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1. 如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°＜α＜360°)后能够与它本身重合，则角α的度数可以为（
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
C
）A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确旋转对称图形的性质：若一个图形绕中心旋转某一角度后能与自身重合，这个角度就是最小旋转角的整数倍，最小旋转角等于360°除以图形中均匀分布的完全相同的重复单元的数量。我们首先观察图案，数出外围均匀分布的相同装饰单元的总个数，再用360°除以个数得到最小旋转角，最后对照选项选出符合条件的角度即可。
【解析】
观察图案可得，该图案共有6个完全相同的装饰单元，且均匀分布在中心周围。
根据旋转对称图形的性质，旋转后与自身重合的最小角度为：
$ α_{\mathrm{最小}}=\frac{360°}{6}=60° $
因此只要旋转角是60°的整数倍（且满足$0°＜α＜360°$），图案就能与自身重合，对比选项，只有60°符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形，旋转角计算
【点评】
本题考查旋转对称的相关应用，解题的核心是准确识别图形的重复单元数量，结合周角的度数计算最小旋转角，属于基础类题目，熟练掌握旋转对称的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确旋转对称图形的性质：若一个图形绕中心旋转某一角度后能与自身重合，这个角度就是最小旋转角的整数倍，最小旋转角等于360°除以图形中均匀分布的完全相同的重复单元的数量。我们首先观察图案，数出外围均匀分布的相同装饰单元的总个数，再用360°除以个数得到最小旋转角，最后对照选项选出符合条件的角度即可。
【解析】
观察图案可得，该图案共有6个完全相同的装饰单元，且均匀分布在中心周围。
根据旋转对称图形的性质，旋转后与自身重合的最小角度为：
$ α_{\mathrm{最小}}=\frac{360°}{6}=60° $
因此只要旋转角是60°的整数倍（且满足$0°＜α＜360°$），图案就能与自身重合，对比选项，只有60°符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形，旋转角计算
【点评】
本题考查旋转对称的相关应用，解题的核心是准确识别图形的重复单元数量，结合周角的度数计算最小旋转角，属于基础类题目，熟练掌握旋转对称的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为
120°
。答案
2. 120°
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确旋转后图形与自身重合的条件：旋转角等于图形相邻对称点与旋转中心连线的夹角的整数倍，最小旋转角就是这个夹角的度数。等边三角形的两条中线交点O是它的旋转对称中心，三个顶点相对于中心O均匀分布，只要计算出相邻顶点与O点连线的夹角度数，就能得到最小旋转角。
【解析】
1. 等边三角形的两条中线的交点O是它的中心，等边三角形的三个顶点到点O的距离相等，且相邻两个顶点与点O连线的夹角大小相等。
2. 周角总度数为$360°$，三个顶点把周角平均分成3等份，每份的角度为$360° ÷ 3 = 120°$。
3. 因此绕点O旋转至少$120°$时，旋转后的三角形能与自身重合。
【答案】
120°
【知识点】
旋转对称图形、等边三角形的性质、旋转的性质
【点评】
本题考查旋转对称图形最小旋转角的计算，解题的关键是理解等边三角形的中心将周角平均分成3个相等的中心角，最小旋转角就等于单个中心角的度数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确旋转后图形与自身重合的条件：旋转角等于图形相邻对称点与旋转中心连线的夹角的整数倍，最小旋转角就是这个夹角的度数。等边三角形的两条中线交点O是它的旋转对称中心，三个顶点相对于中心O均匀分布，只要计算出相邻顶点与O点连线的夹角度数，就能得到最小旋转角。
【解析】
1. 等边三角形的两条中线的交点O是它的中心，等边三角形的三个顶点到点O的距离相等，且相邻两个顶点与点O连线的夹角大小相等。
2. 周角总度数为$360°$，三个顶点把周角平均分成3等份，每份的角度为$360° ÷ 3 = 120°$。
3. 因此绕点O旋转至少$120°$时，旋转后的三角形能与自身重合。
【答案】
120°
【知识点】
旋转对称图形、等边三角形的性质、旋转的性质
【点评】
本题考查旋转对称图形最小旋转角的计算，解题的关键是理解等边三角形的中心将周角平均分成3个相等的中心角，最小旋转角就等于单个中心角的度数。
【难度系数】
0.7
例 在 Rt $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$∠ ABC=30°$，$BC=\sqrt{3}$，将$△ ABC$绕点B按顺时针方向旋转$α(0°＜α≤120°)$得到$△ A'BC'$，点A和点C旋转后的对应点分别为点$A'$和点$C'$。
(1)如图(1)，当点$C'$恰好为线段$AA'$的中点时，$α=$
(2)当线段$AA'$与线段$CC'$有交点时，记交点为点D。在图(2)中补全图形，猜想线段AD与$A'D$的数量关系并加以证明。
(1)如图(1)，当点$C'$恰好为线段$AA'$的中点时，$α=$
60
$°$，$AA'=$2
；(2)当线段$AA'$与线段$CC'$有交点时，记交点为点D。在图(2)中补全图形，猜想线段AD与$A'D$的数量关系并加以证明。
答案
(1) 60 2
(2)①补全图形略。
结论：$AD=A'D$。
证明略。
(2)①补全图形略。
结论：$AD=A'D$。
证明略。
解析
【分析】
