1. 如图，已知点$A(2, 0)$，$B(0, 4)$，$C(2, 4)$，若在所给的网格中存在一点$D$，使得$CD ⊥ AB$且$CD=AB$。
(1)点$D$的坐标为；
(2)将直线$AB$绕某一点旋转一定角度，使其与线段$CD$重合，则这个旋转中心的坐标为。

1. (1) (6, 6)
(2) (4, 2)或(1, 5)

【分析】
(1) 求解点D坐标时，先根据A、B坐标求出直线AB的斜率，结合两直线垂直斜率乘积为-1得到直线CD的斜率，写出CD的解析式；再根据CD与AB长度相等列方程求解，最后结合网格范围筛选出符合要求的D点。
(2) 旋转中心到每一组对应点的距离都相等，即旋转中心是两组对应点连线垂直平分线的交点；需分两种对应情况讨论：①A对应C、B对应D；②A对应D、B对应C，分别求两组对应点连线垂直平分线的交点即可。
【解析】
(1) ①设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(2,0)$、$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0\\b=4\end{cases}$，解得$k=-2$，即直线AB的斜率为-2。
②因为$CD⊥ AB$，所以直线CD的斜率为$\frac{1}{2}$，结合$C(2,4)$可得CD的解析式为：$y-4=\frac{1}{2}(x-2)$，整理得$y=\frac{1}{2}x+3$。
③计算AB长度：$AB=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}$，设$D(x,y)$，由$CD=AB$得$\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=2\sqrt{5}$，平方得$(x-2)^2+(y-4)^2=20$。
④将$y=\frac{1}{2}x+3$代入上式，解得$x=6$或$x=-2$，结合网格x的取值范围，取$x=6$，代入解析式得$y=6$，即$D(6,6)$。
(2) 旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点，分两种情况：
情况1：A对应C，B对应D
①线段AC端点为$A(2,0)$、$C(2,4)$，中点为$(2,2)$，AC为竖直线，其垂直平分线为$y=2$；
②线段BD端点为$B(0,4)$、$D(6,6)$，中点为$(3,5)$，BD斜率为$\frac{1}{3}$，其垂直平分线斜率为-3，解析式为$y-5=-3(x-3)$，即$y=-3x+14$；
③联立$y=2$与$y=-3x+14$，解得$x=4,y=2$，即旋转中心为$(4,2)$。
情况2：A对应D，B对应C
①线段BC端点为$B(0,4)$、$C(2,4)$，中点为$(1,4)$，BC为水平线，其垂直平分线为$x=1$；
②线段AD端点为$A(2,0)$、$D(6,6)$，中点为$(4,3)$，AD斜率为$\frac{3}{2}$，其垂直平分线斜率为$-\frac{2}{3}$，解析式为$y-3=-\frac{2}{3}(x-4)$，即$y=-\frac{2}{3}x+\frac{17}{3}$；
③将$x=1$代入上式得$y=5$，即旋转中心为$(1,5)$。
【答案】
(1) $\boxed{(6,6)}$
(2) $\boxed{(4,2)}$或$\boxed{(1,5)}$
【知识点】
一次函数的性质；旋转的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查一次函数、垂直的性质、旋转性质的综合应用，解题关键是掌握旋转中心的特点，注意分类讨论两组不同的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.65

2. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，$△ ABC$的顶点A，B，C均在格点上。
(1)$∠ ACB$的度数为；
(2)在如图所示的网格中，以点A为旋转中心，取旋转角等于$∠ BAC$，把$△ ABC$逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的$△ AB'C'$，并简要说明旋转后点C和点B的对应点点$C'$和点$B'$的位置是如何找到的。(不要求证明)

2. (1) 90°
(2) 略

【分析】
(1) 求∠ACB的度数时，我们可以先利用勾股定理计算出△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，就能得到对应角的度数。
(2) 绘制旋转后的△AB'C'，需依据旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、旋转角大小相等，可知AC'=AC，AB'=AB，且∠C'AC=∠B'AB=∠BAC，结合网格的格点特征找到满足条件的C'、B'，再顺次连接各点即可。
【解析】
(1) 设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC^2=3^2+4^2=25$，$BC^2=3^2+4^2=25$，$AB^2=1^2+7^2=50$，
因此$AC^2+BC^2=25+25=50=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形，直角对应顶点为C，故∠ACB=90°。
(2) 找点与作图：首先取格点C'，使得AC'长度等于AC，且∠C'AC与∠BAC大小相等；再取格点B'，使得AB'长度等于AB，且∠B'AB与∠BAC大小相等；最后顺次连接A、C'、B'三点，得到的△AB'C'就是旋转后的图形。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) 略
【知识点】
勾股定理的逆定理，旋转的性质，网格作图
【点评】
本题结合网格考查勾股相关计算与旋转作图，第一问基础，掌握勾股定理及逆定理即可快速求解；第二问需要准确理解旋转的性质，结合网格特征定位对应点，对几何作图能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6

任务导学
任务一
能利用旋转分析图案的形成
过程
探究1：如图所示的图案是由三个全等的四边形拼接而成的。将其视为一个整体，它可以看作是由哪个基本图形经过怎样的旋转得到的？

探究2：如图，请你观察图形，它可以看作是由哪个基本图形通过怎样的旋转得到的？

探究1 解：如图，这个图案可以看作是由四边形OABC绕点O按顺时针方向或逆时针方向旋转120°，240°得到的。
探究2 解：如图，连接OA，OB，则∠AOB=60°，故此图案可以看作是由基本图案绕点O按同一方向（顺时针或逆时针）旋转60°，120°，180°，240°，300°得到的。

【分析】
解决这类利用旋转分析图案形成过程的问题，可遵循三步思路：1. 找旋转中心：确定图案中所有全等基本图形的公共顶点，即为旋转中心；2. 定基本图形：选取图案中1份全等的图形作为旋转的基本图形；3. 算旋转角：用周角360°除以全等基本图形的总个数，得到每次旋转的角度，再描述依次旋转的过程即可。
针对探究1：图案由3个全等的四边形拼接而成，总份数为3，可算出旋转角为360°÷3=120°；针对探究2：图案由6个全等的基本图形拼接而成，总份数为6，可算出旋转角为360°÷6=60°，对应描述旋转过程即可。
【解析】
探究1：观察图案可知，它由3个全等的四边形组成，公共顶点为点O，因此旋转中心是点O，基本图形为四边形OABC，每次旋转的角度为360°÷3=120°，因此将四边形OABC绕点O按顺时针或逆时针方向分别旋转120°、240°，即可得到整个图案。
探究2：观察图案可知，它由6个全等的基本图形组成，公共顶点为点O，因此旋转中心是点O，连接OA、OB，可得相邻基本图形的夹角即旋转角为360°÷6=60°，因此将基本图案绕点O按同一方向（顺时针或逆时针）分别旋转60°、120°、180°、240°、300°，即可得到整个图案。
【答案】
探究1 解：如图，这个图案可以看作是由四边形OABC绕点O按顺时针方向或逆时针方向旋转120°，240°得到的。
探究2 解：如图，连接OA，OB，则∠AOB=60°，故此图案可以看作是由基本图案绕点O按同一方向（顺时针或逆时针）旋转60°，120°，180°，240°，300°得到的。
【知识点】
图形的旋转；旋转角计算；图案变换分析
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题型，解题核心是准确找到旋转中心、确定基本图形、计算出旋转角度，掌握通用解题思路后就能快速分析出各类旋转拼接图案的形成过程。
【难度系数】
0.8