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6.在一条笔直的高速公路上有A,B,C三地，C地位于A,B两地之间。甲、乙两车分别从A,B两地同时出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止。从甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(单位:km)与甲车行驶时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示，当甲车出发
$\dfrac{8}{3}$
h时，两车相距280 km。答案
$\dfrac{8}{3}$
解析
【分析】
解题首先要读懂函数图象的实际意义：纵轴y表示两车到C地的距离，横轴t表示甲车出发的时间。第一步先求甲、乙两车的速度：根据图象可知A、B到C地的距离都是360km，甲从A到C总用时4h，可直接求甲的速度；乙在甲车出发1h后才开始向C地行驶，到甲车出发4h时到达C，可求乙的行驶时间，进而算出乙的速度。第二步判断两车相距280km的时间区间：先计算t=1h时两车的距离，发现大于280km，说明目标时刻在t＞1的区间。第三步找等量关系列方程：t＞1时两车分别在C地两侧，两车总距离等于甲到C的距离加乙到C的距离，据此列方程求解即可。
【解析】
解：1. 计算甲、乙两车的速度
由图象可得，A地到C地的路程为360km，甲全程用时4h，
甲的速度：$v_甲=360÷4=90\ \mathrm{km/h}$。
乙从B地到C地的路程也为360km，实际行驶时间为$4-1=3\ \mathrm{h}$，
乙的速度：$v_乙=360÷3=120\ \mathrm{km/h}$。
2. 确定目标时刻的区间
t=1h时，甲行驶路程为$90×1=90\ \mathrm{km}$，距C地$360-90=270\ \mathrm{km}$；乙还未行驶，距C地360km，此时两车相距$270+360=630\ \mathrm{km}＞280\ \mathrm{km}$，因此两车相距280km时$t＞1$。
3. 列方程求解
设甲车出发t h时两车相距280km，此时：
甲距C地的距离为$360-90t$，
乙行驶时长为$(t-1)\ \mathrm{h}$，距C地的距离为$360-120(t-1)$，
两车总距离为两者到C地的距离和，列方程：
$(360-90t)+[360-120(t-1)]=280$
去括号得：$360-90t+360-120t+120=280$
合并同类项得：$840-210t=280$
解得：$t=\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}＜4$，符合题意。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
一次函数图象应用，一元一次方程应用，行程问题
【点评】
本题结合函数图象考查实际行程问题，核心是读懂图象中横纵坐标、特殊点的实际含义，明确不同时间段两车的行驶状态，找到等量关系列方程，最后要注意验证解是否符合实际行驶的时间范围。
【难度系数】
0.6
解题首先要读懂函数图象的实际意义：纵轴y表示两车到C地的距离，横轴t表示甲车出发的时间。第一步先求甲、乙两车的速度：根据图象可知A、B到C地的距离都是360km，甲从A到C总用时4h，可直接求甲的速度；乙在甲车出发1h后才开始向C地行驶，到甲车出发4h时到达C，可求乙的行驶时间，进而算出乙的速度。第二步判断两车相距280km的时间区间：先计算t=1h时两车的距离，发现大于280km，说明目标时刻在t＞1的区间。第三步找等量关系列方程：t＞1时两车分别在C地两侧，两车总距离等于甲到C的距离加乙到C的距离，据此列方程求解即可。
【解析】
解：1. 计算甲、乙两车的速度
由图象可得，A地到C地的路程为360km，甲全程用时4h，
甲的速度：$v_甲=360÷4=90\ \mathrm{km/h}$。
乙从B地到C地的路程也为360km，实际行驶时间为$4-1=3\ \mathrm{h}$，
乙的速度：$v_乙=360÷3=120\ \mathrm{km/h}$。
2. 确定目标时刻的区间
t=1h时，甲行驶路程为$90×1=90\ \mathrm{km}$，距C地$360-90=270\ \mathrm{km}$；乙还未行驶，距C地360km，此时两车相距$270+360=630\ \mathrm{km}＞280\ \mathrm{km}$，因此两车相距280km时$t＞1$。
3. 列方程求解
设甲车出发t h时两车相距280km，此时：
甲距C地的距离为$360-90t$，
乙行驶时长为$(t-1)\ \mathrm{h}$，距C地的距离为$360-120(t-1)$，
两车总距离为两者到C地的距离和，列方程：
$(360-90t)+[360-120(t-1)]=280$
去括号得：$360-90t+360-120t+120=280$
合并同类项得：$840-210t=280$
解得：$t=\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}＜4$，符合题意。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
一次函数图象应用，一元一次方程应用，行程问题
【点评】
本题结合函数图象考查实际行程问题，核心是读懂图象中横纵坐标、特殊点的实际含义，明确不同时间段两车的行驶状态，找到等量关系列方程，最后要注意验证解是否符合实际行驶的时间范围。
【难度系数】
0.6
7.某通信公司手机通话收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种,设A套餐每月话费为$y_1$元,B套餐每月话费为$y_2$元,月通话时间为$x$ min。
(1)分别写出$y_1$与$x$,$y_2$与$x$之间的函数表达式;
(2)月通话时间为多长时,A,B两种套餐收费一样?
