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例2 有一张厚度是0.2 mm的纸,如果将它连续对折10次,那么对折后的纸的厚度为多少?
【规律方法】
乘方在倍增问题中的应用
(1)从特殊到一般,发现规律,确定数学关系,以幂的形式表示出来;
(2)结合问题进行有关运算,当指数过大时,结果写成幂的形式.
【规律方法】
乘方在倍增问题中的应用
(1)从特殊到一般,发现规律,确定数学关系,以幂的形式表示出来;
(2)结合问题进行有关运算,当指数过大时,结果写成幂的形式.
答案
解:对折后纸的厚度为204.8 mm.
解析
【分析】
解决本题的核心是先推导纸张对折次数与厚度的变化规律：从简单情形入手，对折1次厚度是原来的$2=2^1$倍，对折2次厚度是原来的$2×2=2^2$倍，对折3次厚度是原来的$2×2×2=2^3$倍，以此类推可得，对折$n$次后厚度是原厚度的$2^n$倍。本题对折次数为10，只需用原厚度乘以$2^{10}$即可求出最终厚度。
【解析】
解：由对折厚度的变化规律可知，对折10次后纸张的厚度是原厚度的$2^{10}$倍。
已知纸张原厚度为0.2 mm，且$2^{10}=1024$，
则对折10次后的厚度为：
$0.2×2^{10} = 0.2×1024 = 204.8$（mm）
【答案】
对折后的纸的厚度为204.8 mm。
【知识点】
乘方运算，倍增问题应用
【点评】
本题是乘方在实际生活中的典型应用，解题关键是通过归纳特殊情况的规律，将实际问题转化为乘方运算求解，考查了从特殊到一般的归纳思维能力，掌握倍增类问题的规律推导方法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先推导纸张对折次数与厚度的变化规律：从简单情形入手，对折1次厚度是原来的$2=2^1$倍，对折2次厚度是原来的$2×2=2^2$倍，对折3次厚度是原来的$2×2×2=2^3$倍，以此类推可得，对折$n$次后厚度是原厚度的$2^n$倍。本题对折次数为10，只需用原厚度乘以$2^{10}$即可求出最终厚度。
【解析】
解：由对折厚度的变化规律可知，对折10次后纸张的厚度是原厚度的$2^{10}$倍。
已知纸张原厚度为0.2 mm，且$2^{10}=1024$，
则对折10次后的厚度为：
$0.2×2^{10} = 0.2×1024 = 204.8$（mm）
【答案】
对折后的纸的厚度为204.8 mm。
【知识点】
乘方运算，倍增问题应用
【点评】
本题是乘方在实际生活中的典型应用，解题关键是通过归纳特殊情况的规律，将实际问题转化为乘方运算求解，考查了从特殊到一般的归纳思维能力，掌握倍增类问题的规律推导方法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
3. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条。如图所示。
这样捏合到第七次后可拉出
这样捏合到第七次后可拉出
128
根面条。答案
3. 128
解析
【分析】
首先观察每次捏合拉伸后面条数量的变化：初始状态是1根面条，第一次捏合后面条数量变为2根，第二次捏合后变为4根，第三次捏合后变为8根，可发现每次捏合后面条的数量都是前一次的2倍，即第n次捏合后的面条数符合2的n次方的规律，因此要求第七次捏合后的面条数，只需计算2的7次方即可。
【解析】
我们先归纳规律：
第1次捏合后，面条数量为$2^1=2$根；
第2次捏合后，面条数量为$2^2=4$根；
第3次捏合后，面条数量为$2^3=8$根；
……
由此可得，第$n$次捏合后，面条的数量为$2^n$根。
当$n=7$时，面条数量为$2^7=128$根。
【答案】
128
【知识点】
有理数乘方；规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查规律探究与乘方运算，解题关键是准确找到“每次捏合后面条数量翻倍”的规律，将实际问题转化为乘方计算问题，解题时需熟练掌握乘方的运算规则。
【难度系数】
0.8
首先观察每次捏合拉伸后面条数量的变化：初始状态是1根面条，第一次捏合后面条数量变为2根，第二次捏合后变为4根，第三次捏合后变为8根，可发现每次捏合后面条的数量都是前一次的2倍，即第n次捏合后的面条数符合2的n次方的规律，因此要求第七次捏合后的面条数，只需计算2的7次方即可。
【解析】
我们先归纳规律：
第1次捏合后，面条数量为$2^1=2$根；
第2次捏合后，面条数量为$2^2=4$根；
第3次捏合后，面条数量为$2^3=8$根；
……
由此可得，第$n$次捏合后，面条的数量为$2^n$根。
当$n=7$时，面条数量为$2^7=128$根。
【答案】
128
【知识点】
有理数乘方；规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查规律探究与乘方运算，解题关键是准确找到“每次捏合后面条数量翻倍”的规律，将实际问题转化为乘方计算问题，解题时需熟练掌握乘方的运算规则。
【难度系数】
0.8
1. $(-2)^3$的相反数是 （
A.$-6$
B.$8$
C.$-\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{8}$
B
）A.$-6$