(1) 先利用30°直角三角形的性质和勾股定理求解Rt△ABC，得到AC、AB的长度；再结合旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，由C'是AA'中点可推出BC'垂直平分AA'，进而判断△ABA'为等边三角形，即可求出旋转角α和AA'的长度。
(2) 要证明AD=A'D，可通过构造全等三角形推导：分别过A、A'作CC'所在直线的垂线，利用旋转的边角等量关系先证一组直角三角形全等得到高相等，再证包含AD、A'D的两个三角形全等即可得到结论。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$
解得$x=1$，因此$AC=1$，$AB=2$。
由旋转的性质可知：$BA=BA'=2$，$BC=BC'=\sqrt{3}$，$∠A'C'B=∠ACB=90°$。
∵$C'$是$AA'$的中点，$∠A'C'B=90°$，
∴$BC'$垂直平分$AA'$，
∴$AB=A'B=AA'=2$，即$△ ABA'$是等边三角形，
∴旋转角$α=∠ABA'=60°$，$AA'=2$。
(2) 补全图形：将$△ ABC$绕点B顺时针旋转，使$AA'$与$CC'$交于点D即可（画图略）。结论：$AD=A'D$，证明如下：
过点A作$AF⊥$直线$CC'$于F，过点$A'$作$A'G⊥$直线$CC'$于G，
∴$∠AFC=∠A'GC'=90°$。
由旋转性质得：$AC=A'C'$，$BC=BC'$，$∠ACB=∠A'C'B=90°$，
∴$∠BCC'=∠BC'C$，
∵$∠ACF+∠BCC'=180°-∠ACB=90°$，$∠A'C'G+∠BC'C=180°-∠A'C'B=90°$，
∴$∠ACF=∠A'C'G$。
在$△ ACF$和$△ A'C'G$中：
$\begin{cases}∠AFC=∠A'GC' \\∠ACF=∠A'C'G \\AC=A'C'\end{cases}$
∴$△ ACF≌△ A'C'G(AAS)$，得$AF=A'G$。
在$△ AFD$和$△ A'GD$中：
$\begin{cases}∠AFD=∠A'GD \\∠ADF=∠A'DG \\AF=A'G\end{cases}$
∴$△ AFD≌△ A'GD(AAS)$，
∴$AD=A'D$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$，$\boxed{2}$
(2) 补全图形略，$\boxed{AD=A'D}$，证明见解析
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合旋转变换考查了直角三角形计算和全等三角形的应用，解题核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，合理构造辅助线证明全等即可得到线段关系。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用30°直角三角形的性质和勾股定理求解Rt△ABC，得到AC、AB的长度；再结合旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，由C'是AA'中点可推出BC'垂直平分AA'，进而判断△ABA'为等边三角形，即可求出旋转角α和AA'的长度。
(2) 要证明AD=A'D，可通过构造全等三角形推导：分别过A、A'作CC'所在直线的垂线，利用旋转的边角等量关系先证一组直角三角形全等得到高相等，再证包含AD、A'D的两个三角形全等即可得到结论。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$
解得$x=1$，因此$AC=1$，$AB=2$。
由旋转的性质可知：$BA=BA'=2$，$BC=BC'=\sqrt{3}$，$∠A'C'B=∠ACB=90°$。
∵$C'$是$AA'$的中点，$∠A'C'B=90°$，
∴$BC'$垂直平分$AA'$，
∴$AB=A'B=AA'=2$，即$△ ABA'$是等边三角形，
∴旋转角$α=∠ABA'=60°$，$AA'=2$。
(2) 补全图形：将$△ ABC$绕点B顺时针旋转，使$AA'$与$CC'$交于点D即可（画图略）。结论：$AD=A'D$，证明如下：
过点A作$AF⊥$直线$CC'$于F，过点$A'$作$A'G⊥$直线$CC'$于G，
∴$∠AFC=∠A'GC'=90°$。
由旋转性质得：$AC=A'C'$，$BC=BC'$，$∠ACB=∠A'C'B=90°$，
∴$∠BCC'=∠BC'C$，
∵$∠ACF+∠BCC'=180°-∠ACB=90°$，$∠A'C'G+∠BC'C=180°-∠A'C'B=90°$，
∴$∠ACF=∠A'C'G$。
在$△ ACF$和$△ A'C'G$中：
$\begin{cases}∠AFC=∠A'GC' \\∠ACF=∠A'C'G \\AC=A'C'\end{cases}$
∴$△ ACF≌△ A'C'G(AAS)$，得$AF=A'G$。
在$△ AFD$和$△ A'GD$中：
$\begin{cases}∠AFD=∠A'GD \\∠ADF=∠A'DG \\AF=A'G\end{cases}$
∴$△ AFD≌△ A'GD(AAS)$，
∴$AD=A'D$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$，$\boxed{2}$
(2) 补全图形略，$\boxed{AD=A'D}$，证明见解析
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合旋转变换考查了直角三角形计算和全等三角形的应用，解题核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，合理构造辅助线证明全等即可得到线段关系。
【难度系数】
0.6
如图，在$△ ABC$中，$BC=5$，以$AC$为边向外作等边三角形$ACD$，以$AB$为边向外作等边三角形$ABE$，连接$CE$，$BD$。
(1)若$AC=4$，$∠ ACB=30°$，求$CE$的长；
(2)若$∠ ABC=60°$，$AB=3$，求$BD$的长。
(1)若$AC=4$，$∠ ACB=30°$，求$CE$的长；
