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5. 计算:
(1)$(-36)×( \dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{6} - \dfrac{11}{12} );$
(2)$4×( -7\dfrac{2}{5} ) + (-2)^2×5 - 4÷( -\dfrac{5}{12} );$
(3)$-2^2 - ( -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} ) ÷ ( -\dfrac{1}{36} ) - 19\dfrac{71}{72} × 36。$
(1)$(-36)×( \dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{6} - \dfrac{11}{12} );$
(2)$4×( -7\dfrac{2}{5} ) + (-2)^2×5 - 4÷( -\dfrac{5}{12} );$
(3)$-2^2 - ( -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} ) ÷ ( -\dfrac{1}{36} ) - 19\dfrac{71}{72} × 36。$
答案
(1)18 (2)0 (3)$-730\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这三道题均为有理数混合运算，解题核心是优先考虑用运算律简化计算，同时严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容。
(1)题括号外的整数-36和括号内各分数分母均有倍数关系，直接用乘法分配律展开计算，比先算括号内再相乘更简便；
(2)题先计算乘方，再将除法转化为乘法，会发现各项都有公因数4，提取公因数后计算可简化步骤；
(3)题先算乘方，注意$-2^2$的符号为负，再将除法转化为乘法用分配律计算，最后把带分数$19\dfrac{71}{72}$拆成$(20-\dfrac{1}{72})$，再用乘法分配律计算，避免复杂的带分数乘法运算。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(-36)×(\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{11}{12})&=(-36)×\dfrac{5}{4} - (-36)×\dfrac{5}{6} - (-36)×\dfrac{11}{12}\\&=-45 + 30 + 33\\&=18\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，提取公因数计算：
$\begin{aligned}&4×(-7\dfrac{2}{5}) + (-2)^2×5 - 4÷(-\dfrac{5}{12})\\=&4×(-\dfrac{37}{5}) + 4×5 + 4×\dfrac{12}{5}\\=&4×(-\dfrac{37}{5} + 5 + \dfrac{12}{5})\\=&4×(-\dfrac{37}{5} + \dfrac{25}{5} + \dfrac{12}{5})\\=&4×0\\=&0\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再将除法转化为乘法，拆分带分数用分配律计算：
$\begin{aligned}&-2^2 - (-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{18})÷(-\dfrac{1}{36}) - 19\dfrac{71}{72}×36\\=&-4 - (-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{18})×(-36) - (20 - \dfrac{1}{72})×36\\=&-4 - [(-\dfrac{1}{4})×(-36) + \dfrac{1}{18}×(-36)] - (20×36 - \dfrac{1}{72}×36)\\=&-4 - (9 - 2) - (720 - \dfrac{1}{2})\\=&-4 -7 -720 + \dfrac{1}{2}\\=&-731 + \dfrac{1}{2}\\=&-730\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{0}$；(3) $\boxed{-730\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律应用、乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数简便运算的技巧，熟练运用乘法分配律可以大幅降低计算量，解题时要注意区分$-2^2$和$(-2)^2$的符号差异，严格遵循运算顺序，拆分带分数时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
这三道题均为有理数混合运算，解题核心是优先考虑用运算律简化计算，同时严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容。
(1)题括号外的整数-36和括号内各分数分母均有倍数关系，直接用乘法分配律展开计算，比先算括号内再相乘更简便；
(2)题先计算乘方，再将除法转化为乘法，会发现各项都有公因数4，提取公因数后计算可简化步骤；
(3)题先算乘方，注意$-2^2$的符号为负，再将除法转化为乘法用分配律计算，最后把带分数$19\dfrac{71}{72}$拆成$(20-\dfrac{1}{72})$，再用乘法分配律计算，避免复杂的带分数乘法运算。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(-36)×(\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{6}-\dfrac{11}{12})&=(-36)×\dfrac{5}{4} - (-36)×\dfrac{5}{6} - (-36)×\dfrac{11}{12}\\&=-45 + 30 + 33\\&=18\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，提取公因数计算：
$\begin{aligned}&4×(-7\dfrac{2}{5}) + (-2)^2×5 - 4÷(-\dfrac{5}{12})\\=&4×(-\dfrac{37}{5}) + 4×5 + 4×\dfrac{12}{5}\\=&4×(-\dfrac{37}{5} + 5 + \dfrac{12}{5})\\=&4×(-\dfrac{37}{5} + \dfrac{25}{5} + \dfrac{12}{5})\\=&4×0\\=&0\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再将除法转化为乘法，拆分带分数用分配律计算：