(3)什么情况下A套餐更省钱?
(1)分别写出$y_1$与$x$,$y_2$与$x$之间的函数表达式;
(2)月通话时间为多长时,A,B两种套餐收费一样?
(3)什么情况下A套餐更省钱?
答案
7. 解:(1)A套餐:$y_1=0.1x+15$；
B套餐:$y_2=0.15x$。
(2)由$0.1x+15=0.15x$,得$x=300$。
所以当月通话时间是300 min时,A,B两种套餐收费一样。
(3)当月通话时间大于300 min时,A套餐更省钱。
B套餐:$y_2=0.15x$。
(2)由$0.1x+15=0.15x$,得$x=300$。
所以当月通话时间是300 min时,A,B两种套餐收费一样。
(3)当月通话时间大于300 min时,A套餐更省钱。
解析
【分析】
本题是通信套餐收费的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 写函数表达式时，根据两种套餐的收费规则，总费用=月租费+通话费，A套餐有固定月租，将月租和每分钟通话费乘通话时间相加即可得到$y_1$与$x$的关系；B套餐无月租，直接用每分钟通话费乘通话时间即可得到$y_2$与$x$的关系。
(2) 两种套餐收费一样即两个函数值相等，可列一元一次方程求解$x$的值，就是对应的通话时间。
(3) A套餐更省钱即A的费用小于B的费用，也就是$y_1＜y_2$，列一元一次不等式求解，就能得到对应的通话时间范围。
【解析】
(1) 根据A套餐收费规则：每月话费=月租费15元+每分钟0.1元×通话时长，可得：
$y_1 = 0.1x + 15$（$x≥0$）
根据B套餐收费规则：每月话费=每分钟0.15元×通话时长，可得：
$y_2 = 0.15x$（$x≥0$）
(2) 若A、B两种套餐收费一样，则$y_1=y_2$，列方程得：
$0.1x + 15 = 0.15x$
移项得：$15 = 0.15x - 0.1x$
合并同类项得：$0.05x = 15$
系数化为1得：$x = 300$
(3) 若A套餐更省钱，则$y_1 ＜ y_2$，列不等式得：
$0.1x + 15 ＜ 0.15x$
移项得：$15 ＜ 0.15x - 0.1x$
合并同类项得：$0.05x ＞ 15$
系数化为1得：$x ＞ 300$
【答案】
(1)A套餐:$y_1=0.1x+15$；B套餐:$y_2=0.15x$。
(2)当月通话时间是300 min时,A,B两种套餐收费一样。
(3)当月通话时间大于300 min时,A套餐更省钱。
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中的套餐收费场景，考查数学知识的实际应用能力，只需根据题意准确建立函数关系，再结合方程、不等式求解即可得到对应结论。
【难度系数】
0.8
本题是通信套餐收费的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 写函数表达式时，根据两种套餐的收费规则，总费用=月租费+通话费，A套餐有固定月租，将月租和每分钟通话费乘通话时间相加即可得到$y_1$与$x$的关系；B套餐无月租，直接用每分钟通话费乘通话时间即可得到$y_2$与$x$的关系。
(2) 两种套餐收费一样即两个函数值相等，可列一元一次方程求解$x$的值，就是对应的通话时间。
(3) A套餐更省钱即A的费用小于B的费用，也就是$y_1＜y_2$，列一元一次不等式求解，就能得到对应的通话时间范围。
【解析】
(1) 根据A套餐收费规则：每月话费=月租费15元+每分钟0.1元×通话时长，可得：
$y_1 = 0.1x + 15$（$x≥0$）
根据B套餐收费规则：每月话费=每分钟0.15元×通话时长，可得：
$y_2 = 0.15x$（$x≥0$）
(2) 若A、B两种套餐收费一样，则$y_1=y_2$，列方程得：
$0.1x + 15 = 0.15x$
移项得：$15 = 0.15x - 0.1x$
合并同类项得：$0.05x = 15$
系数化为1得：$x = 300$
(3) 若A套餐更省钱，则$y_1 ＜ y_2$，列不等式得：
$0.1x + 15 ＜ 0.15x$
移项得：$15 ＜ 0.15x - 0.1x$
合并同类项得：$0.05x ＞ 15$
系数化为1得：$x ＞ 300$
【答案】
(1)A套餐:$y_1=0.1x+15$；B套餐:$y_2=0.15x$。
(2)当月通话时间是300 min时,A,B两种套餐收费一样。
(3)当月通话时间大于300 min时,A套餐更省钱。
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中的套餐收费场景，考查数学知识的实际应用能力，只需根据题意准确建立函数关系，再结合方程、不等式求解即可得到对应结论。
【难度系数】
0.8
8.已知函数$y=kx+b$($k,b$是常数,且$k≠0$)的图象如图所示,求:
(1)方程$kx+b=0$的解;
(2)$k+b$的值;
(3)方程$kx+b=-3$的解。
(1)方程$kx+b=0$的解;
(2)$k+b$的值;
(3)方程$kx+b=-3$的解。
答案
8. 解:(1)根据图象知,当$y=0$时,$x=2$,
故方程$kx+b=0$的解是$x=2$。
