
A
）A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
答案
1. A
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系：当$d＞r$时直线与圆相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。解题时第一步先根据已知直径算出圆的半径，第二步明确圆心到直线的距离，第三步比较二者大小就能对应得出位置关系。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为$6\ \mathrm{cm}$，因此$\odot O$的半径$r = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm}$。
又已知圆心$O$到直线$l$的距离$d = 5\ \mathrm{cm}$。
因为$5\ \mathrm{cm}＞3\ \mathrm{cm}$，即$d＞r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线$l$与$\odot O$相离。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；圆的直径与半径关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，解题时注意不要误将直径当作半径代入比较，只要熟练掌握$d$与$r$的大小关系对应三种位置关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系：当$d＞r$时直线与圆相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。解题时第一步先根据已知直径算出圆的半径，第二步明确圆心到直线的距离，第三步比较二者大小就能对应得出位置关系。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为$6\ \mathrm{cm}$，因此$\odot O$的半径$r = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm}$。
又已知圆心$O$到直线$l$的距离$d = 5\ \mathrm{cm}$。
因为$5\ \mathrm{cm}＞3\ \mathrm{cm}$，即$d＞r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线$l$与$\odot O$相离。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；圆的直径与半径关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，解题时注意不要误将直径当作半径代入比较，只要熟练掌握$d$与$r$的大小关系对应三种位置关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，$D$，$E$分别是$AC$，$AB$的中点，则以$DE$为直径的圆与$BC$的位置关系是（
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
B
）A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
答案
2. B
解析
【分析】
首先根据△ABC的三边长3、4、5，可通过勾股定理逆定理判断它是直角三角形，方便后续计算高。要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离，因此我们需要分别求出d和r：
1. D、E分别是AC、AB的中点，可知DE是△ABC的中位线，根据中位线性质可得到DE的长度、DE与BC平行的关系，就能算出圆的半径r；
2. 用面积法求出△ABC中BC边上的高，再结合中位线平行于BC的特点，可求出DE（即圆心）到BC的距离d；
3. 比较d和r的大小即可得出位置关系。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=BC^2$，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°。
2. 求BC边上的高h：
由三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=\frac{12}{5}=2.4$。
3. 求圆的半径r：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}=2.5$，
∴以DE为直径的圆的半径$r=\frac{DE}{2}=\frac{5}{4}=1.25$。
4. 求圆心到BC的距离d：
∵DE//BC，中位线DE到BC的距离为BC边上高的一半，
∴$d=\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}=1.2$。
5. 比较d与r的大小：
∵$1.2＜1.25$，即$d＜r$，
∴以DE为直径的圆与BC相交。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形中位线定理；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是几何综合基础题，将三角形性质和直线与圆位置关系的判定结合考查，解题的关键是牢记判断直线与圆位置关系的核心方法，灵活运用面积法、中位线性质求解相关量即可。
【难度系数】
0.65
首先根据△ABC的三边长3、4、5，可通过勾股定理逆定理判断它是直角三角形，方便后续计算高。要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离，因此我们需要分别求出d和r：
1. D、E分别是AC、AB的中点，可知DE是△ABC的中位线，根据中位线性质可得到DE的长度、DE与BC平行的关系，就能算出圆的半径r；
2. 用面积法求出△ABC中BC边上的高，再结合中位线平行于BC的特点，可求出DE（即圆心）到BC的距离d；
3. 比较d和r的大小即可得出位置关系。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴$AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=BC^2$，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°。
2. 求BC边上的高h：
由三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=\frac{12}{5}=2.4$。
3. 求圆的半径r：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}=2.5$，
∴以DE为直径的圆的半径$r=\frac{DE}{2}=\frac{5}{4}=1.25$。
4. 求圆心到BC的距离d：
∵DE//BC，中位线DE到BC的距离为BC边上高的一半，
∴$d=\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}=1.2$。
5. 比较d与r的大小：
∵$1.2＜1.25$，即$d＜r$，
∴以DE为直径的圆与BC相交。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形中位线定理；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是几何综合基础题，将三角形性质和直线与圆位置关系的判定结合考查，解题的关键是牢记判断直线与圆位置关系的核心方法，灵活运用面积法、中位线性质求解相关量即可。
【难度系数】
0.65
3.已知$\odot O$的半径为5 cm，点O到直线l的距离为d，当$d=4$ cm时，直线l与$\odot O$
相交
；当$d=$5
cm时，直线l与$\odot O$相切；当$d=6$ cm时，直线l与$\odot O$相离
。答案
3. 相交 5 相离
