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一、选择题
1. 下列各式不是代数式的是(
A.$-3$
B.$a^2 - 2a$
C.$2x + 3 = 0$
D.$\frac{ab}{2}$
1. 下列各式不是代数式的是(
C
).A.$-3$
B.$a^2 - 2a$
C.$2x + 3 = 0$
D.$\frac{ab}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确代数式的定义，再依据定义逐一判断每个选项是否符合要求。首先回忆代数式的判定规则：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也属于代数式，且代数式中不能含有等号、不等号这类关系符号，我们就用这个标准逐一核对选项即可。
【解析】
首先明确代数式的判定要点：
1. 单独的数或字母是代数式；
2. 仅由运算符号连接数和字母的式子是代数式；
3. 含有等号、不等号的式子不是代数式。
逐一分析选项：
选项A：$-3$是单独的数，属于代数式，不符合题意；
选项B：$a^2 - 2a$是由乘方、减法运算连接字母得到的式子，属于代数式，不符合题意；
选项C：$2x + 3 = 0$含有等号，是等式，不属于代数式，符合题意；
选项D：$\frac{ab}{2}$是由乘法、除法运算连接字母得到的式子，属于代数式，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
代数式的定义
【点评】
本题考查代数式的识别，解题关键是牢记代数式的特征，注意代数式不含等号、不等号这类关系符号，单独的数或字母也属于代数式。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确代数式的定义，再依据定义逐一判断每个选项是否符合要求。首先回忆代数式的判定规则：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也属于代数式，且代数式中不能含有等号、不等号这类关系符号，我们就用这个标准逐一核对选项即可。
【解析】
首先明确代数式的判定要点：
1. 单独的数或字母是代数式；
2. 仅由运算符号连接数和字母的式子是代数式；
3. 含有等号、不等号的式子不是代数式。
逐一分析选项：
选项A：$-3$是单独的数，属于代数式，不符合题意；
选项B：$a^2 - 2a$是由乘方、减法运算连接字母得到的式子，属于代数式，不符合题意；
选项C：$2x + 3 = 0$含有等号，是等式，不属于代数式，符合题意；
选项D：$\frac{ab}{2}$是由乘法、除法运算连接字母得到的式子，属于代数式，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
代数式的定义
【点评】
本题考查代数式的识别，解题关键是牢记代数式的特征，注意代数式不含等号、不等号这类关系符号，单独的数或字母也属于代数式。
【难度系数】
0.9
2. 下列式子符合书写要求的是(
A.$-\dfrac{xy^2}{2}$
B.$a - 1 ÷ b$
C.$4\dfrac{1}{3}xy$
D.$ab × 3$
A
).A.$-\dfrac{xy^2}{2}$
B.$a - 1 ÷ b$
C.$4\dfrac{1}{3}xy$
D.$ab × 3$
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查代数式的书写规范，解题思路是先明确代数式的核心书写要求，再逐一判断每个选项是否符合要求即可。代数式书写的核心规则有：①除法运算要写成分数形式，禁止使用除号“÷”；②带分数与字母相乘时，带分数要先化为假分数；③数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可省略或用“·”表示，不能用“×”。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$-\dfrac{xy^2}{2}$，负号放在分数前，字母乘积写在分子，符合代数式书写要求。
选项B：$a - 1 ÷ b$，出现了除号“÷”，不符合书写要求，正确写法应为$a-\dfrac{1}{b}$。
选项C：$4\dfrac{1}{3}xy$，带分数与字母相乘时未化为假分数，不符合书写要求，正确写法应为$\dfrac{13}{3}xy$。
选项D：$ab × 3$，一是出现了乘号“×”，二是数字未放在字母前面，不符合书写要求，正确写法应为$3ab$。
综上只有A符合书写要求。
【答案】
A
【知识点】
代数式书写规范
【点评】
