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1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases} x+z=2, \\ xy+x=4, \\ z-x=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-\dfrac{3}{y}=4, \\ x+z=6, \\ y-2z=7 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=9, \\ x-y=4, \\ z-y=5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=8, \\ y-m=3, \\ z-x=5 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x+z=2, \\ xy+x=4, \\ z-x=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-\dfrac{3}{y}=4, \\ x+z=6, \\ y-2z=7 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=9, \\ x-y=4, \\ z-y=5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=8, \\ y-m=3, \\ z-x=5 \end{cases}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程组是否为三元一次方程组，需紧扣三个判定条件逐一排查：①方程组中一共含有3个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数都为1。我们只需对照这三个条件逐个分析选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的判定标准：共含3个不同未知数、所有方程为整式方程、含未知数的项的次数均为1。
选项A：第二个方程$xy+x=4$中，$xy$项的次数是2，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：第一个方程$x-\dfrac{3}{y}=4$的分母含未知数$y$，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，不是三元一次方程组；
选项C：方程组共含$x、y、z$3个不同的未知数，所有方程都是整式方程，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合三元一次方程组的定义；
选项D：方程组中出现了$x、y、z、m$4个不同的未知数，不满足“共含3个未知数”的要求，不是三元一次方程组。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.三元一次方程组的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握三元一次方程组的三个判定要点，做题时要注意排查“未知数项的次数是否为1、是否为整式方程、未知数总个数是否为3”这几个易错点，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程组是否为三元一次方程组，需紧扣三个判定条件逐一排查：①方程组中一共含有3个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数都为1。我们只需对照这三个条件逐个分析选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的判定标准：共含3个不同未知数、所有方程为整式方程、含未知数的项的次数均为1。
选项A：第二个方程$xy+x=4$中，$xy$项的次数是2，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：第一个方程$x-\dfrac{3}{y}=4$的分母含未知数$y$，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，不是三元一次方程组；
选项C：方程组共含$x、y、z$3个不同的未知数，所有方程都是整式方程，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合三元一次方程组的定义；
选项D：方程组中出现了$x、y、z、m$4个不同的未知数，不满足“共含3个未知数”的要求，不是三元一次方程组。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.三元一次方程组的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握三元一次方程组的三个判定要点，做题时要注意排查“未知数项的次数是否为1、是否为整式方程、未知数总个数是否为3”这几个易错点，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 三元一次方程$x - y + z = 3$有无数个解，下列四组值中，不是该方程的解的是（
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=1, \\ z=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \\ z=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3, \\ y=2, \\ z=1 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x=1, \\ y=1, \\ z=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \\ z=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3, \\ y=2, \\ z=1 \end{cases}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断一组数值是不是三元一次方程的解，使用代入检验法即可：将每组的x、y、z值代入方程左侧计算结果，和方程右侧的3对比，若相等就是方程的解，若不相等就不是方程的解，我们只需逐个验证四个选项就能找到正确答案。
【解析】
我们依次将四个选项的数值代入方程$x-y+z=3$的左侧计算：
A选项：代入$x=1,y=1,z=3$，左侧$=1-1+3=3$，和右侧相等，是方程的解；
B选项：代入$x=2,y=1,z=2$，左侧$=2-1+2=3$，和右侧相等，是方程的解；
C选项：代入$x=2,y=3,z=4$，左侧$=2-3+4=3$，和右侧相等，是方程的解；
D选项：代入$x=3,y=2,z=1$，左侧$=3-2+1=2$，和右侧的3不相等，不是该方程的解。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程的解；代入检验法
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对方程的解的定义的理解，只要熟练掌握代入检验的方法，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断一组数值是不是三元一次方程的解，使用代入检验法即可：将每组的x、y、z值代入方程左侧计算结果，和方程右侧的3对比，若相等就是方程的解，若不相等就不是方程的解，我们只需逐个验证四个选项就能找到正确答案。