(2)根据图象知,该直线经过点$(2,0)$和$(0,-2)$,
则$\begin{cases}2k+b=0,\\b=-2。\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-2,\end{cases}$
故$k+b=1-2=-1$。
(3)根据图象知,当$y=-3$时,$x=-1$,
故方程$kx+b=-3$的解是$x=-1$。
故方程$kx+b=0$的解是$x=2$。
(2)根据图象知,该直线经过点$(2,0)$和$(0,-2)$,
则$\begin{cases}2k+b=0,\\b=-2。\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-2,\end{cases}$
故$k+b=1-2=-1$。
(3)根据图象知,当$y=-3$时,$x=-1$,
故方程$kx+b=-3$的解是$x=-1$。
解析
【分析】
解决本题需结合一次函数图象与一元一次方程的关系逐步推导：
1. 方程$kx+b=0$的解对应函数$y=kx+b$中$y=0$时的自变量$x$，即直线与$x$轴交点的横坐标，直接读图即可得到；
2. 求$k+b$需要先确定$k$、$b$的取值，从图象中提取直线经过的两个已知点坐标，用待定系数法代入解析式建立二元一次方程组，解出$k$、$b$后再计算和即可；
3. 方程$kx+b=-3$的解对应函数$y=-3$时的$x$值，可直接读图得到，也可代入已求出的解析式解方程得到结果。
【解析】
(1) 观察图象可知，直线$y=kx+b$与$x$轴的交点为$(2,0)$，即当$y=0$时，$x=2$，因此方程$kx+b=0$的解是$x=2$。
(2) 由图象得直线经过点$(2,0)$和$(0,-2)$，将两点坐标代入$y=kx+b$得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 0\\b = -2\end{cases}$
把$b=-2$代入$2k+b=0$，得$2k-2=0$，解得$k=1$。
因此$k+b=1+(-2)=-1$。
(3) 观察图象可得，当$y=-3$时，对应的$x$值为$-1$，因此方程$kx+b=-3$的解是$x=-1$（也可将$k=1,b=-2$代入方程解得$x=-1$）。
【答案】
(1) $x=2$
(2) $-1$
(3) $x=-1$
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次方程；待定系数法求解析式
【点评】
本题重点考查一次函数与一元一次方程的对应关系，解题关键是能准确从图象中读取坐标信息，掌握待定系数法求解析式的方法，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合一次函数图象与一元一次方程的关系逐步推导：
1. 方程$kx+b=0$的解对应函数$y=kx+b$中$y=0$时的自变量$x$，即直线与$x$轴交点的横坐标，直接读图即可得到；
2. 求$k+b$需要先确定$k$、$b$的取值，从图象中提取直线经过的两个已知点坐标，用待定系数法代入解析式建立二元一次方程组，解出$k$、$b$后再计算和即可；
3. 方程$kx+b=-3$的解对应函数$y=-3$时的$x$值，可直接读图得到，也可代入已求出的解析式解方程得到结果。
【解析】
(1) 观察图象可知，直线$y=kx+b$与$x$轴的交点为$(2,0)$，即当$y=0$时，$x=2$，因此方程$kx+b=0$的解是$x=2$。
(2) 由图象得直线经过点$(2,0)$和$(0,-2)$，将两点坐标代入$y=kx+b$得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 0\\b = -2\end{cases}$
把$b=-2$代入$2k+b=0$，得$2k-2=0$，解得$k=1$。
因此$k+b=1+(-2)=-1$。
(3) 观察图象可得，当$y=-3$时，对应的$x$值为$-1$，因此方程$kx+b=-3$的解是$x=-1$（也可将$k=1,b=-2$代入方程解得$x=-1$）。
【答案】
(1) $x=2$
(2) $-1$
(3) $x=-1$
【知识点】
一次函数的图象；一次函数与一元一次方程；待定系数法求解析式
【点评】
本题重点考查一次函数与一元一次方程的对应关系，解题关键是能准确从图象中读取坐标信息，掌握待定系数法求解析式的方法，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.8
9.某地出租车计费方法如图所示(图中实线部分),其中$x$(单位:km)表示行驶里程，$y$(单位:元)表示车费。请根据图象信息解答下列问题：
(1)该地出租车的起步价是
(2)当$x＞2$时,求$y$与$x$之间的函数表达式；
(3)若某乘客乘出租车行驶的里程为18 km,则这位乘客需付车费多少元？
(1)该地出租车的起步价是
7
元；(2)当$x＞2$时,求$y$与$x$之间的函数表达式；
(3)若某乘客乘出租车行驶的里程为18 km,则这位乘客需付车费多少元？
答案
9. 解:(1)该地出租车的起步价是7元。
(2)当$x＞2$时,设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$。