本题属于基础题型，只要熟练掌握代数式的书写规则，就能快速判断正误，这类题目是后续正确列代数式、进行代数式运算的基础，需要牢记相关规则。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式的书写规范，解题思路是先明确代数式的核心书写要求，再逐一判断每个选项是否符合要求即可。代数式书写的核心规则有：①除法运算要写成分数形式，禁止使用除号“÷”；②带分数与字母相乘时，带分数要先化为假分数；③数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可省略或用“·”表示，不能用“×”。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$-\dfrac{xy^2}{2}$，负号放在分数前，字母乘积写在分子，符合代数式书写要求。
选项B：$a - 1 ÷ b$，出现了除号“÷”，不符合书写要求，正确写法应为$a-\dfrac{1}{b}$。
选项C：$4\dfrac{1}{3}xy$，带分数与字母相乘时未化为假分数，不符合书写要求，正确写法应为$\dfrac{13}{3}xy$。
选项D：$ab × 3$，一是出现了乘号“×”，二是数字未放在字母前面，不符合书写要求，正确写法应为$3ab$。
综上只有A符合书写要求。
【答案】
A
【知识点】
代数式书写规范
【点评】
本题属于基础题型，只要熟练掌握代数式的书写规则，就能快速判断正误，这类题目是后续正确列代数式、进行代数式运算的基础，需要牢记相关规则。
【难度系数】
0.8
3. 一组有规律的图案如图所示，第①个图案由5个基础图形组成，第②个图案由8个基础图形组成……如果按照此规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第⑳个图案需要（
A.402
B.404
C.406
D.408
B
）个基本图形。A.402
B.404
C.406
D.408
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们先从已知的前几个图案入手，先数出每个图案的基础图形数量，再寻找数量和图案序号之间的规律：首先第①个图案有5个基础图形，第②个有8个，第③个有13个，观察这三个数和对应序号1、2、3的关系，可发现5=1²+4，8=2²+4，13=3²+4，由此归纳出第n个图案的基础图形个数为n²+4，最后将n=20代入规律式计算即可得到答案。
【解析】
首先统计前3个图案的基础图形数量：
第①个图案：共5个，满足$ 5 = 1^2 + 4 $；
第②个图案：共8个，满足$ 8 = 2^2 + 4 $；
第③个图案：共13个，满足$ 13 = 3^2 + 4 $；
据此可总结规律：第$ n $个图案的基础图形个数为$ n^2 + 4 $。
当$ n=20 $时，代入得：
$ 20^2 + 4 = 400 + 4 = 404 $。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出通用的规律表达式，再代入指定序号计算，能很好地锻炼观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们先从已知的前几个图案入手，先数出每个图案的基础图形数量，再寻找数量和图案序号之间的规律：首先第①个图案有5个基础图形，第②个有8个，第③个有13个，观察这三个数和对应序号1、2、3的关系，可发现5=1²+4，8=2²+4，13=3²+4，由此归纳出第n个图案的基础图形个数为n²+4，最后将n=20代入规律式计算即可得到答案。
【解析】
首先统计前3个图案的基础图形数量：
第①个图案：共5个，满足$ 5 = 1^2 + 4 $；
第②个图案：共8个，满足$ 8 = 2^2 + 4 $；
第③个图案：共13个，满足$ 13 = 3^2 + 4 $；
据此可总结规律：第$ n $个图案的基础图形个数为$ n^2 + 4 $。
当$ n=20 $时，代入得：
$ 20^2 + 4 = 400 + 4 = 404 $。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出通用的规律表达式，再代入指定序号计算，能很好地锻炼观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
4.鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只，则鸡兔共有脚
$2x+4y$
只。答案
4. $2x+4y$
解析
【分析】
解题时先结合生活常识明确单只鸡和单只兔的脚的数量，再根据“总脚数=单只动物脚数×动物数量”分别计算出鸡的总脚数和兔的总脚数，最后将两者相加即可得到鸡兔共有的脚数。
【解析】
根据生活常识可知，1只鸡有2只脚，1只兔有4只脚：
1. 计算x只鸡的总脚数：每只鸡2只脚，x只鸡的脚数为$2× x=2x$只；
2. 计算y只兔的总脚数：每只兔4只脚，y只兔的脚数为$4× y=4y$只；