【解析】
我们依次将四个选项的数值代入方程$x-y+z=3$的左侧计算：
A选项：代入$x=1,y=1,z=3$，左侧$=1-1+3=3$，和右侧相等，是方程的解；
B选项：代入$x=2,y=1,z=2$，左侧$=2-1+2=3$，和右侧相等，是方程的解；
C选项：代入$x=2,y=3,z=4$，左侧$=2-3+4=3$，和右侧相等，是方程的解；
D选项：代入$x=3,y=2,z=1$，左侧$=3-2+1=2$，和右侧的3不相等，不是该方程的解。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程的解；代入检验法
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对方程的解的定义的理解，只要熟练掌握代入检验的方法，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 解方程组$\begin{cases}2x - y + 3z = 1, \\3x + y - 7z = 2, \\5x - y + 3z = 3\end{cases}$时，要使运算最简便，应先消去（ ）
A.$x$
B.$y$
C.$z$
D.常数项
A.$x$
B.$y$
C.$z$
D.常数项
答案
3.B
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，把三元转化为二元再求解，要让运算最简便，应该优先消去各方程中系数最容易抵消的未知数。我们先观察三个方程中各未知数的系数：y的系数分别是-1、+1、-1，都是±1，只需要把任意两个方程相加或者相减，不需要额外乘以其他系数，就能直接消去y，运算量最小。
【解析】
观察方程组中三个方程的未知数系数：
未知数y的系数依次为-1、1、-1，将第一个方程加第二个方程可直接消去y，得到仅含x、z的方程：$5x - 4z = 3$；将第二个方程加第三个方程也可直接消去y，得到仅含x、z的方程：$8x - 4z = 5$，全程无需额外乘系数，运算最简便。
若消去x或z，需要先找对应系数的最小公倍数，给方程乘相应的系数后才能消元，运算更复杂；消去常数项的运算量更大。
因此应先消去y。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的解法；消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时优先选择系数为±1、容易直接抵消的未知数进行消元，能大幅简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
解三元一次方程组的核心思路是消元，把三元转化为二元再求解，要让运算最简便，应该优先消去各方程中系数最容易抵消的未知数。我们先观察三个方程中各未知数的系数：y的系数分别是-1、+1、-1，都是±1，只需要把任意两个方程相加或者相减，不需要额外乘以其他系数，就能直接消去y，运算量最小。
【解析】
观察方程组中三个方程的未知数系数：
未知数y的系数依次为-1、1、-1，将第一个方程加第二个方程可直接消去y，得到仅含x、z的方程：$5x - 4z = 3$；将第二个方程加第三个方程也可直接消去y，得到仅含x、z的方程：$8x - 4z = 5$，全程无需额外乘系数，运算最简便。
若消去x或z，需要先找对应系数的最小公倍数，给方程乘相应的系数后才能消元，运算更复杂；消去常数项的运算量更大。
因此应先消去y。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的解法；消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时优先选择系数为±1、容易直接抵消的未知数进行消元，能大幅简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
4. 解三元一次方程组：$\begin{cases} x+y-z=11, ① \\ y+z-x=5, ② \\ z+x-y=1. ③ \end{cases}$
答案
4. 解:①+②,得2y=16,解得y=8.①+③,得2x=12,解得x=6.②+③,得2z=6,解得z=3.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3. \end{cases}$
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3. \end{cases}$
解析
【分析】
观察该三元一次方程组的系数特点，每个方程中x、y、z的系数均为1或-1，任意两个方程相加时，都会有两个未知数的系数互为相反数直接抵消，因此可采用两两方程相加的加减消元法，直接求出单个未知数的值，无需先转化为二元一次方程组，简化计算过程。
【解析】
解：利用加减消元法计算：
①+②，得$(x+y-z)+(y+z-x)=11+5$，
化简得$2y=16$，解得$y=8$；
①+③，得$(x+y-z)+(z+x-y)=11+1$，
化简得$2x=12$，解得$x=6$；
②+③，得$(y+z-x)+(z+x-y)=5+1$，
化简得$2z=6$，解得$z=3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3. \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3. \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础运算题，解题核心是观察方程系数特征，灵活选择简便消元方法，可有效提升解题效率、降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
观察该三元一次方程组的系数特点，每个方程中x、y、z的系数均为1或-1，任意两个方程相加时，都会有两个未知数的系数互为相反数直接抵消，因此可采用两两方程相加的加减消元法，直接求出单个未知数的值，无需先转化为二元一次方程组，简化计算过程。
【解析】
解：利用加减消元法计算：
①+②，得$(x+y-z)+(y+z-x)=11+5$，
化简得$2y=16$，解得$y=8$；
①+③，得$(x+y-z)+(z+x-y)=11+1$，
化简得$2x=12$，解得$x=6$；
②+③，得$(y+z-x)+(z+x-y)=5+1$，
化简得$2z=6$，解得$z=3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3. \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=6, \\ y=8, \\ z=3. \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础运算题，解题核心是观察方程系数特征，灵活选择简便消元方法，可有效提升解题效率、降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
5.现有A,B,C三箱橘子,其中A,B两箱共100个橘子,A,C两箱共102个橘子,B,C两箱共106个橘子,求每箱各有多少个橘子.在该问题中,若设A,B,C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个,则可列方程组为.