B.$8$
C.$-\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{8}$
答案
1. B
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步先算出$(-2)^3$的结果，要用到有理数乘方的运算规则，明确负数的奇次幂结果为负，再计算出具体数值；第二步根据相反数的定义，求出第一步所得结果的相反数，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
第一步计算乘方：根据有理数乘方的定义，$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，即：
$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
第二步求相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此$-8$的相反数是$8$。
即$(-2)^3$的相反数是$8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方运算；相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，熟练掌握有理数乘方的计算规则和相反数的定义，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题需分两步进行：第一步先算出$(-2)^3$的结果，要用到有理数乘方的运算规则，明确负数的奇次幂结果为负，再计算出具体数值；第二步根据相反数的定义，求出第一步所得结果的相反数，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
第一步计算乘方：根据有理数乘方的定义，$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，即：
$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
第二步求相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此$-8$的相反数是$8$。
即$(-2)^3$的相反数是$8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方运算；相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，熟练掌握有理数乘方的计算规则和相反数的定义，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 下列算式中，运算结果为负数的是（
A.$-(-3)$
B.$|-3|$
C.$-3^2$
D.$(-3)^2$
C
）A.$-(-3)$
B.$|-3|$
C.$-3^2$
D.$(-3)^2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题要求选出运算结果为负数的选项，解题时需逐一计算每个选项的结果，再结合正负性判断即可。计算时要重点区分乘方运算中有无括号的差异：有括号时底数是括号内的整体，无括号时负号不属于底数，需先计算乘方再添加负号。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A. $-(-3)$表示求-3的相反数，计算得$-(-3)=3$，结果为正数，不符合要求；
B. $|-3|$表示求-3的绝对值，负数的绝对值是它的相反数，计算得$|-3|=3$，结果为正数，不符合要求；
C. $-3^2$的底数是3，先计算乘方：$3^2=9$，再添加负号得$-3^2=-9$，结果为负数，符合要求；
D. $(-3)^2$的底数是-3，表示2个-3相乘，计算得$(-3)×(-3)=9$，结果为正数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方，绝对值运算，相反数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查有理数相关运算的基本规则，其中带负号的乘方运算有无括号的区分是高频易错点，做题时要先明确底数再按运算顺序计算。
【难度系数】
0.7
本题要求选出运算结果为负数的选项，解题时需逐一计算每个选项的结果，再结合正负性判断即可。计算时要重点区分乘方运算中有无括号的差异：有括号时底数是括号内的整体，无括号时负号不属于底数，需先计算乘方再添加负号。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A. $-(-3)$表示求-3的相反数，计算得$-(-3)=3$，结果为正数，不符合要求；
B. $|-3|$表示求-3的绝对值，负数的绝对值是它的相反数，计算得$|-3|=3$，结果为正数，不符合要求；
C. $-3^2$的底数是3，先计算乘方：$3^2=9$，再添加负号得$-3^2=-9$，结果为负数，符合要求；