3. 计算鸡兔总脚数：将鸡和兔的脚数相加，可得总脚数为$2x+4y$只。
【答案】
$2x+4y$
【知识点】
用字母表示数；列代数式
【点评】
本题是基础的代数式应用类题目，结合生活常识即可梳理数量关系，主要考查用字母表示实际问题中数量关系的能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时先结合生活常识明确单只鸡和单只兔的脚的数量，再根据“总脚数=单只动物脚数×动物数量”分别计算出鸡的总脚数和兔的总脚数，最后将两者相加即可得到鸡兔共有的脚数。
【解析】
根据生活常识可知，1只鸡有2只脚，1只兔有4只脚：
1. 计算x只鸡的总脚数：每只鸡2只脚，x只鸡的脚数为$2× x=2x$只；
2. 计算y只兔的总脚数：每只兔4只脚，y只兔的脚数为$4× y=4y$只；
3. 计算鸡兔总脚数：将鸡和兔的脚数相加，可得总脚数为$2x+4y$只。
【答案】
$2x+4y$
【知识点】
用字母表示数；列代数式
【点评】
本题是基础的代数式应用类题目，结合生活常识即可梳理数量关系，主要考查用字母表示实际问题中数量关系的能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 请你对代数式“3a”赋予一个含义：
答案不唯一
答案
5. 答案不唯一
解析
【分析】要给代数式赋予实际含义，首先需要明确代数式表示的数量关系：3a表示的是a的3倍，即3和a相乘。思考时可以结合生活中的常见数量（如单价、数量、总价，速度、时间、路程等），将a设定为某个具有实际意义的量，再对应写出它的3倍所表示的实际含义即可，答案不唯一，只要符合乘法数量关系就正确。
【解析】我们可以结合不同的实际场景举例：
例1：若每本笔记本的售价为a元，那么3本笔记本的总售价就是3a元；
例2：若小明步行的速度是a米/分钟，那么小明3分钟步行的总路程就是3a米；
例3：若一个等边三角形的边长为a，那么这个等边三角形的周长就是3a。
所有符合“某个量的3倍”的实际描述均符合要求。
【答案】答案不唯一，合理即可
【知识点】代数式的意义；用字母表示数
【点评】本题属于开放性基础题，考查对代数式数量关系的理解，只需结合实际情境构造出符合3倍乘法关系的实例即可，作答灵活度较高。
【难度系数】0.9
【解析】我们可以结合不同的实际场景举例：
例1：若每本笔记本的售价为a元，那么3本笔记本的总售价就是3a元；
例2：若小明步行的速度是a米/分钟，那么小明3分钟步行的总路程就是3a米；
例3：若一个等边三角形的边长为a，那么这个等边三角形的周长就是3a。
所有符合“某个量的3倍”的实际描述均符合要求。
【答案】答案不唯一，合理即可
【知识点】代数式的意义；用字母表示数
【点评】本题属于开放性基础题，考查对代数式数量关系的理解，只需结合实际情境构造出符合3倍乘法关系的实例即可，作答灵活度较高。
【难度系数】0.9
6. 每件衣服的成本为a元，销售的利润为成本的35%，后因季节原因而降价，如果按售价的八五折出售，每件还能盈利
$0.1475a$
元.答案
6. $0.147 5a$
解析
【分析】
要计算降价后每件的盈利，首先明确盈利=实际售价-成本。解题可按三步思考：第一步根据“利润为成本的35%”求出原售价；第二步结合“八五折出售”算出打折后的实际售价；第三步用实际售价减去成本a，即可得到盈利金额。
【解析】
1. 计算原售价：已知成本为a元，利润是成本的35%，因此原售价 = 成本×(1+利润率) = $a×(1+35\%)=1.35a$ 元。
2. 计算打折后的实际售价：八五折即按原售价的85%出售，因此实际售价 = $1.35a×85\%=1.35a×0.85=1.1475a$ 元。
3. 计算盈利：盈利 = 实际售价 - 成本 = $1.1475a - a=0.1475a$ 元。
【答案】
$0.1475a$
【知识点】
列代数式；销售盈亏问题
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清成本、利润率、售价、折扣、盈利之间的数量关系，按逻辑逐步计算即可，计算时注意小数乘法的准确性。
【难度系数】
0.75
要计算降价后每件的盈利，首先明确盈利=实际售价-成本。解题可按三步思考：第一步根据“利润为成本的35%”求出原售价；第二步结合“八五折出售”算出打折后的实际售价；第三步用实际售价减去成本a，即可得到盈利金额。
【解析】
1. 计算原售价：已知成本为a元，利润是成本的35%，因此原售价 = 成本×(1+利润率) = $a×(1+35\%)=1.35a$ 元。
2. 计算打折后的实际售价：八五折即按原售价的85%出售，因此实际售价 = $1.35a×85\%=1.35a×0.85=1.1475a$ 元。
3. 计算盈利：盈利 = 实际售价 - 成本 = $1.1475a - a=0.1475a$ 元。
【答案】
$0.1475a$
【知识点】
列代数式；销售盈亏问题
【点评】