$\begin{aligned}&-2^2 - (-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{18})÷(-\dfrac{1}{36}) - 19\dfrac{71}{72}×36\\=&-4 - (-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{18})×(-36) - (20 - \dfrac{1}{72})×36\\=&-4 - [(-\dfrac{1}{4})×(-36) + \dfrac{1}{18}×(-36)] - (20×36 - \dfrac{1}{72}×36)\\=&-4 - (9 - 2) - (720 - \dfrac{1}{2})\\=&-4 -7 -720 + \dfrac{1}{2}\\=&-731 + \dfrac{1}{2}\\=&-730\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{0}$；(3) $\boxed{-730\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律应用、乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数简便运算的技巧，熟练运用乘法分配律可以大幅降低计算量，解题时要注意区分$-2^2$和$(-2)^2$的符号差异，严格遵循运算顺序，拆分带分数时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
6. 计算：
(1)$(-\dfrac{1}{48})÷($
$)$；
(2)$(-\dfrac{1}{24})÷(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4})$。
(1)$(-\dfrac{1}{48})÷($
$)$；(2)$(-\dfrac{1}{24})÷(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4})$。
答案
(1)因为$(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})÷(-\frac{1}{48})=(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})×(-48)=(-\frac{1}{4})×(-48)+\frac{1}{2}×(-48)+\frac{2}{3}×(-48)=12-24-32=-44$,所以原式$=-\frac{1}{44}$。
(2)因为$(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})÷(-\frac{1}{24})=(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})×(-24)=-\frac{1}{2}×(-24)+\frac{2}{3}×(-24)-\frac{3}{4}×(-24)=12-16+18=14$。所以$(-\frac{1}{24})÷(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})=\frac{1}{14}$。
(2)因为$(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})÷(-\frac{1}{24})=(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})×(-24)=-\frac{1}{2}×(-24)+\frac{2}{3}×(-24)-\frac{3}{4}×(-24)=12-16+18=14$。所以$(-\frac{1}{24})÷(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})=\frac{1}{14}$。
解析
【分析】
这两道题均为有理数的除法运算，若先通分计算括号内的加减再做除法，计算量较大。我们可利用倒数的性质：若$a÷ b=c$（$a≠0,b≠0$），则$b÷ a=\frac{1}{c}$，先计算括号内的式子除以被除数，借助乘法分配律简化计算，最后将结果取倒数即可得到原式的答案。
【解析】
(1) 先计算$(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})÷(-\frac{1}{48})$：
根据有理数除法法则，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，可得：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})÷(-\frac{1}{48})&=(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})×(-48)\\&=(-\frac{1}{4})×(-48)+\frac{1}{2}×(-48)+\frac{2}{3}×(-48)\\&=12-24-32\\&=-44\end{aligned}$
根据倒数的性质，可得$(-\frac{1}{48})÷(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})=\frac{1}{-44}=-\frac{1}{44}$。
(2) 先计算$(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})÷(-\frac{1}{24})$：
同理转化为乘法计算：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})÷(-\frac{1}{24})&=(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})×(-24)\\&=-\frac{1}{2}×(-24)+\frac{2}{3}×(-24)-\frac{3}{4}×(-24)\\&=12-16+18\\&=14\end{aligned}$
根据倒数的性质，可得$(-\frac{1}{24})÷(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})=\frac{1}{14}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{44}$；(2)$\dfrac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法法则；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题属于有理数混合运算的简便计算题型，采用倒数法可避免通分的繁琐步骤，大幅降低计算量，计算过程中要注意各数的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这两道题均为有理数的除法运算，若先通分计算括号内的加减再做除法，计算量较大。我们可利用倒数的性质：若$a÷ b=c$（$a≠0,b≠0$），则$b÷ a=\frac{1}{c}$，先计算括号内的式子除以被除数，借助乘法分配律简化计算，最后将结果取倒数即可得到原式的答案。
【解析】
(1) 先计算$(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})÷(-\frac{1}{48})$：
根据有理数除法法则，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，可得：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})÷(-\frac{1}{48})&=(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})×(-48)\\&=(-\frac{1}{4})×(-48)+\frac{1}{2}×(-48)+\frac{2}{3}×(-48)\\&=12-24-32\\&=-44\end{aligned}$
