5. 生活情境·区间测速（2024·长春）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度. 小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段. 从该路段起点开始，他先匀速行驶$\frac{1}{12}$小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）. 当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时. 汽车在区间测速路段行驶的路程$y$（千米）与在此路段行驶的时间$x$（时）之间的函数图象如图所示.

(1)$a$的值为.
(2)当$\frac{1}{12}≤ x≤ a$时，求$y$与$x$之间的关系式.
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）

解:(1)$\frac{1}{5}$
(2)设当$\frac{1}{12}≤ x≤ \frac{1}{5}$时,$y$ 与 $x$ 之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$,则$\begin{cases}\frac{1}{6}k+b=17,\\\frac{1}{5}k+b=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=90,\\b=2.\end{cases}$
$\therefore y=90x+2(\frac{1}{12}≤ x≤ \frac{1}{5})$.
(3)当 $x=\frac{1}{12}$ 时,$y=90×\frac{1}{12}+2=9.5$,$\therefore$ 减速前的速度为 $9.5÷\frac{1}{12}=114$(千米/时).$\because114＜120$,$\therefore$ 这辆汽车减速前没有超速.

【分析】
(1) 求a的值时，a是车辆行驶完全程的总时间，根据行程问题基本公式“时间=路程÷平均速度”，已知总路程20千米、全程平均速度100千米/时，直接代入计算即可。
(2) 求$\frac{1}{12}≤ x≤ a$段的函数关系式，用待定系数法：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从图象中提取两个已知点的坐标$(\frac{1}{6},17)$和$(a,20)$，代入得到二元一次方程组，解出k、b即可，注意标注自变量的取值范围。
(3) 判断是否超速需先计算减速前的速度：减速前行驶时间为$\frac{1}{12}$小时，先将$x=\frac{1}{12}$代入第二问求出的解析式，得到减速前行驶的路程，再根据“速度=路程÷时间”算出减速前速度，和限速120千米/时比较即可。
【解析】
(1) 已知全程路程为20千米，全程平均速度为100千米/时，根据$时间=路程÷速度$，可得$a=20÷100=\frac{1}{5}$。
(2) 设当$\frac{1}{12}≤ x≤ \frac{1}{5}$时，$y$与$x$之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=\frac{1}{6},y=17$和$x=\frac{1}{5},y=20$代入解析式，得：
$\begin{cases}\frac{1}{6}k+b=17\\\frac{1}{5}k+b=20\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$\frac{1}{30}k=3$，解得$k=90$；将$k=90$代入$\frac{1}{6}k+b=17$，得$15+b=17$，解得$b=2$。
因此$y$与$x$的关系式为$y=90x+2(\frac{1}{12}≤ x≤ \frac{1}{5})$。
(3) 当$x=\frac{1}{12}$时，代入$y=90x+2$得：
$y=90×\frac{1}{12}+2=9.5$（千米）
减速前的速度为$9.5÷\frac{1}{12}=114$（千米/时）
因为$114＜120$，所以该辆汽车减速前没有超速。
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$
(2) $y=90x+2(\frac{1}{12}≤ x≤ \frac{1}{5})$
(3) 该辆汽车减速前没有超速
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题计算
【点评】
本题结合区间测速的生活情境，考查一次函数在行程问题中的应用，解题核心是从函数图象提取有效信息，灵活运用行程公式和待定系数法求解，能让学生体会数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7

6. 全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元。
设购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示。根据以上信息回答下列问题：
(1)分别求出两种销售模式对应的y与x之间的关系式。
(2)请说明图中点C坐标的实际意义。
(3)若想购买这种新产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？不需说明理由，请直接写出结果。

解:(1)线下销售:$y=5×0.8x=4x$;线上销售:当 $0≤ x≤ 6$ 时,$y=5×0.9x=4.5x$;当 $x＞6$ 时,$y=5×0.9×6+(x-6)×(5×0.9 - 1. 5 ) = 27 + 3 ( x - 6 ) = 3x + 9$ , $\therefore y =\begin{cases}4.5x(0≤ x≤ 6),\\3x+9(x＞6).\end{cases}$
$\therefore$ 线下销售 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y=4x$,线上销售 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y =\begin{cases}4.5x(0≤ x≤ 6),\\3x+9(x＞6).\end{cases}$
(2)联立$\begin{cases}y=4x,\\y=3x+9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=9,\\y=36.\end{cases}$ $\therefore C(9,36)$. $\therefore$ 图中点 $C$ 坐标的实际意义为当购买 9 千克该产品时,线上、线下都花费 36 元.
(3)购买这种新产品 10 千克,线上购买最省钱.

【分析】
(1) 求两种销售模式的函数关系式：线下无分段优惠，先算折扣后单价，再根据“总费用=单价×购买量”直接列关系式；线上有分段优惠，需分购买量不超过6千克、超过6千克两种情况，分别计算对应区间的费用表达式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 点C是两个销售模式函数图象的交点，代表两种模式费用相等的情况，因此联立线下函数关系式和线上$x＞6$时的函数关系式，解方程组得到点C坐标后，结合实际背景解释意义即可。
(3) 购买10千克时，分别将$x=10$代入两种模式的函数关系式计算总费用，比较大小即可得到最优方案，也可结合交点位置和函数增减性直接判断。
【解析】
(1) 线下销售模式：
折扣后单价为$5×0.8=4$元/千克，因此$y$与$x$的关系式为：
$y=4x\ (x≥0)$
线上销售模式：
①当$0≤ x≤6$时，折扣后单价为$5×0.9=4.5$元/千克，因此$y=4.5x$；
②当$x＞6$时，前6千克总费用为$4.5×6=27$元，超出部分单价为$4.5-1.5=3$元/千克，超出部分费用为$3(x-6)$，因此总费用$y=27+3(x-6)=3x+9$。
综上，线上销售的函数关系式为$y=\begin{cases}4.5x&(0≤ x≤6)\\3x+9&(x＞6)\end{cases}$。
(2) 点C为两种模式费用相等的点，联立方程：
$\begin{cases}y=4x\\y=3x+9\end{cases}$
将$y=4x$代入第二个方程得$4x=3x+9$，解得$x=9$，代入$y=4x$得$y=36$，即$C(9,36)$。
实际意义：当购买9千克该新产品时，线上、线下两种销售模式的花费相同，均为36元。
(3) 当$x=10$时：
线下模式费用：$y=4×10=40$元
线上模式费用：$10＞6$，代入得$y=3×10+9=39$元
$39＜40$，因此线上购买更省钱。
【答案】
(1) 线下销售：$\boldsymbol{y=4x(x≥0)}$；线上销售：$\boldsymbol{y=\begin{cases}4.5x&(0≤ x≤6)\\3x+9&(x＞6)\end{cases}}$
(2) 当购买9千克该新产品时，线上、线下两种销售模式的花费均为36元。
(3) 线上购买最省钱。
【知识点】
一次函数的实际应用，分段函数，一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数的应用，需要学生准确梳理分段优惠的规则，理解函数交点的实际含义，能结合函数关系进行方案优选，侧重考查阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7