答案
5.$\begin{cases} x+y=100, \\ x+z=102, \\ y+z=106 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目已设出三个未知量x、y、z分别对应A、B、C三箱的橘子个数，接下来逐句提取题目中的等量关系：①A箱和B箱橘子总个数为100，即A箱数量+B箱数量=100；②A箱和C箱橘子总个数为102，即A箱数量+C箱数量=102；③B箱和C箱橘子总个数为106，即B箱数量+C箱数量=106。将三个等量关系用含x、y、z的式子表示后，联立即可得到方程组。
【解析】
根据“A,B两箱共100个橘子”，可得方程：$x+y=100$；
根据“A,C两箱共102个橘子”，可得方程：$x+z=102$；
根据“B,C两箱共106个橘子”，可得方程：$y+z=106$；
将三个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=100, \\ x+z=102, \\ y+z=106 \end{cases}$
【知识点】
1. 列三元一次方程组
2. 实际问题找等量关系
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础应用题型，核心是准确匹配题中条件与对应的等量关系，不需要复杂计算，只要正确将文字描述转化为方程即可完成求解，是对基础建模能力的考察。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目已设出三个未知量x、y、z分别对应A、B、C三箱的橘子个数，接下来逐句提取题目中的等量关系：①A箱和B箱橘子总个数为100，即A箱数量+B箱数量=100；②A箱和C箱橘子总个数为102，即A箱数量+C箱数量=102；③B箱和C箱橘子总个数为106，即B箱数量+C箱数量=106。将三个等量关系用含x、y、z的式子表示后，联立即可得到方程组。
【解析】
根据“A,B两箱共100个橘子”，可得方程：$x+y=100$；
根据“A,C两箱共102个橘子”，可得方程：$x+z=102$；
根据“B,C两箱共106个橘子”，可得方程：$y+z=106$；
将三个方程联立，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=100, \\ x+z=102, \\ y+z=106 \end{cases}$
【知识点】
1. 列三元一次方程组
2. 实际问题找等量关系
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础应用题型，核心是准确匹配题中条件与对应的等量关系，不需要复杂计算，只要正确将文字描述转化为方程即可完成求解，是对基础建模能力的考察。
【难度系数】
0.9
6. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文$a,b,c$，对应密文$a+2,-a+2b+4,b+3c+9$.若接收方收到密文9,13,23，则解密得到的明文为(
A.8,2,7
B.7,8,2
C.8,7,2
D.7,2,8
B
)A.8,2,7
B.7,8,2
C.8,7,2
D.7,2,8
答案
6.B
解析
【分析】
首先根据题目给出的加密规则，明文$a,b,c$分别对应三个固定形式的密文表达式，已知接收的三个密文，可将密文与对应的加密代数式一一相等，建立三元一次方程组。解方程组时先从仅含未知数$a$的第一个方程入手求出$a$的值，再将$a$代入第二个方程求出$b$的值，最后将$b$代入第三个方程求出$c$的值，即可得到解密后的明文。
【解析】
根据加密规则和已知密文，可列三元一次方程组：
$\begin{cases}a+2=9 \quad \mathrm{①} \\-a+2b+4=13 \quad \mathrm{②} \\b+3c+9=23 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
解①式可得：$a=9-2=7$
将$a=7$代入②式：
$-7+2b+4=13$
整理得$2b-3=13$，解得$2b=16$，即$b=8$
将$b=8$代入③式：
$8+3c+9=23$
整理得$3c+17=23$，解得$3c=6$，即$c=2$
因此解密得到的明文为$a=7,b=8,c=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的应用；解三元一次方程组
【点评】