D. $(-3)^2$的底数是-3，表示2个-3相乘，计算得$(-3)×(-3)=9$，结果为正数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方，绝对值运算，相反数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查有理数相关运算的基本规则，其中带负号的乘方运算有无括号的区分是高频易错点，做题时要先明确底数再按运算顺序计算。
【难度系数】
0.7
3. 下列每对数中,不相等的一对是 (
A.$(-2)^3$ 和 $-2^3$
B.$(-2)^2$ 和 $2^2$
C.$(-2)^4$ 和 $-2^4$
D.$|-2|^3$ 和 $|2|^3$
C
)A.$(-2)^3$ 和 $-2^3$
B.$(-2)^2$ 和 $2^2$
C.$(-2)^4$ 和 $-2^4$
D.$|-2|^3$ 和 $|2|^3$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断每对数是否相等，需先明确有理数乘方的运算规则：负数的乘方，若底数带括号，负号是底数的一部分；若底数不带括号，负号不属于底数，要先计算乘方再添加负号。同时结合绝对值的性质，分别计算每个选项中两个数的结果，再对比是否相等即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A选项：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-2^3=-(2×2×2)=-8$，两数相等，不符合题意；
B选项：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，$2^2=2×2=4$，两数相等，不符合题意；
C选项：$(-2)^4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$，$-2^4=-(2×2×2×2)=-16$，$16≠-16$，两数不相等，符合题意；
D选项：$|-2|^3=2^3=8$，$|2|^3=2^3=8$，两数相等，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；绝对值的性质；幂的符号法则
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查对乘方定义的理解，易错点是混淆带括号的负数乘方和不带括号的负整数乘方的运算顺序，熟练掌握负数奇次幂为负、偶次幂为正的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断每对数是否相等，需先明确有理数乘方的运算规则：负数的乘方，若底数带括号，负号是底数的一部分；若底数不带括号，负号不属于底数，要先计算乘方再添加负号。同时结合绝对值的性质，分别计算每个选项中两个数的结果，再对比是否相等即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A选项：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-2^3=-(2×2×2)=-8$，两数相等，不符合题意；
B选项：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，$2^2=2×2=4$，两数相等，不符合题意；
C选项：$(-2)^4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$，$-2^4=-(2×2×2×2)=-16$，$16≠-16$，两数不相等，符合题意；
D选项：$|-2|^3=2^3=8$，$|2|^3=2^3=8$，两数相等，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；绝对值的性质；幂的符号法则
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查对乘方定义的理解，易错点是混淆带括号的负数乘方和不带括号的负整数乘方的运算顺序，熟练掌握负数奇次幂为负、偶次幂为正的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 将$-\dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4}$写成乘方的形式为________，底数是________，指数是________，读作“______”。
答案
$-(\dfrac{7}{4})^5$ , $\dfrac{7}{4}$, 5, $\dfrac{7}{4}$的5次幂的相反数
解析
【分析】
解题时首先回忆乘方的定义：乘方是n个相同因数乘积的简便写法。先观察原式特征，最前面的负号不属于参与连乘的相同因数，连乘部分是5个完全相同的$\dfrac{7}{4}$，先把5个$\dfrac{7}{4}$的乘积写成乘方形式，再在前面加负号即可。再对照乘方各部分的定义确定底数、指数，最后按照符号规则读出式子即可，注意不要误把负号算到底数里。
【解析】
1. 根据乘方定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