本题是销售类基础应用题，核心是理清成本、利润率、售价、折扣、盈利之间的数量关系，按逻辑逐步计算即可，计算时注意小数乘法的准确性。
【难度系数】
0.75
三、解答题
7. 设字母$a$表示甲数，用代数式表示下列各题中的乙数：
(1) 乙数比甲数大3；(2) 甲、乙两数的和为10；(3) 甲数是乙数的5倍；(4) 乙数比甲数的平方少2；(5) 甲数比乙数的$\frac{2}{3}$少5；(6) 甲数比乙数多10%。
7. 设字母$a$表示甲数，用代数式表示下列各题中的乙数：
(1) 乙数比甲数大3；(2) 甲、乙两数的和为10；(3) 甲数是乙数的5倍；(4) 乙数比甲数的平方少2；(5) 甲数比乙数的$\frac{2}{3}$少5；(6) 甲数比乙数多10%。
答案
7. (1) $a+3$ (2) $10-a$ (3) $\frac{1}{5}a$ (4) $a^2-2$ (5) $\frac{3}{2}a+\frac{15}{2}$ (6) $\frac{10}{11}a$
解析
【分析】
本题要求根据甲数a和乙数的数量关系，用含a的代数式表示乙数。解题时先逐小问梳理等量关系，写出包含甲数、乙数的等式，再将等式变形，把乙数单独放在等号一侧，代入甲数为a即可得到结果，注意不要混淆两个数的主次关系。
【解析】
(1) 根据“乙数比甲数大3”，得等量关系：乙数=甲数+3，代入甲数为a，因此乙数为$a+3$；
(2) 根据“甲、乙两数的和为10”，得等量关系：乙数=两数之和-甲数，代入已知条件，因此乙数为$10-a$；
(3) 根据“甲数是乙数的5倍”，得等量关系：乙数=甲数÷5，代入甲数为a，因此乙数为$\frac{1}{5}a$；
(4) 根据“乙数比甲数的平方少2”，得等量关系：乙数=甲数的平方-2，甲数的平方为$a^2$，因此乙数为$a^2-2$；
(5) 根据“甲数比乙数的$\frac{2}{3}$少5”，得等量关系：$a=\frac{2}{3}×乙数 -5$，根据等式性质变形得$\frac{2}{3}×乙数=a+5$，两边同时乘$\frac{3}{2}$，因此乙数为$\frac{3}{2}(a+5)=\frac{3}{2}a+\frac{15}{2}$；
(6) 根据“甲数比乙数多10%”，得等量关系：$a=乙数×(1+10\%)$，即$a=\frac{11}{10}×乙数$，两边同时乘$\frac{10}{11}$，因此乙数为$\frac{10}{11}a$。
【答案】
(1) $a+3$ (2) $10-a$ (3) $\frac{1}{5}a$ (4) $a^2-2$ (5) $\frac{3}{2}a+\frac{15}{2}$ (6) $\frac{10}{11}a$
【知识点】
列代数式，数量关系分析，代数式变形
【点评】
本题是列代数式的基础题型，解题关键是准确理解题干描述的和差、倍数、百分比类数量关系，分清比较的主体，避免把甲乙两数的关系写反。
【难度系数】
0.85
本题要求根据甲数a和乙数的数量关系，用含a的代数式表示乙数。解题时先逐小问梳理等量关系，写出包含甲数、乙数的等式，再将等式变形，把乙数单独放在等号一侧，代入甲数为a即可得到结果，注意不要混淆两个数的主次关系。
【解析】
(1) 根据“乙数比甲数大3”，得等量关系：乙数=甲数+3，代入甲数为a，因此乙数为$a+3$；
(2) 根据“甲、乙两数的和为10”，得等量关系：乙数=两数之和-甲数，代入已知条件，因此乙数为$10-a$；
(3) 根据“甲数是乙数的5倍”，得等量关系：乙数=甲数÷5，代入甲数为a，因此乙数为$\frac{1}{5}a$；
(4) 根据“乙数比甲数的平方少2”，得等量关系：乙数=甲数的平方-2，甲数的平方为$a^2$，因此乙数为$a^2-2$；
(5) 根据“甲数比乙数的$\frac{2}{3}$少5”，得等量关系：$a=\frac{2}{3}×乙数 -5$，根据等式性质变形得$\frac{2}{3}×乙数=a+5$，两边同时乘$\frac{3}{2}$，因此乙数为$\frac{3}{2}(a+5)=\frac{3}{2}a+\frac{15}{2}$；
(6) 根据“甲数比乙数多10%”，得等量关系：$a=乙数×(1+10\%)$，即$a=\frac{11}{10}×乙数$，两边同时乘$\frac{10}{11}$，因此乙数为$\frac{10}{11}a$。
【答案】
(1) $a+3$ (2) $10-a$ (3) $\frac{1}{5}a$ (4) $a^2-2$ (5) $\frac{3}{2}a+\frac{15}{2}$ (6) $\frac{10}{11}a$
【知识点】
列代数式，数量关系分析，代数式变形
【点评】
本题是列代数式的基础题型，解题关键是准确理解题干描述的和差、倍数、百分比类数量关系，分清比较的主体，避免把甲乙两数的关系写反。
【难度系数】
0.85
8. 某小区广场的形状是一个大长方形减去一个小长方形，右图是该广场的示意图.
