10. (★)计算: $2m^2n(m - 3mn^2)=$ 【 】

A.$2m^3n - 6m^3n^3$
B.$2m^3n - 3m^3n^3$
C.$2mn^2 - 6m^3n^3$
D.$2m^2n + 6m^3n^3$

A

根据单项式乘多项式法则，用单项式$2m^2n$分别乘括号内的每一项：
1. $2m^2n · m = 2m^3n$
2. $2m^2n · (-3mn^2) = -6m^3n^3$
将所得积相加，最终结果为$2m^3n - 6m^3n^3$。

11. (★★)下列计算错误的是 【 】

A.$-4a(2a^2 + 3a -1) = -8a^3 -12a^2 +4a$
B.$a^m(a^m -a^2 +1) = a^{mm} -a^{2m} +a^m$
C.$(-3x^2) · (4x^2 - \frac{4}{9}x +1) = -12x^4 + \frac{4}{3}x^3 -3x^2$
D.$(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · (-a)^2 = 2a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{4}{9}a^2$

B

根据单项式乘多项式法则、同底数幂乘法运算法则逐一验证选项：
1. 验证A：$-4a(2a^2+3a-1)=-4a·2a^2 -4a·3a +(-4a)·(-1)=-8a^3-12a^2+4a$，计算正确。
2. 验证B：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，$a^m· a^m=a^{m+m}=a^{2m}$，$a^m· a^2=a^{m+2}$，正确结果应为$a^{2m}-a^{m+2}+a^m$，原式计算错误。
3. 验证C：$(-3x^2)·(4x^2-\frac{4}{9}x+1)=-3x^2·4x^2 + (-3x^2)·(-\frac{4}{9}x) + (-3x^2)·1=-12x^4+\frac{4}{3}x^3-3x^2$，计算正确。
4. 验证D：先计算$(-a)^2=a^2$，再相乘得$(2a^2-\frac{2}{3}a-\frac{4}{9})· a^2=2a^4-\frac{2}{3}a^3-\frac{4}{9}a^2$，计算正确。

12. (★★)要使$-x^3(x^2+ax+1)+2x^4$中不含有x的四次项，则a的值为

$\boldsymbol{2}$

解：先展开并合并同类项：
$\begin{aligned}-x^3(x^2+ax+1)+2x^4&=-x^5 - ax^3· x - x^3·1 + 2x^4\\&=-x^5 - ax^4 - x^3 + 2x^4\\&=-x^5 + (2 - a)x^4 - x^3\end{aligned}$
因为式子中不含有x的四次项，所以x的四次项的系数为0，即：
$2 - a = 0$
解得：
$a=2$
最终

13. (★★)方程$3x(7-x)=18-3x(x-5)$的解为。

解：
去括号，得
$21x - 3x^2 = 18 - 3x^2 + 15x$
移项，得
$21x - 3x^2 + 3x^2 - 15x = 18$
合并同类项，得
$6x = 18$
系数化为1，得
$x = 3$

14. (★★)计算:
(1) $x^2 - x(x^2 + x - 1)$;
(2) $3a^2(a^3b^2 - 2a) - 4a(-a^2b)^2$.

解：
(1) 原式$=x^2 - (x^3 + x^2 - x)$
$=x^2 - x^3 - x^2 + x$
$=-x^3 + x$
(2) 原式$=3a^2 · a^3b^2 - 3a^2 · 2a - 4a · (a^4b^2)$
$=3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2$
$=-a^5b^2 - 6a^3$

15. (★★)如图,一张长方形硬纸片ABCD,长AD为$(5a^2 + 4b^2)$cm,宽AB为$6a^4$cm,在它的四个角上分别剪去一个边长为$2a^3$cm的小正方形(阴影部分所示),然后折成一个无盖的盒子,请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积.

解：
原长方形硬纸片的面积为：
$(5a^2 + 4b^2) · 6a^4 = 30a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
四个剪去的小正方形的总面积为：
$4 · (2a^3)^2 = 4 · 4a^6 = 16a^6 \ (\mathrm{cm}^2)$
折成无盖盒子所用硬纸片的面积为：
$(30a^6 + 24a^4b^2) - 16a^6 = 14a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
答：折成无盖盒子所用硬纸片的面积为$(14a^6 + 24a^4b^2)\ \mathrm{cm}^2$。

16. (★★★)某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2 - \frac{1}{2}x +1$，那么正确的计算结果是多少？

解：
由题意得，原多项式为：
$(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) - (-3x^2)$
$=x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2$
$=4x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
正确的计算结果为：
$(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)$
$=4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
$=-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
答：正确的计算结果是$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$。

17. (★★★)已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$的值.

解：
先利用单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)&=2xy· x^5y^2 + 2xy·(-3x^3y) + 2xy·(-4x)\\&=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y\end{aligned}$
将式子变形为含$x^2y$的幂的形式：
$2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
把$x^2y=3$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×3^3 -6×3^2 -8×3\\&=2×27 -6×9 -24\\&=54 -54 -24\\&=-24\end{aligned}$
最终值为$\boldsymbol{-24}$。