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记直线与圆位置关系的判定规则：设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，①当$d＜r$时，直线与圆相交；②当$d=r$时，直线与圆相切；③当$d＞r$时，直线与圆相离。解题时只需将题干给出的半径与对应$d$的值比较大小，匹配对应规则即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$：
1. 当$d=4\mathrm{cm}$时，因为$4\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$，即$d＜r$，所以直线$l$与$\odot O$相交；
2. 若直线$l$与$\odot O$相切，需满足$d=r$，因此$d=5\mathrm{cm}$；
3. 当$d=6\mathrm{cm}$时，因为$6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$，所以直线$l$与$\odot O$相离。
【答案】
相交；5；相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查对直线与圆位置关系判定规则的识记和简单应用，掌握判定规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是牢记直线与圆位置关系的判定规则：设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，①当$d＜r$时，直线与圆相交；②当$d=r$时，直线与圆相切；③当$d＞r$时，直线与圆相离。解题时只需将题干给出的半径与对应$d$的值比较大小，匹配对应规则即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$：
1. 当$d=4\mathrm{cm}$时，因为$4\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$，即$d＜r$，所以直线$l$与$\odot O$相交；
2. 若直线$l$与$\odot O$相切，需满足$d=r$，因此$d=5\mathrm{cm}$；
3. 当$d=6\mathrm{cm}$时，因为$6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$，所以直线$l$与$\odot O$相离。
【答案】
相交；5；相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查对直线与圆位置关系判定规则的识记和简单应用，掌握判定规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,3 cm长为半径作⊙A,当AB=
6
cm时,BC与⊙A相切。答案
4. 6
解析
【分析】首先明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。因此我们过点A作BC的垂线，该垂线段的长度需等于⊙A的半径3cm。再结合等腰△ABC的性质，以及直角三角形中30°角对应的直角边是斜边一半的规律，就能计算出AB的长度。
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵ BC与⊙A相切，⊙A的半径为3cm，
∴ AD=3cm（切线的性质：圆心到切线的距离等于半径）。
∵ AB=AC，∠B=30°，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴ 30°角∠B所对的直角边AD等于斜边AB的一半，即$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴ $AB=2AD=2×3=6$（cm）。
【答案】6
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题的突破口是抓住相切时圆心到直线距离等于半径这一核心条件，再结合特殊三角形的性质计算边长，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】0.7
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵ BC与⊙A相切，⊙A的半径为3cm，
∴ AD=3cm（切线的性质：圆心到切线的距离等于半径）。
∵ AB=AC，∠B=30°，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴ 30°角∠B所对的直角边AD等于斜边AB的一半，即$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴ $AB=2AD=2×3=6$（cm）。
【答案】6
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题的突破口是抓住相切时圆心到直线距离等于半径这一核心条件，再结合特殊三角形的性质计算边长，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】0.7
5. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CA=6$，$CB=8$，以$C$为圆心，$r$为半径作$\odot C$。当$r$为多少时，$\odot C$与$AB$相切？
答案
5. $r=\frac{24}{5}$
解析
【分析】
要确定⊙C与AB相切时r的取值，首先回忆直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径，因此本题只需计算出点C到斜边AB的距离，该距离就是r的值。解题步骤可分为：①先用勾股定理求出斜边AB的长度；②利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等面积法求出C到AB的距离，即为所求r。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CA=6$，$CB=8$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，当$\odot C$与AB相切时，半径$r=CD$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· CA· CB=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$，
化简得：$24=5CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$，
因此$r=\frac{24}{5}$。
【答案】
$r=\frac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础题型，解题核心是抓住相切时半径等于圆心到直线的距离这一关键条件，结合勾股定理和等面积法即可快速求解，要熟练掌握相切的判定和性质。
【难度系数】
0.8
要确定⊙C与AB相切时r的取值，首先回忆直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径，因此本题只需计算出点C到斜边AB的距离，该距离就是r的值。解题步骤可分为：①先用勾股定理求出斜边AB的长度；②利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等面积法求出C到AB的距离，即为所求r。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CA=6$，$CB=8$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，当$\odot C$与AB相切时，半径$r=CD$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· CA· CB=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$，
化简得：$24=5CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$，
因此$r=\frac{24}{5}$。
【答案】
$r=\frac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础题型，解题核心是抓住相切时半径等于圆心到直线的距离这一关键条件，结合勾股定理和等面积法即可快速求解，要熟练掌握相切的判定和性质。
【难度系数】
0.8