2. 观察原式$-\dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4}$，参与连乘的相同因数是$\dfrac{7}{4}$，共有5个，因此5个$\dfrac{7}{4}$相乘可写为$(\dfrac{7}{4})^5$，原式的负号在连乘整体之外，所以整体乘方形式为$-(\dfrac{7}{4})^5$。
3. 对应乘方各部分定义，该式中乘方部分的相同因数$\dfrac{7}{4}$是底数，相同因数的个数5是指数。
4. 由于负号在乘方整体之外，所以读作“$\dfrac{7}{4}$的5次幂的相反数”。
【答案】
$-(\dfrac{7}{4})^5$ , $\dfrac{7}{4}$, 5, $\dfrac{7}{4}$的5次幂的相反数
【知识点】
乘方的定义，乘方的各部分名称，乘方的读法
【点评】
本题是乘方的基础概念题，核心易错点是区分负号是否属于底数，若负号未与因数共同括在括号内，则负号不属于底数，是乘方结果的相反数，熟练掌握基础概念就能避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆乘方的定义：乘方是n个相同因数乘积的简便写法。先观察原式特征，最前面的负号不属于参与连乘的相同因数，连乘部分是5个完全相同的$\dfrac{7}{4}$，先把5个$\dfrac{7}{4}$的乘积写成乘方形式，再在前面加负号即可。再对照乘方各部分的定义确定底数、指数，最后按照符号规则读出式子即可，注意不要误把负号算到底数里。
【解析】
1. 根据乘方定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
2. 观察原式$-\dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4} × \dfrac{7}{4}$，参与连乘的相同因数是$\dfrac{7}{4}$，共有5个，因此5个$\dfrac{7}{4}$相乘可写为$(\dfrac{7}{4})^5$，原式的负号在连乘整体之外，所以整体乘方形式为$-(\dfrac{7}{4})^5$。
3. 对应乘方各部分定义，该式中乘方部分的相同因数$\dfrac{7}{4}$是底数，相同因数的个数5是指数。
4. 由于负号在乘方整体之外，所以读作“$\dfrac{7}{4}$的5次幂的相反数”。
【答案】
$-(\dfrac{7}{4})^5$ , $\dfrac{7}{4}$, 5, $\dfrac{7}{4}$的5次幂的相反数
【知识点】
乘方的定义，乘方的各部分名称，乘方的读法
【点评】
本题是乘方的基础概念题，核心易错点是区分负号是否属于底数，若负号未与因数共同括在括号内，则负号不属于底数，是乘方结果的相反数，熟练掌握基础概念就能避免出错。
【难度系数】
0.8
5. 计算:
(1) $3^3$；
(2) $(-2)^6$；
(3) $(\dfrac{1}{6})^3$；
(4) $1.5^2$；
(5) $(-0.2)^3$；
(6) $(-1\dfrac{1}{2})^4$。
(1) $3^3$；
(2) $(-2)^6$；
(3) $(\dfrac{1}{6})^3$；
(4) $1.5^2$；
(5) $(-0.2)^3$；
(6) $(-1\dfrac{1}{2})^4$。
答案
解:(1)27； (2)64； (3)$\dfrac{1}{216}$； (4)2.25；(5)$-0.008$； (6)$\dfrac{81}{16}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$表示n个a相乘。第一步先确定每个式子的底数和指数，根据乘方符号法则判断结果符号：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负、偶次幂为正；第二步把乘方转化为乘法运算计算绝对值的结果，遇到带分数要先化为假分数再计算，最后结合符号得到最终答案。
【解析】
(1) $3^3$表示3个3相乘，计算得：$3×3×3=27$；
(2) $(-2)^6$表示6个-2相乘，指数6为偶数，结果为正，计算得：$2×2×2×2×2×2=64$；
(3) $(\dfrac{1}{6})^3$表示3个$\dfrac{1}{6}$相乘，计算得：$\dfrac{1}{6}×\dfrac{1}{6}×\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{216}$；
(4) $1.5^2$表示2个1.5相乘，计算得：$1.5×1.5=2.25$；
(5) $(-0.2)^3$表示3个-0.2相乘，指数3为奇数，结果为负，计算得：$-(0.2×0.2×0.2)=-0.008$；
(6) 先把带分数化为假分数：$-1\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$，$(-\dfrac{3}{2})^4$指数4为偶数，结果为正，计算得：$\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{81}{16}$。
【答案】
(1)27； (2)64； (3)$\dfrac{1}{216}$； (4)2.25；(5)$-0.008$； (6)$\dfrac{81}{16}$
【知识点】