因为函数图象过点$(0,4)$和$(4,10)$,
所以$\begin{cases}4=b,\\10=4k+b。\end{cases}$
解得$k=1.5,b=4$。
所以当$x＞2$时,$y$与$x$之间的函数表达式为$y=1.5x+4$。
(3)把$x=18$代入函数表达式$y=1.5x+4$,得$y=1.5×18+4=31$。
因此,这位乘客需付车费31元。
(2)当$x＞2$时,设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$。
因为函数图象过点$(0,4)$和$(4,10)$,
所以$\begin{cases}4=b,\\10=4k+b。\end{cases}$
解得$k=1.5,b=4$。
所以当$x＞2$时,$y$与$x$之间的函数表达式为$y=1.5x+4$。
(3)把$x=18$代入函数表达式$y=1.5x+4$,得$y=1.5×18+4=31$。
因此,这位乘客需付车费31元。
解析
【分析】
(1) 起步价是出租车行驶里程不超过起步里程时的固定收费，观察图象可知，行驶里程不超过2km时车费固定为7元，直接可得起步价；
(2) 当$x＞2$时，y与x符合一次函数关系，使用待定系数法求解：先设一次函数表达式为$y=kx+b$，再选取图象上的两个点代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解后即可得到函数表达式；
(3) 18km大于起步里程2km，因此将$x=18$代入第(2)问求出的函数表达式，计算得到的y值就是应付车费。
【解析】
(1) 观察图象可得，行驶里程不超过2km时，车费均为7元，因此该地出租车起步价是7元；
(2) 当$x＞2$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$。
由图象可知，函数图象延长线过点$(0,4)$，且过点$(4,10)$，将两点代入表达式得：
$\begin{cases} b=4 \\ 4k+b=10 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1.5 \\ b=4 \end{cases}$
因此当$x＞2$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=1.5x+4$；
(3) 因为$18＞2$，将$x=18$代入$y=1.5x+4$得：
$y=1.5×18+4=31$
因此这位乘客需付车费31元。
【答案】
(1) 7；(2) $y=1.5x+4（x＞2）$；(3) 31元
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数求值
【点评】
本题结合出租车计费的生活场景考查一次函数的应用，解题关键是从图象中提取有效信息，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，再代入对应自变量计算函数值，题目贴合生活，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 起步价是出租车行驶里程不超过起步里程时的固定收费，观察图象可知，行驶里程不超过2km时车费固定为7元，直接可得起步价；
(2) 当$x＞2$时，y与x符合一次函数关系，使用待定系数法求解：先设一次函数表达式为$y=kx+b$，再选取图象上的两个点代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解后即可得到函数表达式；
(3) 18km大于起步里程2km，因此将$x=18$代入第(2)问求出的函数表达式，计算得到的y值就是应付车费。
【解析】
(1) 观察图象可得，行驶里程不超过2km时，车费均为7元，因此该地出租车起步价是7元；
(2) 当$x＞2$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$。
由图象可知，函数图象延长线过点$(0,4)$，且过点$(4,10)$，将两点代入表达式得：
$\begin{cases} b=4 \\ 4k+b=10 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1.5 \\ b=4 \end{cases}$
因此当$x＞2$时，$y$与$x$的函数表达式为$y=1.5x+4$；
(3) 因为$18＞2$，将$x=18$代入$y=1.5x+4$得：
$y=1.5×18+4=31$
因此这位乘客需付车费31元。
【答案】
(1) 7；(2) $y=1.5x+4（x＞2）$；(3) 31元
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数求值
【点评】
本题结合出租车计费的生活场景考查一次函数的应用，解题关键是从图象中提取有效信息，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，再代入对应自变量计算函数值，题目贴合生活，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