本题以信息加密为背景考查方程组的实际应用，解题核心是准确理解加密规则，将密文与加密代数式对应建立方程组，再通过代入消元法逐步求解即可，侧重考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的加密规则，明文$a,b,c$分别对应三个固定形式的密文表达式，已知接收的三个密文，可将密文与对应的加密代数式一一相等，建立三元一次方程组。解方程组时先从仅含未知数$a$的第一个方程入手求出$a$的值，再将$a$代入第二个方程求出$b$的值，最后将$b$代入第三个方程求出$c$的值，即可得到解密后的明文。
【解析】
根据加密规则和已知密文，可列三元一次方程组：
$\begin{cases}a+2=9 \quad \mathrm{①} \\-a+2b+4=13 \quad \mathrm{②} \\b+3c+9=23 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
解①式可得：$a=9-2=7$
将$a=7$代入②式：
$-7+2b+4=13$
整理得$2b-3=13$，解得$2b=16$，即$b=8$
将$b=8$代入③式：
$8+3c+9=23$
整理得$3c+17=23$，解得$3c=6$，即$c=2$
因此解密得到的明文为$a=7,b=8,c=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的应用；解三元一次方程组
【点评】
本题以信息加密为背景考查方程组的实际应用，解题核心是准确理解加密规则，将密文与加密代数式对应建立方程组，再通过代入消元法逐步求解即可，侧重考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
7.一个三位数的三个数字的和是17，其中百位数字与十位数字的和比个位数字大3.如果把个位数字与百位数字对调，那么得到的新三位数比原来的三位数大495，求原来的三位数.
答案
7. 解:设原来的三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z.根据题意,得$\begin{cases} x+y+z=17, \\ x+y-z=3, \\ (100z+10y+x)-(100x+10y+z)=495. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2, \\ y=8, \\ z=7. \end{cases}$答:原来的三位数是287.
解析
【分析】
本题是三位数相关的数字应用题，解题核心是设出各数位的数字为未知数，再挖掘题目中的三个等量关系列方程组求解：①三个数位数字之和为17；②百位数字与十位数字的和比个位数字大3；③个位与百位数字对调后得到的新三位数比原数大495。列方程组后通过消元法逐步求出各数位的数字，即可得到原三位数。
【解析】
解：设原来的三位数的百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$。
根据题意，可列三元一次方程组：
$\begin{cases} x+y+z=17 \quad \mathrm{①} \\ x+y-z=3 \quad \mathrm{②} \\ (100z+10y+x)-(100x+10y+z)=495 \quad \mathrm{③} \end{cases}$
首先用①+②消去$z$：
$2(x+y)=20$，解得$x+y=10$ ④
把④代入①，得$10+z=17$，解得$z=7$。
再化简方程③：
去括号合并同类项得$99z-99x=495$，两边同时除以99得$z-x=5$。
把$z=7$代入$z-x=5$，得$7-x=5$，解得$x=2$。
把$x=2$代入④，得$2+y=10$，解得$y=8$。
因此原三位数百位为2，十位为8，个位为7，即287。
【答案】
287
【知识点】
1.三元一次方程组的应用
2.数位的表示
【点评】
本题是三元一次方程组的典型应用题型，解题关键是准确表示原三位数和对调后的新三位数，结合题目给出的数量关系列方程组，计算难度低，只要理清数位的计数规则就不易出错。
【难度系数】
0.7
本题是三位数相关的数字应用题，解题核心是设出各数位的数字为未知数，再挖掘题目中的三个等量关系列方程组求解：①三个数位数字之和为17；②百位数字与十位数字的和比个位数字大3；③个位与百位数字对调后得到的新三位数比原数大495。列方程组后通过消元法逐步求出各数位的数字，即可得到原三位数。
【解析】