根据倒数的性质，可得$(-\frac{1}{48})÷(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})=\frac{1}{-44}=-\frac{1}{44}$。
(2) 先计算$(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})÷(-\frac{1}{24})$：
同理转化为乘法计算：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})÷(-\frac{1}{24})&=(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})×(-24)\\&=-\frac{1}{2}×(-24)+\frac{2}{3}×(-24)-\frac{3}{4}×(-24)\\&=12-16+18\\&=14\end{aligned}$
根据倒数的性质，可得$(-\frac{1}{24})÷(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4})=\frac{1}{14}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{44}$；(2)$\dfrac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法法则；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题属于有理数混合运算的简便计算题型，采用倒数法可避免通分的繁琐步骤，大幅降低计算量，计算过程中要注意各数的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
7. 计算:
(1) $4^{10} × (-\dfrac{1}{4})^{11}$;
(2) $(-\dfrac{2}{5})^{10} × (-2.5)^{11}$;
(3) $(-0.125)^8 × 2^7 × 4^7$。
(1) $4^{10} × (-\dfrac{1}{4})^{11}$;
(2) $(-\dfrac{2}{5})^{10} × (-2.5)^{11}$;
(3) $(-0.125)^8 × 2^7 × 4^7$。
答案
(1)原式$=4^{10}×(-\frac{1}{4})^{10}×(-\frac{1}{4})=[4×(-\frac{1}{4})]^{10}×(-\frac{1}{4})=1×(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}。$
(2)原式$=(-\frac{2}{5})^{10}×(-2.5)^{10}×(-2.5)=[(-\frac{2}{5})×(-2.5)]^{10}×(-2.5)=-2.5。$
(3)原式$=(-0.125)^7×2^7×4^7×(-0.125)=(-0.125×2×4)^7×(-0.125)=(-1)×(-0.125)=0.125。$
(2)原式$=(-\frac{2}{5})^{10}×(-2.5)^{10}×(-2.5)=[(-\frac{2}{5})×(-2.5)]^{10}×(-2.5)=-2.5。$
(3)原式$=(-0.125)^7×2^7×4^7×(-0.125)=(-0.125×2×4)^7×(-0.125)=(-1)×(-0.125)=0.125。$
解析
【分析】
这三道题属于有理数乘方的简便运算题，解题核心是利用积的乘方的逆运算：$a^n× b^n=(a× b)^n$。观察发现各小题的底数相乘可得到±1等易计算的特殊值，因此我们可以将指数更高的幂拆分为“与其余幂同指数的幂×剩余的一次幂”，先计算同指数幂的底数乘积，再算乘方，最后乘剩余部分即可快速得到结果，避免直接计算高次幂的繁琐。
【解析】
(1) 先拆分高次幂，再逆用积的乘方计算：
原式$=4^{10}×(-\frac{1}{4})^{10}×(-\frac{1}{4})$
$=[4×(-\frac{1}{4})]^{10}×(-\frac{1}{4})$
$=(-1)^{10}×(-\frac{1}{4})$
$=1×(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}$
(2) 拆分高次幂后凑底数乘积为1，简化运算：
原式$=(-\frac{2}{5})^{10}×(-2.5)^{10}×(-2.5)$
$=[(-\frac{2}{5})×(-2.5)]^{10}×(-2.5)$
$=1^{10}×(-2.5)$
$=1×(-2.5)=-2.5$
(3) 拆分高次幂后将三个同指数幂合并计算：
原式$=(-0.125)^7×2^7×4^7×(-0.125)$
$=(-0.125×2×4)^7×(-0.125)$
$=(-1)^7×(-0.125)$
$=(-1)×(-0.125)=0.125$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{4}$；(2) $-2.5$；(3) $0.125$
【知识点】
积的乘方逆运算；有理数乘方运算；有理数简便运算
【点评】
本题是有理数乘方简便运算的典型题型，核心技巧是通过拆分高次幂凑同指数幂，再利用积的乘方逆运算简化计算，避免了高次幂的直接运算，熟练掌握该技巧可有效提升乘方类运算的速度和准确率。
【难度系数】
0.7
这三道题属于有理数乘方的简便运算题，解题核心是利用积的乘方的逆运算：$a^n× b^n=(a× b)^n$。观察发现各小题的底数相乘可得到±1等易计算的特殊值，因此我们可以将指数更高的幂拆分为“与其余幂同指数的幂×剩余的一次幂”，先计算同指数幂的底数乘积，再算乘方，最后乘剩余部分即可快速得到结果，避免直接计算高次幂的繁琐。
【解析】
(1) 先拆分高次幂，再逆用积的乘方计算：
原式$=4^{10}×(-\frac{1}{4})^{10}×(-\frac{1}{4})$
$=[4×(-\frac{1}{4})]^{10}×(-\frac{1}{4})$
$=(-1)^{10}×(-\frac{1}{4})$
$=1×(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}$
(2) 拆分高次幂后凑底数乘积为1，简化运算：
原式$=(-\frac{2}{5})^{10}×(-2.5)^{10}×(-2.5)$
$=[(-\frac{2}{5})×(-2.5)]^{10}×(-2.5)$
$=1^{10}×(-2.5)$
$=1×(-2.5)=-2.5$
(3) 拆分高次幂后将三个同指数幂合并计算：
原式$=(-0.125)^7×2^7×4^7×(-0.125)$
$=(-0.125×2×4)^7×(-0.125)$
$=(-1)^7×(-0.125)$
$=(-1)×(-0.125)=0.125$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{4}$；(2) $-2.5$；(3) $0.125$
【知识点】
积的乘方逆运算；有理数乘方运算；有理数简便运算
【点评】
本题是有理数乘方简便运算的典型题型，核心技巧是通过拆分高次幂凑同指数幂，再利用积的乘方逆运算简化计算，避免了高次幂的直接运算，熟练掌握该技巧可有效提升乘方类运算的速度和准确率。
【难度系数】
0.7