1.乘方的意义 2.乘方符号法则 3.有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，重点考查乘方基本概念和符号判断能力，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的规则，遇到带分数先转化为假分数再计算，能有效夯实乘方运算的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$表示n个a相乘。第一步先确定每个式子的底数和指数，根据乘方符号法则判断结果符号：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负、偶次幂为正；第二步把乘方转化为乘法运算计算绝对值的结果，遇到带分数要先化为假分数再计算，最后结合符号得到最终答案。
【解析】
(1) $3^3$表示3个3相乘，计算得：$3×3×3=27$；
(2) $(-2)^6$表示6个-2相乘，指数6为偶数，结果为正，计算得：$2×2×2×2×2×2=64$；
(3) $(\dfrac{1}{6})^3$表示3个$\dfrac{1}{6}$相乘，计算得：$\dfrac{1}{6}×\dfrac{1}{6}×\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{216}$；
(4) $1.5^2$表示2个1.5相乘，计算得：$1.5×1.5=2.25$；
(5) $(-0.2)^3$表示3个-0.2相乘，指数3为奇数，结果为负，计算得：$-(0.2×0.2×0.2)=-0.008$；
(6) 先把带分数化为假分数：$-1\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$，$(-\dfrac{3}{2})^4$指数4为偶数，结果为正，计算得：$\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{81}{16}$。
【答案】
(1)27； (2)64； (3)$\dfrac{1}{216}$； (4)2.25；(5)$-0.008$； (6)$\dfrac{81}{16}$
【知识点】
1.乘方的意义 2.乘方符号法则 3.有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，重点考查乘方基本概念和符号判断能力，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的规则，遇到带分数先转化为假分数再计算，能有效夯实乘方运算的基础。
【难度系数】
0.9
6. 数学文化 意大利数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题,其大意为:“在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头毛驴驮着7只口袋,每只口袋装着7个面包,……”,则面包的数量为
$7^4$
个.(结果用乘方的形式表示)答案
6. $7^4$
解析
【分析】
解题时可顺着题意逐层计算对应物品的数量，观察发现每一类物品的数量都是上一级物品数量的7倍，我们可以根据乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，数出7相乘的总个数，就能将结果写成乘方形式。首先明确各层级的对应关系：7位老妇人→每人7头毛驴→每头驴7只口袋→每只口袋7个面包，每向下一个层级就多乘1个7，数清楚乘7的次数即可。
【解析】
我们逐层推导面包的数量：
1. 老妇人的数量为7位；
2. 毛驴的总数量：每位妇人赶7头，共$7×7=7^2$头；
3. 口袋的总数量：每头毛驴驮7只，共$7^2×7=7^3$只；
4. 面包的总数量：每只口袋装7个，共$7^3×7=7^4$个。
【答案】
$7^4$
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查基础运算能力，解题的核心是理清各层级数量的倍数关系，准确判断相同因数的个数，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时可顺着题意逐层计算对应物品的数量，观察发现每一类物品的数量都是上一级物品数量的7倍，我们可以根据乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，数出7相乘的总个数，就能将结果写成乘方形式。首先明确各层级的对应关系：7位老妇人→每人7头毛驴→每头驴7只口袋→每只口袋7个面包，每向下一个层级就多乘1个7，数清楚乘7的次数即可。
【解析】
我们逐层推导面包的数量：
1. 老妇人的数量为7位；
2. 毛驴的总数量：每位妇人赶7头，共$7×7=7^2$头；
3. 口袋的总数量：每头毛驴驮7只，共$7^2×7=7^3$只；
4. 面包的总数量：每只口袋装7个，共$7^3×7=7^4$个。
【答案】
$7^4$
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查基础运算能力，解题的核心是理清各层级数量的倍数关系，准确判断相同因数的个数，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