解：设原来的三位数的百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$。
根据题意，可列三元一次方程组：
$\begin{cases} x+y+z=17 \quad \mathrm{①} \\ x+y-z=3 \quad \mathrm{②} \\ (100z+10y+x)-(100x+10y+z)=495 \quad \mathrm{③} \end{cases}$
首先用①+②消去$z$：
$2(x+y)=20$，解得$x+y=10$ ④
把④代入①，得$10+z=17$，解得$z=7$。
再化简方程③：
去括号合并同类项得$99z-99x=495$，两边同时除以99得$z-x=5$。
把$z=7$代入$z-x=5$，得$7-x=5$，解得$x=2$。
把$x=2$代入④，得$2+y=10$，解得$y=8$。
因此原三位数百位为2，十位为8，个位为7，即287。
【答案】
287
【知识点】
1.三元一次方程组的应用
2.数位的表示
【点评】
本题是三元一次方程组的典型应用题型，解题关键是准确表示原三位数和对调后的新三位数，结合题目给出的数量关系列方程组，计算难度低，只要理清数位的计数规则就不易出错。
【难度系数】
0.7
8.有甲、乙、丙三种商品，如果购买3件甲商品、2件乙商品、1件丙商品共需420元钱，购买1件甲商品、2件乙商品、3件丙商品共需380元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（
A.200元
B.300元
C.350元
D.400元
A
）A.200元
B.300元
C.350元
D.400元
答案
8.A
解析
【分析】
首先我们可以设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题目给出的两个购买费用的条件，可以列出两个含三个未知数的方程。题目要求的是购买三种商品各1件的总费用，也就是x+y+z的值，不需要单独求出x、y、z的具体数值，因此可以观察两个方程的特点，将两个方程左右两边分别相加，就能得到x+y+z的整数倍，进而求出结果。
【解析】
设购买1件甲商品需要x元，1件乙商品需要y元，1件丙商品需要z元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 420&①\\x + 2y + 3z = 380&②\end{cases}$
将①+②，得：
$3x+2y+z + x+2y+3z = 420+380$
合并同类项得：$4x + 4y + 4z = 800$
两边同时除以4，得：$x + y + z = 200$
即购买甲、乙、丙三种商品各一件共需200元。
【答案】
A
【知识点】
1.三元一次方程组的应用
2.整体思想求值
【点评】
本题是三元一次方程组的典型基础题型，核心考查整体求解的思想，不需要逐一求解每个未知数的具体值，通过观察方程系数特征，将两个方程相加即可快速得到所求的总和，简化了计算过程，能有效检验学生对整体法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先我们可以设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题目给出的两个购买费用的条件，可以列出两个含三个未知数的方程。题目要求的是购买三种商品各1件的总费用，也就是x+y+z的值，不需要单独求出x、y、z的具体数值，因此可以观察两个方程的特点，将两个方程左右两边分别相加，就能得到x+y+z的整数倍，进而求出结果。
【解析】
设购买1件甲商品需要x元，1件乙商品需要y元，1件丙商品需要z元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 420&①\\x + 2y + 3z = 380&②\end{cases}$
将①+②，得：
$3x+2y+z + x+2y+3z = 420+380$
合并同类项得：$4x + 4y + 4z = 800$
两边同时除以4，得：$x + y + z = 200$
即购买甲、乙、丙三种商品各一件共需200元。
【答案】
A
【知识点】
1.三元一次方程组的应用
2.整体思想求值
【点评】
本题是三元一次方程组的典型基础题型，核心考查整体求解的思想，不需要逐一求解每个未知数的具体值，通过观察方程系数特征，将两个方程相加即可快速得到所求的总和，简化了计算过程，能有效检验学生对整体法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