（1）用含 m，n 的代数式表示该广场的周长 C；
（2）用含 m，n 的代数式表示该广场的面积 S.
（1）用含 m，n 的代数式表示该广场的周长 C；
（2）用含 m，n 的代数式表示该广场的面积 S.
答案
(1) $C=6m+4n$ (2) $S=\frac{7}{2}mn$
解析
【分析】
（1）计算周长时可使用平移法：将凹进去的水平边向上平移，可发现该图形的周长等于长为2m、宽为2n的大长方形的周长，再加上凹进去部分左右两条长度为m的竖边的长度，按此思路计算即可。
（2）计算面积时使用割补法：广场面积等于大长方形面积减去凹进去的小长方形的面积，先分别算出大长方形和凹进去的小长方形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
（1）先算长2m、宽2n的大长方形的周长：
$C_{\mathrm{大长方形}}=2×(2m+2n)=4m+4n$
观察图形可知凹进去部分额外多了2条长度为m的边，因此广场周长：
$C=4m+4n+2m=6m+4n$
（2）先算大长方形的面积：
$S_{\mathrm{大}}=2m×2n=4mn$
再算凹进去的小长方形的宽：$2n-n-0.5n=0.5n$，小长方形的长为m，因此小长方形面积：
$S_{\mathrm{小}}=m×0.5n=0.5mn$
因此广场面积：
$S=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}=4mn-0.5mn=\frac{7}{2}mn$
【答案】
(1) $C=6m+4n$
(2) $S=\frac{7}{2}mn$
【知识点】
列代数式，周长计算，面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的周长和面积计算，核心是灵活运用平移法求周长、割补法求面积，解题时注意不要漏算周长中额外多出的边，准确计算小长方形的边长即可正确求解。
【难度系数】
0.8
（1）计算周长时可使用平移法：将凹进去的水平边向上平移，可发现该图形的周长等于长为2m、宽为2n的大长方形的周长，再加上凹进去部分左右两条长度为m的竖边的长度，按此思路计算即可。
（2）计算面积时使用割补法：广场面积等于大长方形面积减去凹进去的小长方形的面积，先分别算出大长方形和凹进去的小长方形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
（1）先算长2m、宽2n的大长方形的周长：
$C_{\mathrm{大长方形}}=2×(2m+2n)=4m+4n$
观察图形可知凹进去部分额外多了2条长度为m的边，因此广场周长：
$C=4m+4n+2m=6m+4n$
（2）先算大长方形的面积：
$S_{\mathrm{大}}=2m×2n=4mn$
再算凹进去的小长方形的宽：$2n-n-0.5n=0.5n$，小长方形的长为m，因此小长方形面积：
$S_{\mathrm{小}}=m×0.5n=0.5mn$
因此广场面积：
$S=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}=4mn-0.5mn=\frac{7}{2}mn$
【答案】
(1) $C=6m+4n$
(2) $S=\frac{7}{2}mn$
【知识点】
列代数式，周长计算，面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的周长和面积计算，核心是灵活运用平移法求周长、割补法求面积，解题时注意不要漏算周长中额外多出的边，准确计算小长方形的边长即可正确求解。
【难度系数】
0.8