(2)若$∠ ABC=60°$，$AB=3$，求$BD$的长。
答案
(1) $CE=\sqrt{41}$。
(2) $BD=7$。
(2) $BD=7$。
解析
【分析】
本题核心是利用等边三角形的性质证明三角形全等，实现待求线段的等量转换，再结合勾股定理计算线段长度。
(1) 先根据等边三角形边相等、内角为60°的性质，证明△EAC≌△BAD，得到CE=BD，再推导∠BCD为直角，最后在Rt△BCD中用勾股定理求BD，即可得到CE的长；
(2) 沿用(1)中CE=BD的结论，通过作垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出直角边长，再用勾股定理求CE，即可得到BD的长。
【解析】
(1)
∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE=AB，AC=AD，∠EAB=∠CAD=60°，∠ACD=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AB\\ ∠ EAC=∠ BAD\\ AC=AD\end{array} $
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴CE=BD。
∵∠ACB=30°，∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+60°=90°，
又
∵CD=AC=4，BC=5，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$，
∴CE=$\sqrt{41}$。
(2) 由(1)的全等结论可得BD=CE，
过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=3，∠ABE=60°，
又
∵∠ABC=60°，
∴∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=60°，
在Rt△EFB中，∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{BE^2-BF^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵FC=BF+BC=$\frac{3}{2}$+5=$\frac{13}{2}$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EF^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{13}{2})^2}=\sqrt{49}=7$，
∴BD=7。
【答案】
(1) $\sqrt{41}$
(2) $7$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是全等三角形与勾股定理的综合应用题，解题突破口是通过全等将未知线段转化为可构造直角三角形求解的线段，熟练掌握等边三角形性质和勾股定理是解题的基础。
【难度系数】
0.65
本题核心是利用等边三角形的性质证明三角形全等，实现待求线段的等量转换，再结合勾股定理计算线段长度。
(1) 先根据等边三角形边相等、内角为60°的性质，证明△EAC≌△BAD，得到CE=BD，再推导∠BCD为直角，最后在Rt△BCD中用勾股定理求BD，即可得到CE的长；
(2) 沿用(1)中CE=BD的结论，通过作垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出直角边长，再用勾股定理求CE，即可得到BD的长。
【解析】
(1)
∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE=AB，AC=AD，∠EAB=∠CAD=60°，∠ACD=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AB\\ ∠ EAC=∠ BAD\\ AC=AD\end{array} $
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴CE=BD。
∵∠ACB=30°，∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+60°=90°，
又
∵CD=AC=4，BC=5，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$，
∴CE=$\sqrt{41}$。
(2) 由(1)的全等结论可得BD=CE，
过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=3，∠ABE=60°，
又
∵∠ABC=60°，
∴∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=60°，
在Rt△EFB中，∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{BE^2-BF^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵FC=BF+BC=$\frac{3}{2}$+5=$\frac{13}{2}$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EF^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{13}{2})^2}=\sqrt{49}=7$，
∴BD=7。
【答案】
(1) $\sqrt{41}$
(2) $7$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是全等三角形与勾股定理的综合应用题，解题突破口是通过全等将未知线段转化为可构造直角三角形求解的线段，熟练掌握等边三角形性质和勾股定理是解题的基础。
【难度系数】
0.65
